《数学》复习人教A（新高考）-第6节　基本不等式及其应用

第一章

第6节基本不等式及其应用知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1.基本不等式：a＝b2.两个重要的不等式2ab3.利用基本不等式求最值x＝y小x＝y大×解析

(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；×××解析

因为x＋y＝18，A解析

由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有3x≥3y，故A正确；当0≥x≥y时，x2≥y2不成立，故C错误；x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0成立，即x2＋y2≥2xy成立，故D正确.AD即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.C5.(2020·长沙月考)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.

解析

设矩形的长为xm，宽为ym.则x＋2y＝30(0＜x≤18)，15解析

由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，考点分层突破题型剖析考点聚焦2解析

y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]考点一利用基本不等式求最值///////多维探究角度1配凑法求最值1A因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，故f(x)有最小值4.解析因为m＋2n＝8，1m＝2n角度3消元法求最值【例3】(2020·江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________.

解析

由题意知y≠0.利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立.(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.感悟升华ABD当且仅当x＝0时等号成立，B正确；考点二基本不等式的综合应用///////师生共研所以f′(x)＝x2＋2ax＋b－4.因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝0，所以1＋2a＋b－4＝0，解得2a＋b＝3.CB∴a≥4，即正实数a的最小值为4，故选B.1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.感悟升华解析由△ABC的面积为2，在△ABC中，由正弦定理得C当且仅当b＝2，c＝4时，等号成立，故选C.A由三点共线的充要条件可得λ＋4μ＝1，考点三基本不等式的实际应用///////师生共研37.51.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.感悟升华【训练3】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.30课后巩固作业提升能力分层训练3C解析因为3x＋2y＝2，当且仅当3x＋2y＝2且3x＝2y，A解析

因为a，b＞0，所以0＜ab≤1，当且仅当a＝b＝1时等号成立.由ab≤1，得2ab≤2，所以2ab的最大值为2，A错误；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥4－2＝2，B正确；BCDC∴x＋y≥7，故x＋y的最小值为7.5.要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(

) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元C解析

由题意知，体积V＝4m3，高h＝1m，解析

x2＋y2＋xy＝1⇒(x＋y)2－xy＝1，B解析

因为log2x＋log4y＝log4x2＋log4y＝log4(x2y)＝1，当且仅当x2＝y＝2时等号成立，即x2＋y的最小值为4.故选C.C解析

∵对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，B∵a>0，b>0，8

故2a＋b的最小值为8.10.已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.

解析

法一(换元消元法)

由已知得x＋3y＝9－xy， 因为x>0，y>0， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号， 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0， 得t≥6，即x＋3y的最小值为6.6法二

(代入消元法)所以x＋3y的最小值为6.解析

因为a＞0，b＞0，ab＝1，4解析

∵x>1，∴x－1>0，解析

由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)＝2，∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋