两条直线平行和垂直的判定课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.1.2两条直线平行和垂直的判定教学目标：教学重点：教学难点：能根据斜率判定两条直线平行或垂直．1.理解两条直线平行与垂直的条件；2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直；3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题．能利用两直线平行或垂直的条件解决问题．如图所示的游廊中，每一道立柱之间有怎样的位置关系？立柱与过梁之间又有怎样的位置关系？情境导入(1)在平面直角坐标中，若l1∥l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？(2)若l1∥l2，则l1，l2的斜率相等吗？知识点一

两条直线平行与斜率的关系平面上两条(不重合)直线位置关系有平行,相交两种xoyl1l2α1α2xoyl1α1l2α21.两条直线(不重合)平行的判定

设两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k1,k2.则对应关系如下:l1//l2

α1=α2

tanα1=tanα2k1=k2

反之，当k1=k2时，tanα1=tanα2，由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，α1=α2，因此l1//l2当两条直线不重合l1//l2

k1=k2，或k1,k2都不存在.l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合.练习.已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6),且l1∥l2,

则x=

.

由题意知l1⊥x轴.又l1∥l2,所以l2⊥x轴,故x=2.

当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.在相交共线中，垂直是最特殊的情形.

设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2.则:xoyl1l2l2的方向向量为b=(1，k2)l1的方向向量为a=(1，k1)abl1⊥l2

a·

b=0

1+k1·k2=0k1·k2=-1l1

⊥l2

k1·k2=-1,

或直线l1

与

l2中有一条斜率为0,另一条斜率不存在

xoyl1l2知识点二

两条直线垂直与斜率的关系（2024·中山月考）已知直线l1经过A（－3，2），B（1，－2）两

点，直线l2的倾斜角为45°，那么l1与l2（

）A.平行B.垂直C.重合D.相交但不垂直

由题意可得直线l1的斜率k1直线l2的斜率k2＝tan45°＝1.∵k1k2＝－1，则l1与l2垂直.题型一两条直线平行的判定及应用即k1＝k2，所以l1与l2平行或重合．(3)由题意知，l1的斜率不存在，且l1不与y轴重合，l2的斜率也不存在，且l2恰好与y轴重合，所以l1∥l2.所以l1与l2平行或重合．需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，所以E，F，G，H四点共线．所以l1与l2重合．判断两条直线是否平行的步骤看斜率相等？重合？平行相交是否否都不存在存在[注意]在证明(判断)两直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行，因为两直线重合也可以推出两条直线的斜率相等．练习1.（2024·云浮月考）若过点A（m＋1，0），B（－5，m）的直线与过点C（－4，3），D（0，5）的直线平行，则m＝

⁠.由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在.由于AB∥CD，所以kAB

＝kCD

，当两直线斜率不存在时，即m=0,当两直线斜率存在时，即题型二两条直线垂直的判定及应用所以C正确判断两直线是否垂直的策略

在这两条直线的斜率都存在的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.练习：1.（2024·洛阳月考）直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是（

）A.平行B.重合C.相交但不垂直D.垂直设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.∵直线

l1，

l2的斜率是方程

x2－3

x

－1＝0的两根，∴

k1

k2＝－1，2.

点A（－1，1），B（3，－1），C（1，5）为直角三角形的三个

顶点，则直角顶点为

⁠.所以kAB·kAC

＝－1，所以AB⊥AC，所以角A为直角.题型三两条直线平行与垂直的综合应用例3

（2024·济南质检）已知

A

（－4，3），

B

（2，5），

C

（6，3），

D

（－3，0）四点，若顺次连接

A

，

B

，

C

，

D

四点，试

判断四边形

ABCD

的形状.xoyCBAD由题意A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图，所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．

判定几何图形形状的注意点(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标；(2)证明两直线平行时，仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况；(3)判断四边形形状时，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况．

练习：（2024·福州月考）已知▱

ABCD

中，

A

(1，2)，

B

(5，0)，

C(3，4).