高中数学：5-2-1 三角函数的概念（分层作业）

5.2.1三角函数的概念（分层作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2022・广东・饶平县第二中学高一开学考试）已知角a的终边经过点贝ijcosa=（）

A.&B.@C.72D.G

33

【答案】B

【分析】利用三角函数的定义可求得cosa的值.

【详解】由三角函数的定义可得8$£=寻5=乎.

故选：B.

2.（2022•浙江大学附属中学高一期末）已知角a的顶点与原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的

终边过点（-2,1）,贝！Isina的值为（）

A.--B.—C.--D.—

5555

【答案】B

【分析】用三角函数值的定义去求.

22则sina干$邛.

【详解】已知点尸（-2,1）,则r=|OP|=7（-2）+1=后,

故选：B

3.（2。22♦全国•高一课时练习）已知角a的终边经过点网-3,4）,则笔修的值为（）

B.1C.2D.3

【答案】A

434

【分析】由三角函数的定义可得sina=costz=--tana=-p将其代入即可求解.

46

【详解】由J（—3）2+4」=5,得sina=2,cosa=一1,tancr=——代入原式得=

35

故选：A

4.（2022・全国•高一课时练习）已知点尸（2,-4）是角a终边上一点，贝ijcosa=（）

A小3旧3石「加

A.-------RD.-----rc.-------u.—

5555

【答案】D

【分析】利用任意角三角函数的定义即可求得cosa的值.

【详解】因为点P（2,-4）是角&终边上一点，所以cosa=在第=?.

故选:D.

5.（2022•陕西渭南♦高一期末）已知角。的终边经过点M（见3-m），且tanO=；,则机=（）

A.!B.1C.2D.-

22

【答案】C

【分析】由三角函数定义求得，〃值.

【详解】由题意tan0=t2=:，解得加=2.

m2

故选：C.

6.（2022•山东日照•高一期末）若点P（-4,。）在角240。的终边上，则实数。的值是（）

A.473B.-473C.±4百D.&

【答案】B

【分析】根据三角函数的定义，列出方程，即可求解.

【详解】由三角函数定义，可得tan240。=三，解得a=-4.tan240。=-46.

-4

故选：B.

7.（2022・上海・华师大二附中高一期中）设。角属于第二象限，且cos不a=-cosc不i，则n三角属于（）

222

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根据a为第二象限角可求得（为第一或第三象限角，由cos]<0可得结果.

22

【详解】Qa为第二象限角，二90+h360<cz<180+H360（&eZ）,

zy

A45+ZJ80<-<90+A180（fceZ）；

当々=2〃（〃eZ）时，?为第一象限角；当％=2〃+l（〃eZ）时，羡为第三象限角；

.・£为第一或第三象限角；

cos^=-cos/,••.cos£<0,.■（为第三象限角.

故选：C.

8.（2022•江西省万载中学高一阶段练习）已知角a终边过点P（3a,TG（a<0）,贝ijsina+cosa的值为（）

A.-B.-C.--D.--

5555

【答案】A

【分析】根据三角函数的定义计算可得.

【详解】由题意得，点（3aT1（"0）到原点的距离r=J（3a）2+（Ya）2=_5a,

所以根据三角函数的定义可知sina=?—^Ln=M4，cosa=3^a-=-f3,

-5a5-ja5

所以sina+cos。•

故选：A.

9.（2022・四川泸州•高一期末）已知。=ln，力=cos把,c=22,则。力,c的大小关系正确的是（）

23

A.b<c<aB.h<a<c

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】D

【分析】求出〃，c的范围和。的值比较大小即可.

1112^-1—

【详解】a=］n-<\n—^==一一,Z?=cos—=一一,c=22>0,\^\a<b<c.

2加232

故选：D.

10.（2022♦全国•高一课时练习）在平面直角坐标系中，若角。的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上，

终边在第二象限，则下列三角函数中值大于零的是（）

A.sin（a+^JB.cos（a+］）C.tan（兀+a）D.cos（7t+a）

【答案】D

TT

【分析】根据角a终边在第二象限，可判断以a+］是第三象限角，兀+a是第四象限角，结合三角函数在

各象限内的符号，即可判断答案.

【详解】由已知得a是第二象限角，所以a+]是第三象限角，兀+二是第四象限角,

所以sin[a+W]<0,cos^（7+^<0,tan（TH-a）<0,cos（兀+a）>0,

故选:D.

二、多选题

11.（2022•辽宁•东北育才学校高一期中）下列四个选项，正确的有（）

A.P（tana,cosa）在第三象限，则a是第二象限角

B.已知扇形0A8的面积为4,周长为10,则扇形的圆心角（正角）的弧度数为g

C.若角a的终边经过点（。,加乂aw0）,贝|sina=¥

D.sin3cos4tan5>0

【答案】ABD

【分析】根据三角函数在各个象限的正负，扇形周长和面积的计算公式，三角函数的定义，三角函数值的

正负，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：由题可得tana<0,则a属于第二或者第四象限;

cos«<0,则a属于第二或者第三象限或角度终边落在无轴的负半轴上；故a属于第二象限，A正确;

对B：设扇形OAB的圆心角为火々>0）,半径为R,圆心角对的弧长为/,

则，/R=4,/+2R=10,解得/=2,R=4,又l=aR,即2=4（z,解得a=,，B正确;

22

2a2a2新

对C：根据题意可得sin。=万=而=土亍，故c错误;

对D：因为3呜,7Tj,4■乃），5w菖,2%），sin3>0,cos4<0,tan5<0,

故sin3cos4tan5>0,D正确.

故选：ABD.

12.（2022•江苏・南京市第一中学高一阶段练习）已知。是第一象限角，则下列结论中正确的是（）

aa

A.sin2a>0B.cos2a>0C.cos—>0D.tan—>0

22

【答案】AD

【分析】根据角所在象限，判断三角函数值的符号。

【详解】已知a是第一象限角，.•"EvavZ祈+^（AeZ）

由4E<2Q<4E+MZCZ）,2。角的终边在一、二象限或y轴非负半轴上，sin2o>0成立,A正确；cos2a>0

不一定成立，B错误；

由&兀<卷<®+色eZ）,5角的终边在第一象限或第三象限，cos?>0不一定成立，C错误；ta吟>0成

立，D正确.

故选：AD.

13.（2022•全国•高一单元测试）下列结论正确的是（）

A.是第三象限角

O

B.若圆心角为5的扇形的弧长为万，则该扇形的面积为自

C.若角a的终边上有一点尸（―3,4）,贝ljcosa=-3

D.若角&为锐角，则角2a为钝角

【答案】BC

【分析】A中，由象限角的定义即可判断；

B中，由弧长公式先求出半径，再由扇形面积公式即可；

C中，根据三角函数的定义即可判断；

D中，取a=30°即可判断.

【详解】选项A中，-==-2兀+3,是第二象限角，故A错误；

66

选项B中，设该扇形的半径为"，则?"=乃，...r=3,.•.Siw=；x?x32=q,故B正确；

选项C中，r=7（-3）2+42=5,cosa=^-1,故C正确；

选项D中，取a=30。，则a是锐角，但21=60。不是钝角，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

14.（2022.上海市奉贤中学高一期中）已知角a的终边经过点尸（12,5）,贝i]cosa=

【答案】||

【分析】直接利用三角函数的定义求值即可.

【详解】•••角a的终边经过点。2,5）,

cosa=-,

12

故答案为：—.

15.（2022.河北省文安县第一中学高一阶段练习）sina>0是a的终边落在第一、二象限的

条件.（从充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要填空）

【答案】必要不充分

【分析】若sina>（）,则a的终边落在第一、二象限或y轴的正半轴，故由sina>0得不到a的终边落在第

一、二象，但反之可以.

【详解】如a=5,贝!]sine>0,但a的终边不落在第一、二象限，故由sina>0得不到a的终边落在第一、

二象限；

若a的终边落在第一、二象限，则sina>0成立，

故sine>0是a的终边落在第一、二象限的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分

16.（2022•浙江・杭州四中高一期末）已知角a的终边有一点则sine=.

【答案】叵

7

【分析】由三角函数的定义求解

—42]

【详解】由题意得sina=7、=­K

1+1

故答案为：型

7

17.（2022・上海理工大学附属中学高一期中）角a的终边上有一点「（-34,44）（4>0）,则$吊。的值为

4

【答案】-##0.8

【分析】根据正弦函数的定义计算.

【详解】由题意|0P|=J（-3a）2+（4a）2=5a,

m.4a4

所以sina=—=—

4

故答案为：—.

18.(2022.全国•高一课时练习)如图所示，终边落在阴影部分的角a的取值集合为

【答案】{a|*.360°+30°<a<jt^60°+105°,AreZ}

【分析】由已知，分别表示出射线OA和射线。8终边所表示的角度，然后根据题意表示阴影部分的范围即

可.

【详解】终边落在射线。4上的角的集合是伊1£=旌360"+30",々eZ},终边落在射线。8上的角的集合是

{川7=八360°+105°,ZwZ},所以终边落在阴影部分(含射线。A,不含射线。8)的角的集合是

[a163600+30°<公360°+105°,Zez}.

故答案为：{a[X>360'+3004a<h360"+105°,Z:eZ).

19.(2022.全国.高一课时练习)已知角a的终边在射线y=3(x20)上，则角a的正弦值为,余弦

值为.

【答案】—；##0.5

【分析】求出角的终边y=bx(x*0)与单位圆的交点坐标，根据三角函数的定义即可求得答案.

【详解】设角a的终边与单位圆的交点为P(x,y),则f+y2=],

1

x=—

又y=石x(x>0),厂，

y=——

[2

工曰.61

于是sma=y=」一，cosa=x=~,

22

故答案为：正；;

22

四、解答题

20.（2022・全国•高一课时练习）已知角，的7倍角的终边与角6的终边重合，且0。<6<360。，求满足条件

的角。的集合.

【答案】{60°,120°,180°,240°,300°}.

【分析】由已知，根据题意，列出7。=。+~360。，通过对k进行赋值，结合。的范围即可完成作答.

【详解】由题意知，761=6+k360°,&GZ,即66=k360°,kGZ,：.8=k・60。,k^Z,

由0°<8<360°,得0°<k60°<360°,1GZ,

：.0<k<6,kGZ,即0=1,2,3,4,5,

.•.角。的集合为{60。，120°,180°,240°,300°}.

21.（2022.全国•高一课时练习）已知顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合的角a的终边上有一点

网-石，"?），且sina=0）,求加的值，并求cosa与tanct的值.

【答案】m=±5/5;当〃?=石时，cosa=--,tana=；当,〃=-石时，cosa=--,tana=^^

4343

【分析】根据三角函数定义可由新。二二口:皆讯机*。）求得机的值；结合加的值，由三角函数定义

y/3+m24

可求得cos%tana.

【详解】.sina=-7=^==^-7w（m^0）,.•.加=土石；

J3+W4

业I6A/6mV15

当〃z=，5时，cosa=—.=-------,tana=——/==-----；

V3W4733

9一底mJ15

当=-y/5时，cosa=-tana=——=-----

y13+m24由3

【能力提升】

一、单选题

1.（2022♦江苏•扬中市第二高级中学高一阶段练习）已知角6的终边经过点（2a+l,a-2）,且cos，=|,则

实数的。值是（）

22

A.—2B.—C.—2或打D.1

【答案】B

2a+1

【分析】由题设可得8so=初而不犷且2力1>0,求解即可.

2。+131

【详解】由题设，1c/…―三且2a+l>°,BPa>-->

J（2a+iy+（a-2）-32

.•.4/*+1=2,则11储+20a-4=0,解得。=一2或a=2,

5/+52511

2

综上，a端.

故选：B.

JT1

2.（2022.甘肃天水•高一期末）“&=一二+2版（々€2）”是气相。=-：”的（）

62

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由a=-$+2E（ZeZ）可以得到sina=-4，但是反向推导不成立，故可以得到答案.

62

JT11JT

【详解】由。=-二+2E（ZEZ）可以得到sina=-7,但是由sino=-彳，得2=-二+2版或

6226

a=-^-+2hi（keZ）.

故选：A.

3.（2022.湖北•邮阳中学高一阶段练习）已知函数/（x）=a"+3（八0且"1）的图像经过定点A,且

则包正（）

点A在角。的终边上，

sin0+cos0

A.-1

B.0C.7D.-

77

【答案】D

【分析】由题知4（3,4）,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可.

【详解】解:令2x-6=0得x=3,故定点A为A（3,4）,

所以由三角函数定义得tan0=g,

4,j

sin0-cos6^tan-1Q1

所以----------=-------=q——=—

sin0+cos6^tan+147

—I-1

3

故选：D

4.（2022・全国•高一课时练习）已知长方形的四个顶点是A（0,0）,8（2,0）,C（2,l）,4（0,1）,一质点从A3

的中点几沿与A8夹角为。的方向射到8c上的《后，依次反射到CD,D4和A3上的户2，八，和巴（入射

角等于反射角）.设巴的坐标是（x,0）,若l<x<2,则tan。的取值范围是（）

2]_

C.

5,2

【答案】C

【分析】根据题意，由利用对称性得到角的关系为，6C=NAAO=NA4A=。，再利用三

角函数来解答，可以设=得到这些角的三角函数值关于。的关系式，再由A的坐标以及l<x<2,求

得tan。的取值范围。

【详解】设=ZP^B=0

则cq=l-a,

^PtP2C=ZP,P2D=ZAP4P,=e

所以tan6=~^=〃

Vtan0八=——CP,L=-l-—--a-=a

人CP?CP2

所以c8=lzg=_L-i；

aa

而tan”第

二PQ

a

=a

所以勺£)=Q(3—)=3ci—]；

a

又tan。=

乂AP4

=------------=a

AR

2

所以——3

a

2

根据题设1<A乙<2,gpi<±-3<2

21

所以

21

即一<tan。<一

52

故选：C

【点睛】本题主要考查三角函数特别是正切函数定义的应用、解不等式等基本知识，以及对称法、解析法

等基本数学方法的应用。

二、多选题

5.（2022•河北秦皇岛•高一期末）已知点尸（见-2"）（加W0）是角a终边上一点，则（）

A.tan«=-2B.cosa=—C.sinorcosor<0D.sincrcosa>0

5

【答案】AC

【分析】根据给定条件，利用三角函数定义求出a的正余弦及正切值即可计算判断作答.

【详解】因点-2m）（mX0）是角a终边上一点，则厂=|OP|=Jn2+（-2㈤?=&|,川，

于是得tana=%=一2,A正确；

m

cosa-,当m>0时，cosa=,当加<0时，cosa=-^,B不正确；

.-2m.m-2m2.

又sma=Nj，则smac°sa=；^j,函鬲=_g<0,C正确，D不正确.

故选：AC

6.（2022•辽宁•沈阳二中高一期中）下列说法正确的是（）

A.如果a是第一象限的角，则-a是第四象限的角

B.如果a,4是第一象限的角，且a<£,则sinavsin尸

C.若圆心角为*的扇形的弧长为乃，则该扇形面积为斗

D.若圆心角为g的扇形的弦长为46，则该扇形弧长为专

【答案】AD

【分析】由象限角的概念判断A；举反例判断B；由扇形弧长、面积公式计算判断C,D作答.

TTTF

【详解】对于A,a是第一象限的角，即2%r<a<2k兀+=k?Z,贝卜--2kxa<-2k兀,k?Z,

22

-a是第四象限的角，A正确;

对于B,令a=-¥11-IT，/?=7£T,a,夕是第一象限的角，且av尸，而sina=sin£,B不正确；

66

jr134

对于C,设扇形所在圆半径为r,则有铲=%，解得r=3,扇形面积S=]x3x；r=3,C不正确;

25y

对于D,设圆心角为兰的扇形所在圆半径为/,依题意，/=一T=4,扇形弧长/=4/="，

D正确.

3sin—33

3

故选：AD

7.（2022•全国•高一课时练习）已知sinosin/7,那么下列命题正确的是（）

A.若角a、夕是第一象限角，则cosa>cos£

B.若角a、夕是第二象限角，则tan尸〉tana

C.若角a、尸是第三象限角，则cos〃>cosa

D.若角a、夕是第四象限角，贝ljtana>tan4

【答案】BCD

【分析】利用三角函数线逐项判断可得出合适的选项.

【详解】设角a、B的终边分别为射线OP、OQ.

对于A,如图1,sin（z=MP>NQ=sin分，

此时cosa=OM,cosB=ON,OM<ON,所以cosa<cos£,故A错误；

对于B,如图2,sina=N0=sin?，

此时cosa=OM,cos£=ON,且OM<ON,所以cos£>cosa,故C正确；

对于D,如图4,sina=MP>NQ=sinJ3,AB<AC,即tan/?<tana,故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

8.(2022•江苏盐城•高一期末)求值：(lg5)2+lg2xIg(50)+tancos--16^25=_______.

36

【答案】2

【分析】根据对数的运算法则性质及指数累的运算化简求值即可.

【详解】原式=lg25+lg2x(lg5+l)+Gxt-g

2

=lg5+lg2xlg5+lg2+^-^

=lg5(lg2+lg5)+lg2+l

=lg5+lg2+l=2

故答案为：2

9.(2022・江苏盐城•高一期末)已知角a为第一象限角，其终边上一点P(x,y)满足21n(2x-y)=ln(Y+V),

则2cosa-sine=.

【答案】1

【分析】根据对数的运算及性质化简可得3x=4y,再由三角函数的定义求解即可.

【详解】由题意知，ln(2x-y)2=ln(x2+y2),

即(2x-y)2=x2+y2,x,y>0,

化简得3x=4y,

2x--x

c-2x-y

则2cosa-sina=/、“4

5+天

故答案为：1

10.(2022♦河北♦石家庄市第十五中学高一开学考试)函数/(X)是定义在R上的偶函数且满足

Jr134

〃x)=—/(x+m,当X£[O，W)时，/(x)=2sinx,则/(——)+/(哼尸________.

234

【答案】0+6

【分析】由已知条件可得函数的周期，再由周期性和偶函数的性质求值.

【详解】由题意/(X+2")=/(X+7T+m=-/(X+m=/(X),所以/(x)是周期函数，周期是2万,

又/(X)是偶函数，

所以/(——)+(-y-)+/(—)=/lyI+/I—l=2siny+2sin—=V3+V2.

故答案为：血+石.

四、解答题

II.(2022•江西•新余市第一中学高一开学考试)如图，在平面直角坐标系*0)，中，角a的始边与x轴的非

负半轴重合且与单位圆相交于A(1,0)点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动，终边在

运动.

4

⑴若点8的横坐标为一不，求sina的值；

(2)若AAOB为等边三角形，写出与角a终边相同的角p的集合；

(3)若，请写出弓形AB的面积S与a的函数关系式(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成

的图形).

、3

【答案】(l)sina=g；

(2)[⑶夕=5+2版■次ez｝；

a-sina

(3)5=

-2

【分析】(1)利用三角函数的定义直接求解；

(2)先求出角a=。，即可写出与角a终边相同的角A的集合；

an

(3)过。作O”,A3于H,表示出O”=cos彳，AB=2sin-,分别表示出扇形面积和三角形面积，即可

22

求出弓形4B的面积.

(1)

4

因为角a的终边与单位圆相交于B，且点8的横坐标为一;，因为8在x轴上方，所以8rtl-

3

由三角函数的定义，可得：sina=:

(2)

当ZkAOB为等边三角形时，因为3在x轴上方，则8(cos0,sin。

所以a=NAO8=5,即与角a终边相同的角尸的集合《尸|力=。+2&肛ZeZ

(3)

弓形AB的面积:S=S扇形-S®.

1zy

扇形的圆心角为a,所以S崩形=万。*12=葭.

ryctctCt

过。作OH_LAB于H,则OH=cos—xl=cos—,AB=2OA=2sin—x1=2sin—,

2222

所以sA8=gx2si吟xcos^fina.

所以S=S“S®WTina=H^

12.(2022•山东•广饶一中高一阶段练习)如图，在平面直角坐标系xQy中，角a的始边与x轴的非负半轴

重合且与单位圆相交于A(l,0)点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点8,始边不动，终边在运动.

V

(1)若点8的横坐标为求sine的值和与角a终边相同的角夕的集合;

(2)若ae(0,],请写出弓形AB的面积S与。的函数关系式(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成

rrci

的图形).附：sincr=2sin-cos-.

22

【答案】(l)sina=3；{£|£=M+2Z肛ZeZ}

23

I7T

(2)S=—(a-sina),aG(0,—]

22

【分析】(1)若点8的横坐标为根据题意求出B的纵坐标，从而求得sine的值.确定角a,写出与

角a终边相同的角夕的集合.

TT

(2)若。€(0,手，根据弓形A8的面积S=Sw-S3,计算求得结果.

(1)

在平面直角坐标系xO)，中，角a的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点,

它的终边与单位圆相交于x轴上方一点8,始边不动，终边在运动，

若点B的横坐标为可得3的坐标为(_；当，

于是]=至+2左乃，左£Z,

3

与角a终边相同的角尸的集合为{夕|/=胃2万+2A肛ZeZ};

⑵

ryCf

A03的高为Ixcos—,A