第6章 方程组的教学设计(整章)

北京市京源学校初中教学设计

7耳级下第九章二完一次方程做

扬帝完

1珏

2010,09

第六章二元一次方程组

6.1二元一次方程6.2二元一次方程组

教学目标

1使学生弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义，并会检验一对数是不是某

个二元一次方程组的解；

2通过练习和讨论，进一步培养学生的观察、比较、分析问题的能力

教学重点和难点

重点：二元一次方程、二元一次方程组及其解的意义

难点：弄懂二元一次方程组解的含义

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1我们在初一时学习了一元一次方程的有关概念及其解法，谁能写出一个一元一次方程，

指出它的解是什么？

2为什么它（是指学生回答问题（1）时例举的方程）叫一元一次方程？

3方程中“元”是指什么？“次”是指什么？

二、引导学生讨论二元一次方程、二元一次方程组和它的解等概念

问题：（投影）

一个农民有若干只鸡和兔子，它们共有50个头和140只脚，问鸡和兔子各多少只？

教师提出：这是一个非常有意思的问题，它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，我想这个

问题也一定会使在坐的每一名同学感兴趣那么，现在我们怎样来解答我个问题呢？（先让学

思考一下，然后自己做出解答，教师巡视最后，在学生动手脑的基础上，教师引导给出各

种解法）

解法一：在分析时，可提出如下问题：

150只动物都是鸡，对吗？

（不对，因为50只鸡有100只脚，脚数少了）

250只动物都是兔子吗？

（不对，因为50只兔子共有200只脚，脚数多了）

3一半是鸡，一半是兔子对吗？

（不对，因为25只鸡，25只兔共有150只脚，多10只脚）

怎么办？（在学生思考后，教师指出：我们可采取逐步调整，验算的方法来加以解决）

4若增加一只鸡，减少一只兔，那么动物总只数，脚数分别怎样变化？

（当增加一只鸡，减少一只兔时，动物的总只数不变，脚数比原来少两只）

5现在你是否知道有几只鸡、几只兔？

（若学生回答还是感到困难，教师应引导学生根据一半是鸡，一半是兔时多10只脚，做出5

次如问题4所述的方法进行调整，即增加5只兔，减少5只兔，则多出的10只脚就没有了，

故答案是30只鸡、20只兔）

此时，教师指出：这个问题是解决了，但它在很大程度上依赖于数字，50和140比较小，比

较简单，若它们相当大且又很复杂，那么像上述方法这样一次次的试算就很麻烦了，然后提

出问题：是否可有其它的方法来解决这个问题呢？（若学生在思考后，还很茫然，则教师引导

学生尝试可否用一元一次方程来解由一名学生板演，其余学生自行完成）

解法二：设有x只鸡，则有（50-x）只兔根据题意，得2x+4（50-x）=140

（解方程略）

追问：对于上面的问题用一元一次方程可解，是否还有其它方法可解？（若学生想不到，教师

可引导学生注意，要求的是两个未知数，能否设两个未知数列方程求解呢?让学生自己设未知

数，列方程，然后请一名学生板演解所列的方程）

解法三：设有x只鸡，y只兔，依题意得

x+y=50,

2x+4y=140

针对学生所列出的这两个方程，提出如下问题:

1结合前面的复习提问，这两个方程应该叫几元几次方程呢？

2为什么叫二元一次方程呢？

3什么样的方程叫二元一次方程呢？

结合学生的回答，教师板书

二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知项次数是1的方程，叫做二元一次方程

x+y=50和2x+4y=140是一对数x,y必须同时满足的两个方程，我们合在一起写成

x+y=50,

并称之为二元一次方程组

2x+4y=140

从解法一，我们还知道，x=30,y=20,使方程组中每一个方程成立所以我们把尸=30'叫

y=20

做方程组卜+>=5°’的解（板书：使二元一次方程组的两个方程左、右两边

2x+4y=140.

的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解)

将上述问题的三种解法进行优劣对比，你有哪些想法呢？(若学生回答得不全面，不确切，教

师可补充归纳如下：当我们运用代数知识将问题翻译成代数语言列方程时，就可以借助代数

运算来求解，从上面的问题可以看到，列二元一次方程组比例一元一次方程容易)

三、例题讲解

例1(KB33)已知2x+5y=7,用关于y的代数式表示x.

例2(KB33)求出二元一次方程3x+2y+4=0的任意3个解.

例3(KB35)判断r=-2是不是方程组F+3)'=1的解

y=1\2x-5y=-9

例4(KB36)已知=T是关于x、y的方程组卜=1的解，求a+b的值.

y=2[2x-by=4

三、课堂练习P34练习1、2、3P36练习1、2

补充：

1造一个二元一次方程，一个二元一次方程组(通过提问，检查学生对这两个概念的掌握

程度)

2填表,使上、下每对x,y的值，满足方程3x+y=5(投影)

3已知下列三对数值：

x=1,[x=2,fx=4,

<<<

7=-i;[y=1;[y=5.

哪一对是下列方程组的解？

⑴卜一；⑵尸一3,

3尤+4y=10;[4x-3y=L

4已知满足二元一次方程组[：一：=&的x值是x=-l,求方程组的解

四、师生共同小结

首先，让学生回答以下问题：

1本节课学习了哪些内容？2什么叫二元一次方程？

3什么叫二元一次方程组？4什么叫二元一次方程组的解？

然后，教师结合学生的回答，用投影仪将预先制作好的投影胶片打出，以此培养学生归纳小

结的能力

五、作业P36-39A组、B组、C组

补充:

1

t.x——Jx=O,x=—,[x=2,

1在3〈{2\各组值中,

y=Ty=-2,

3=1,1〔y=-2,“

⑴是方程y=2x-3的解有（）；

（2）是方程3x+2y=l的解有（）；

⑶是方程组F'=2x-3,的解有（）

3x+2y=1

2已知方程组「"一）'=（）'（1）用含乂的代数式表示丫；

x+y=10;

（2）分别求出方程①和②的四个解，其中x=0,1,2,3；

⑶方程组的解是什么？

3利用一元一次方程解二元一次方程组

y=2%-1,

2x_l=-x+2,<

y=T+2.

6.3用代入法解二次一次方程组（-）

教学目标

1.使学生会用代入消元法解二元一次方程组；

2.理解代入消元法的基本思想体现的“化未知为己知”，“变陌生为熟悉”的化归思想方法;

3.在本节课的教学过程中，逐步渗透朴素的辩证唯物主义思想.

教学重点和难点

重点：用代入法解二元一次方程组.

难点：代入消元法的基本思想.

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1.谁能造一个二元一次方程组？为什么你造的方程组是二元一次方程组？

2.谁能知道上述方程组（指学生提出的方程组）的解是什么？什么叫二元一次方程组的解？

3.上节课我们提出了鸡兔同笼问题：（投影）

一个农民有若干只鸡和兔子，它们共有50个头和140只脚，问鸡和兔子各有多少？

设农民有X只鸡，y只兔，则得到二元一次方程组

x+y=50,①

"2x+4y=140.②

对于列出的这个二元一次方程组，我们如何求出它的解呢？(学生思考)

教师引导并提出问题：若设有x只鸡，则兔子就有(50-x)只，依题意，得

2x+4(50-x)=140

从而可解得，x=30,50-x=20,使问题得解.

问题：从上面一元一次方程解法过程中，你能得出二元一次方程组

A；7："：/。的解法吗？(若学生还是感到困难，教师可提出以下一

2x+4y=140

串问题，进一步引导学生找出它的解法)

(1)在一元一次方程解法中，列方程时所用的等量关系是什么？

(2)该等量关系中，鸡数与兔子数的表达式分别含有几个未知数？

(3)前述方程组中方程②所表示的等量关系与用一元一次方程表示的等量关系是否相同？

(4)能否由方程组中的方程②求解该问题呢？

(5)怎样使方程②中含有的两个未知数变为只含有一个未知数呢？

(以上问题，要求学生独立思考，想出消元的方法)

结合学生的回答，教师作出讲解.

由方程①可得y=50r③，即兔子数y用鸡数x的代数式50-x表示，由于方程②中的y与方

程①中的y都表示兔子的只数，故可以把方程②中的y用(50-x)来代换，即把方程③代入方

程②中，得

2x+4(50-x)=140,

解得x=30.

将x=30代入方程③，得y=20.

T

这样，二元一次方程组的解是F,

y=20.

即鸡有30只，兔有20只.

本节课，我们来学习二元一次方程组的解法.

二、讲授新课

例1解方程组

y=1-x,①

3x+2y=5.②

分析：若此方程组有解，则这两个方程中同一个未知数就应取相同的值.因此，方程②中的

y就可用方程①中的表示y的代数式来代替.

解：把①代入②，得

3x+2（l-x）=5,

3x+2-2x=5,

所以x=3.

把x=3代入①，得y=-2.

x=3,

所以

y=-2.

（本题应以教师讲解为主，并板书，同时教师在最后应提醒学生，与解一元一次方程一样，要

判断运算的结果是否正确，需检验.其方法是将所求得的一对未知数的值分别代入原方程组

里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否相等.检验可以口算，也可以在草稿纸上验

算）

教师讲解完例1后，结合板书，就本题解法及步骤提出以下问题：

1.方程①代入哪一个方程？其目的是什么？

2.为什么能代入？

3.只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？

4.把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便？

在学生回答完上述问题的基础上，教师指出：这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转

化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法.

例2解方程组

2x+5y=-21,①

"x+3y=8.②

分析：例1是用y=l-x直接代入②的.例2的两个方程都不具备这样的条件（即用含有一个未

知数的代数式表示另一个未知数），所以不能直接代入.为此，我们需要想办法创造条件，把

一个方程变形为用含x的代数式表示y（或含y的代数式表示x）.那么选用哪个方程变形较简

便呢？通过观察，发现方程②中x的系数为1,因此，可先将方程②变形，用含有y的代数

式表示x,再代入方程①求解.

解：由②，得x=8-3y,③

把③代入①，得（问：能否代入②中？）

2（8-3y）+5y=-21,

-y=-37,

所以y=37.

（问：本题解完了吗？把y=37代入哪个方程求x较简单？）

把y=37代入③，得

x=8-3X37,

所以x=-103.

所以

fyU=37.'

（本题可由一名学生口述，教师板书完成）

例3（KB39）解下列方程组⑴尸一"3（2产+2y=5

3x—2y=5[4x-3y=1

三、课堂练习（投影）P41练习1、2

补充：用代入法解下列方程组：

fy=2x-3,r2x-y=5,

2.

'[3x+2y=8；3x+4y=2；

x+2y=0,(2x+y=32,

3.4-2x=.

3x+4y=6；y

四、师生共同小结

在与学生共同回顾了本节课所学内容的基础上，教师着重指出，因为方程组在有解的前提下,

两个方程中同一个未知数所表示的是同一个数值，故可以用它的等量代换，即使“代入”成

为可能.而代入的目的就是为了消元，使二元方程转化为一元方程，从而使问题最终得到解

决.

五、作业P47习题6-2A组1

补充：用代入法解下列方程组：

x=3y,

2.

3x-2y=1；

4x-2y=1；

2x+y=12,(3x-5y=6,

3x-y=-2；,|x+4y=15；

5x+3y=3x+2y=7

6.3用代入法解二元一次方程组(Z.)

教学目标

1.使学生熟练地掌握用代入法解二元一次方程组；

2.使学生进一步理解代入消元法所体现出的化归意识.

教学重点和难点

重点：学会用代入法解未知数系数的绝对值不为1的二元一次方程组.

难点：进一步理解在用代入消元法解方程组时所体现出的化归意识.

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1.解方程组=

4x-5y+9=0.

(本题为小测验，教师把题抄在黑板上，学生准备数学作业纸完成.其目的是检查并督促学生

复习巩固所学知识，时间为3分钟)

2.结合第1小题的解答，教师引导学生归纳总结出用代入消元法解方程组的一般步骤.(先

提问，后教师用投影打出)

(1)从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，如y,用含x的的

代数式表示，即y=ax+b；

(2M^y=ax+b代入另一个方程中，消去y,得到一个关于x的一元一次方程；

(3)解这个一元一次方程，求出x的值；

(4)把求得的x的值代入丫=2乂+13中，求出y的值，从而得到方程组的解.

二、讲授新课

例1解方程组?

分析：该方程组中的每一个方程都不是以含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式,

因此不能直接代入.应先将其中的某个方程变形.是用含x的代数式表示y,还是用含y的

代数式表示x呢？引导学生通过观察得出，由于方程①中y的系数的绝对值是2,较小.故

由方程①得出用含x的代数式表示y.

解：由①，得y=g(3x-ll),③

把③代入②，得

4x-5・j(3x-ll)=3,

8x-5(3x-ll)=6,

-7x=-49,

所以x=7.

把x=7代入③，得y=5.

所以(X=7；

y=5.

(本题的解答过程由学生口述，教师板书完成；通过师生的共同探讨，得出选择未知数的系数

的绝对值比较小的一个方程进行变形，可使解题较为简便)

例2方程解组

分析：未知数的系数是分数的方程组，在求解时一般先将分数系数化为整数系数，然后求解.

解：方程①两边同乘以12,得4x+3y=12,③

方程②两边同乘以6,得2y-3x=6.④

由④，得y=£(3x+6).⑤

将⑤代入③，得

4x+3・g(3x+6)=12,

8x+9x+18=24,

17x=6,

所以x=.

把x=5代入⑤，得旷=黑

，6

所以60

y=n-

(本题的解答过程，可由学生口述，教师板书完成)

例3解方程组

3x+y=2a+b,①

x-3y=2b-a.②

其中x,y是未知数.

分析:解含有字母系数的方程组时，首先要分清哪些字母表示未知数，哪些字母表示已知数(即

常量).

解：由①，得尸2a+b-3x,③

将③代入②，得

x-3(2a+b-3x)=2b-a,

10x-6a-3b=2b-a,

10x=5a+5b,

a+b

所以

把x=三代入③，得

a+b

y=2a+b-3•

所以y=^.

'a4-b

三、课堂练习P41(3)(4)

补充：1.(投影)已知方程组:

'4y=x+4,①f4x-7y=2,①

（1J/「八（2乂八）m

5y=4x+3；②12x-25y=-2.②

对于每一个方程组，分别指出下列方法中比较简捷的解法是().

A.利用①，用含x的代数式表示y,再代入②;

B.利用①，用含y的代数式表示x,再代入②;

C.利用②，用含x的代数式表示y,再代入①;

D.利用②，用含x的代数式表示x,再代入①;

2.用代入法解方程组:

2s+3t=-1,(3m-4n=7,

(似⑵！

4s-9t=8；9m-10n+25=0；

n、'x+3y+5_

—+—=2,-----十-——=7,

4423

⑶n⑼

mx+42y-3

—+-=2；-----------2

,6335

四、师生共同小结

在师生共同回顾了本节课所学内容的基础上，教师指出，对于用代入法解未知数系数的绝对

值不是1的二元一次方程组，解题时，应选择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变

形，这样可使运算简便.

五、作业

用代入法解下列方程组:

3x-5y=-1,7x+9y=8,

(1)l2x-3y=0；⑵4

9x-8y=69；

x2§

2-2y=25

4x+5y=3.5,

⑶y(4乂

x-1=1.8-x-6y；

x+/=-9；

x+1y+2

/亍-丁二°'r

mx+y=n,,

(5)jx-3y-31(6)<(m+n声0)

———=--■nx-y=m.

4312'

6.4用加减法解二元一次方法组(-)

教学目标

1.使学生正确掌握用加减法解二元一次方程组；

2.使学生理解加减消元法的基本思想所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.

教学重点和难点

重点：用加减消元法解二元一次方程组.

难点：明确用加减法解二元一次方程组的关键是必须使两个方程中同一未知数的系数绝对值

相等.

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1.用代入法解方程组：

2x+5y=19,①

2x-5y=-11.②

2.代入消元法解方程组的基本思想是什么？

在学生回答完上述问题的基础上，教师指出，我们学习了“代入消元法”解方程组，代入法

的核心是代入“消元”，通过“消元”，使“二元”转化为“一元”，从而问题得以解决，

那么除了代入可“消元”外，是否还有其它方法也能达到“消元”的目的呢？本节课我们就

来解决这一问题.

二、讲授新课

1.用加减法解某一未知数的系数的绝对值相等的二元一次方程组

首先，引导学生观察上面练习1中的方程组的特点，不难发现：方程组的两个方程中，未知

数x的系数相等，都是2.因此可利用等式的性质，把这两个方程两边分别相减，就可以消

去一个未知数，得到一元一次方程，从而实现化“二元”为“一元”的目的.

然后，指导学生写出本题的解答过程.

解：①-②，得10y=30,

所以y=3.

把y=3代入①，得x=2.

（问：把y=3代入②求x值，可以吗？）

所以卜=2；

y=3.

（解答完本题后，应让学生口算检验）

随后，教师进一步追问消未知数x是由①-②达到目的，那么②-①可以吗？怎样做更简捷？

学生一试即知.

再次引导学生观察方程组构成特点，并提出问题：能否通过消去未知数y,得到关于x的一

元一次方程，从而使问题得解呢？怎样消去未知数y呢？

（请学生通过观察、思考后求解，让一名学生板演，其余学生自己完成，最后教师讲评）

解：①+②，得4x=8,

所以x=2.

把x=2代入①，得y=3.

x=2,

所以

y=3.

解答完本题后，教师指出，从上面的解答过程来看，对某些二元一次方程可组通过两个方程

两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解.这

种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.

例1解方程组

+7y=-19,①

6x-5y=17.②

分析：方程组中两个方程的同一未知数x的系数相等，因此可直接由①-②或②-①消去未知

数x.

解：①-②，得12y=-36,

所以y=-3.

把y=-3代入②，得

6x-5X(-3)=17,

6x+15=17,

所以x=g.

r_2

所以X=31

y=-3.

此时，教师需强调以下两点：

(1)解题时，①-②或②-①都可以消去未知数X,不过在②-①得到的方程中，y的系数是负数,

所以在上面解法中应选择①-②；

(2)把y=-3代入①或②，最后结果是一样的.但我们通常的作法是将所求出的一个未知数的

值代入系数简单的过程中求另出一个未知数的值.

问题：若直接将上面方程组中的两个方程两边相加或相减可以消去y吗？

启发学生得出以下结论：

在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数是相反数，则可直接把这两个方程的两边分别

相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，可直接把这两个方程的两边分别相减，

消去这个未知数.

2.用加减法解某一未知数的系数成整数倍数关系的二元一次方程组

例2解方程组

2x+3y=16,①

’4x-12y=4②

分析：该方程组中同一未知数的系数的绝对值均不相等，将这两个方程直接相加减都不能消

去未知数.那么怎样使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？

启发学生仔细观察方程组的结构特点，得出：①X2,得4x+6y=32.③

由③-②即可消去x,从而使问题得解.

解：①X2,得

4x+6y=32,

③

③-②，得18y=36,

(问：②-③可以吗？怎样更好)

所以y=2.

把y=2代入①，得x=5.

7=5,

所以

y=2.

此时，教师应进一步提问：能否通过消去未知数y,得出关于x的一元一次方程，使问题得

解呢？怎样更好呢？

例3(KB44)解方程组⑴产+2y=142x-3y=3

(2)<

5x—y=63x—2y=7

三、课堂练习P45练习1、2

补充：(投影)

下列方程组中

(1)先消去哪个未知数较简单，怎样消？

(2)用加减法解下列方程组：

2x+y=11,-8x-5y=9,

1.2.'231

3x-y=9；3x-5y=20；rX+y=J

kk.3x+5y=41,342

5x+2y=12,(2x+5y=25,

3.4.9x-lOy=-52；

3x+2y=6；4+3y=15；

四、师生共同小结

首先，应向学生提出以下问题:

1.当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用何种方法解较好?

例如解方程组x<+4y:—I2

5x-6=1.

2.当方程组中某一未知数系数的绝对值相等时，用何种方法解较好?

例如解方程组：

2x+3y=3,(2x+3y=3,

⑴<5x-3y=2；⑵<|5x+3y=2.

3.当方程组中某一未知数系数绝对值不相等，但成整倍数关系时，用何种方法较好？

例如解方程组

4x+7y=5.

然后，教师结合学生的回答情况指出，对于问题1,常用代入消元法求解；对问题2,3,常

用加减消元法求解.

五、作业P47习题6-2A组2B组1、2C组1、2

补充：用加减法解下列方程组：

x+5y=7,‘3x+2z=16,

1.2.4

x-3y=-1；3x-z=1；

'1

2u+5v=—,'2n-3y=13,

3.4.4

110n-4y=34；

3u-5v=-；

r4(x+l)=l-5y,

5.

3(y+2)=3-2x；

3(x+y)-2(3y-x)=15.

6.4用加减法解二元一次方程组(二)

教学目标

1.使学生熟练地掌握用加减法解二元一次方程组；

2.进一步使学生理解加减消元法的基本思想所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.

教学重点和难点

重点：学会用加减法解同一未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程

组.

难点：怎样将方程组化成某个未知数系数绝对值相等的方程组.

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1.解二元一次方程组有哪些方法？

2.下列方程组中，用哪种方法解较为简捷？(投影)(只分析不求解)

5x+6y=8,①5x+6y=8,①(5x+6y=8,①

⑴x-4y=Is②⑵L4(3)1/4

2x-6y=l；②2x-3y=l.②

(结合学生的回答，教师作小结：第⑴小题由方程②得x=4y+l,因此用代入法较好.或

者①-②义5,消去x,用加减法；第(2)题未知数y的系数绝对值相等，第(3)题未知数y的

系数成整倍关系.因此，第(2),(3)题用加减法较好)

二、讲授新课

上节课，我们学习了用加减法解二元一次方程组，本节课我们继续学习利用加减法解二

元一次方程组.

例1解方程组

3x+4y=16,①

5x-6y=33.②

在分析本例题时，可向学生提出以下问题：

1.方程组中两方程是否可通过直接相加或相减消元？

2.为什么两方程直接相加或相减消不了元？

3.怎样可使方程组中某一未知数的系数绝对值相等呢？

4.怎样可使方程组中某一未知数的系数绝对值相等，且方程系数又都是整数呢？

让学生自己思考，分析得出解题方法：通过由①义3,②X2,使关于y的系数绝对值相

从而可用加减法解得.

解：①义3,得

9x+12y=48,

②X2,得

10x-12y=66,

④

③+④，得

19x=144,

所以x=6.

把x=6代入①，得

3X6+4y=16,

4y=-2,

所以

x=6,

所以1

y=-2,

(上述例题，有的学生可能选择消未知数x,再求解.教师可让用不同消元过程解题的两

名学生板演.通过对比，使学生自己总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公

倍数较小的未知数消元)

教师结合例1的解答过程，引导学生总结出用加减法解二元一次方程组的一般步骤.(利

用投影逐一打出)

1.方程组的两个方程中，某一未知数的系数绝对值相等时：

(1)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

(2)解这个一元一次方程；

(3)将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而

得到方程组的解.

2.方程组中同一未知数的系数绝对值均不相等时，把一个(或两个)方程的两边乘以适当

的数，使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为第一类型方程组求解.

例2解方程组

2(x-150)=5(3y+50),①

’10%•x+6%♦y=8.5%X800.②

分析：当方程组比较复杂时，应先化简，利用去括号、去分母、合

并同类项等手段，使方程组化为上君;二;的形式再解。

解：化简方程组，得

2x-15y=550,③

5x+3y=3400.④

③+④义5,得

27x=17550,

所以x=650.

把x=650代入④中,得

5X650+3y=3400,

所以y=50.

x=650,

故'y=50.

三、课堂练习

1.下列各题中，消去哪个未知数比较合理？方程两边同乘以什么数，怎样相加减以达到

消元目的？（只分析，不求解）

2x-3y=8,2x=3-3y,3x+5y=25,

(1乂

7x-5y=-5；3x=4-5y；4x+3y=15.

（本题利用投影打在屏幕上）

2.把下列方程组化成标准形式：（只整理成标准形式，不解出）

Jx+y=2800,

⑴Q)196K•x+64%•y=2800•92%；

3.解下列方程组:

'7xy

--+—=4,

2x-3y=8,32

(2)<

7x-5y=-55x+2y+9

53

四、师生共同小结

首先，向学生提出问题：用加减法解二元一次方程组的步骤是什么？

然后，结合学生的回答，教师指出，解二元一次方程组，可以用代入法，也可以用本节

课学习的加减法.今后解题时，如果没有提出具体要求，应该根据方程组的特点，选用其中

一种比较简便的解法.

五、作业P269—270A组2B组1、2

1.解下列方程组：

2u3v1

+=

2x=3-3y,TT2*

3x=4-5y；457

-u+—v=—

5615

r3(2x-y)+4(x-2y)=87,x+y=60,

(3)<(4)<

2(3x-y)-3(x-y)=82；30%•x+60%•y=10%X60；

'2(x-y)x+y

(5)(34

6(x+y)=4(2x-y)+16.

2.已知方程组：x+21n，x=l求皿的值.

4x-ny=2m-1y=-1.

二元一次方程组解法复习课

教学目标

1.使学生能够正确地选择解题方法，熟练地解二元一次方程组;

2.通过逆向思维训练，培养学生分析问题和解决问题的能力.

教学重点和难点

重点：二元一次方程组的解法.

难点：如何选择适当的方法求解二元一次方程组.

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

提问：解二元一次方程组有哪几种方法？它们各适用于什么情况？

在学生回答的基础上，教师指出：当方程组中某一个未知数的系数绝对值是1或一个方程的

常数项为零时，用代入法较方便；当两个方程中，同一个未知数的系数绝对值相等或成整倍

数时，用加减法较方便.

二、课堂练习

(本节课的课堂练习已提前发到学生手中，要求学生认真思考并解答每一个题，不明白或不清

楚的问题在题目上做好标记，以便本节课上重点听讲并解决之)

1.已知四个方程组：

’3x-y=l,①8x+12y=5,①

⑴！〜(2)<公

5x+4y=2；②15x-13y=l；②

x-5y=7,①(5x-6y=2,①

◎乂〜©乂公

3x+5y=9；②3x+7y=9.②

分别指出每一方程组比较简捷的解法[]

A.利用①，用含x的代数式表示y,再代入②;

B.利用②，用含y的代数式表示x,再代入①;

C.用加减法，先消去x；

D.用加减法，先消去y；

2.用适当方法解下列各方程组：

3(2x-l)+2(5y-2)=0,

x-5y=0,

⑴<

3x+7y=44；

心+口

x+y=500,

例23(4乂

60%•x+80%•y=500X72%.

4(x+y)-5(x-y)=2;

3.已知|x+y|+(x-y+3)W),则x、y的值分别是[]

223-33c33

；D

3*3；'2'"2"C-2-212-

5.若方程组[产y)的解是方程+2mxy+y2=16的一个解,

I7x-9y=5.

则m的值是[]

974

A.—；B.28；C.—；D.——.

447

6.思考题

若方程组f+1=7'无解，则a,c的值是[]

ax+2y=c

A.a=2,c=14；B.a=2,cW14；

C.aW2,c=14；D.aW2,cW14.

(第1题由学生口答即可，教师做些必要补充；第2题应让四名学生板演，教师与学生共同讲

解.并做小结；第3、4、5题应请三名学生分别阐述自己的解题方法，如有不妥之处，教师

作必要的补充.对于思考题，应首先由加减法消去一个未知数y,得(a-2)x=cT4,考虑到方

程组无解，就是这个方程无解，故当a=2,cW14时满足这一条件)

三、师生共同小结

首先，让学生回答，代入法和加减法解方程组的实质是什么？

然后，教师列出以下框图，以示说明.

消元

二元一次方程组一元一次方程I

代入、加温

四、作业P47习题6-2A组3B组3C组2

补充:

1.解方程组:

'5mn

——+—=-4,(3(2x-y)+4(x-2y)=87,

25

2]2(3x-y)-3(x-y)=82；

mn2

--+-=

366

x+1

l-0.3(x-2)=xy

5(4)<2+3=3a，(a是常数)

y-34x+9

-1.5；x-y=a.

420

2.当x=2和x=3时，二次三项式x*px+q的值等于零，求p,q的值.

jx|+|y|=5，

3.解方程组:

‘纲他|=2

简单的三元一次方程组的解法举例

教学目标

1.使学生了解三元一次方程组的概念，会用消元法解简单的三元一次方程组；

2.理解用消元法解三元一次方程组时体现的“三元”化“二元”、“二元”化“一元”的化

归思想方法.

教学重点和难点

重点：应用消元法解三元一次方程组.

难点：选择恰当的方法消元，解方程组.

课堂教学过程设计

一、新课引入

前面我们学习了用代入法、加减法解二元一次方程组，这两种方法的实质都是消元，即把“二

元”转化为“一元”，从而使问题得以解决.

但在实际中，我们所需要解决的问题往往涉及到3个或多个未知数，因而求解多元方程组的

问题是我们继续讨论的课题.

引例甲、乙、丙三数之和是26,甲数比乙数大1,甲数的两倍与丙数的和比乙数大18.求

这三个数.

（由学生设未知数，列方程组.并提问学生，让其板演列方程组）

设甲数是x,乙数是y,丙数是z,根据题意，可以得到下列几个方程

x+y+z=26,

x-y=l,

2x+z-y=18.

这个问题的解必须同时满足上述三个方程，因此，我们把上述三个方程合在一起写成

'x+y+z=26,①

ix-y=1,②

2x+z-y=18.③

这就构成了方程组，该方程组中含有三个未知数，且组成方程组的每个方程的未知数项的次

数都是1,这就是我们要学习的三元一次方程组.本节课我们主要学习三元一次方程组的解

法.

二、师生共同探讨三元一次方程组的解法

提问：怎样求解由引例列出的三元一次方程组呢？

（先由学生自己做，教师巡视，在学生动手动脑的基础上，教师给予适当引导）

首先引导学生思考：三元一次方程组与二元一次方程组的不同之处是什么？

然后，教师指出：我们知道二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成

一元一次方程求解.利用它们的解题思想和方法，我们是否会求解三元一次方程组呢？

（通过以上的启发工作，引导学生自然地想到通过代入法或加减法消元，化“三元”为“二元”，

化“二元”为“一元”，从而方程组得以求解）

例1解方程组

x+y+z=26,①

ix-y=1,②

2x+z-y=18.③

分析：仿照前面学过的代入法，将②变形后代入①、③中消元，再求解.

解法一：由②，得x=y+l.④

将④分别代入①、③得

2y+z=25,⑤

y+z=16.⑥

解这个方程组，得

'y=9,

z=7.

把y=9代入④，得x=10.

x=10,

所以<y=9,

z=7.

此时，教师进一步提出如下问题：

1.上面方程组中方程②只含有未知数X、y,是一个二元一次方程，由它可以直接求出x与y

的值吗？那么怎样可以求出x与y的值呢？

2.怎样得出关于x,y的第二个二元一次方程呢？（由学生独立思考，自己找出解题方法）

解法二：③-①，得x-2y=-8④

由②，④组成方程组

x-y=1,②

x-2y=-8.④

解这个方程组，得《x=10,

y=9.

把x=10,y=9代入①中，得y=7.

1=10,

所以<y=9,

z=7.

此时，教师进一步追问：本题是否还有更简捷方法求解？（若有学生发现简捷方法，教师应及

时给予表扬，并请学生板演.若不然，教师应引导学生观察这三个方程中未知数系数间的对

应关系.从而发现①+②所得的方程中X与Z的系数与方程③中X与Z的系数分别对应相等，

因此可由①+②-③直接得到关于y的一元一次方程，求出y值后再代回，即可得到关于X、y

的二元一次方程组）

解法三：由①+②-③，得y=9.把y=9代入②，得x=10.

把x=10,y=9代入①，得z=7.

x=10,

所以<y=9,

z=7.

（解答完本题后，应提醒学生不要忘记检验，但检验过程一般不写出）

从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速

求解方程组.

例2解方程组

'llx+3z=9,①

«2x+2y+z=8,②

2x-6y+4z=5.③

分析：在这个方程组中，方程①只含有两个未知数X、Z,所以只要由②③消去y,就可以得

到只含有x,z的二元一次方程组.

解：②X3+③，得llx+7z=29,④

把方程①，④组成方程组

[lx+3z=9,①

'llx+7z=29.④

r_6

解这个方程组，得]'=一五’

z=5.

把x=-搐,z=5代入②，得

6

3*(--)+2y+5=8,

51

所以y=0.

，6

x='Ti,

51

所以y=221

z=5.

问：将x=《，z=5代入②求懂行吗？怎样更简捷.

例3解方程组

3x+2y+z=13,①

<x+y+2z=7,②

2x+3y-z=12.③

分析时，引导学生观