人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册教学设计1：5 3 2 函数的极值与最大（小）值教案

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE15.3.2函数的极值与最大（小）值一、教学目标1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式的最大值、最小值；3.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.二、教学重难点1.教学重点利用导数求函数的极值、最值.2.教学难点含参问题、恒成立问题、用导数解决函数与方程问题.三、教学过程（一）新课导入问题1在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？（二）探索新知1.函数的极值问题2观察图（1），当时，高台跳水运动员距水面的高度最大.那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？图（1）图（2）放大附近函数的图象，如图（2）.可以看出，；在的附近，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，.这就是说，在附近，函数值先增（当时，）后减（当时，）.这样，当t在a的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是有.对于一般的函数，是否也有同样的性质呢？问题3如图，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的正负性有什么规律？以两点为例，可以发现，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧.类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧.我们把a叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；b叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.例1求函数的极值.解：因为，所以.令，解得或.当x变化时，，的变化情况如表所示.x2＋0－0＋单调递增单调递减单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为.问题4导数值为0的点一定是函数的极值点吗？导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，对于函数，我们有.虽然，但由于无论，还是，恒有，即函数是增函数，所以0不是函数的极值点.一般地，函数在一点的导数值为0是函数在这点取极值的必要条件，而非充分条件.一般地，可按如下方法求函数的极值：解方程，当时：（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值.2.函数的最大（小）值极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说，如果是函数的极大（小）值点，那么在附近找不到比更大（小）的值.但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小.如果是某个区间上函数的最大（小）值点，那么不小（大）于函数在此区间上的所有函数值.下图是函数，的图象.由图象可知，是函数的极小值，是函数的极大值.问题5找出函数在区间上的最小值和最大值.由上图可以看出，函数在区间上的最小值是，最大值是.问题6在下图中，观察上的函数和的图象，它们在上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.结合上图，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.例2求函数在区间上的最大值与最小值.解：由例1可知，在区间上，当时，函数有极小值，并且极小值为.又由于，所以函数在区间上的最大值是4，最小值是.一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数在区间上的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.例3给定函数.（1）判断函数的单调性，并求出的极值；（2）画出函数的大致图象；（3）求出方程的解的个数.解：（1）函数的定义域为..令，解得.，的变化情况如表所示.x－0＋单调递减单调递增所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.当时，有极小值.（2）令，解得.当时，；当时，.所以的图象经过特殊点.当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而；当时，，.根据以上信息，画出的大致图象如图所示.（3）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数.由（1）及上图可得，当时，有最小值.所以关于方程的解的个数有如下结论：当时，解为0个；当或时，解为1个；当时，解为2个.由例3可见，函数的图象直观地反映了函数的性质.通常，可以按如下步骤画出函数的大致图象：（1）求出函数的定义域；（2）求导数及函数的零点；（3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值；（4）确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；（5）画出的大致图象.（三）课堂练习1.设函数，则()A.的极大值点在内 B.的极大值点在内C.的极小值点在内 D.的极小值点在内〖答案〗A〖解析〗依题意，令，解得.当或时，，当时，，故函数在时取得极大值，在时取得极小值.故选A.2.函数在上的最小值为()A. B. C.0 D.〖答案〗B〖解析〗由，得.解，得或，所以在和上单调递增，在上单调递减.又，所以在上的最小值为.故选B.3.已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，函数既存在极大值，又存在极小值，导函数有两个不相等的变号零点，，即，解得或.实数的取值范围是.故选B.4.已知(为常数)在上有最大值4，那么此函数在上的最小值为_________________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.因为，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得最大值4，即，解得.所以，所以，可得当时，函数取得最小值.5.已知函数.（1）求的单调区间；（2）求的最大值和最小值.〖解〗（1）.由，得或；由，得.因此，函数在上的单调递增区间为，，单调递减区间为.（2）在处取得极大值，极大值为；在处取得