3.2.1双曲线的标准方程（解析版）

3.2.1双曲线的标准方程同步练习基础巩固基础巩固一、单选题1．“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】当，则且或且，此时方程表示的曲线一定为双曲线；则充分性成立；若方程表示的曲线为双曲线，则，则必要性成立，故选：.2．已知动点满足，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．双曲线C．双曲线的左支 D．双曲线的右支【答案】D【分析】根据所给式子，满足双曲线线的定义，且为双曲线的右支，即可得解.【详解】表示：动点到两定点，的距离之差等于2，而，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支．故选：D3．已知，动点P满足，则P点的轨迹是A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线【答案】D【分析】利用，从而可以判断点轨迹是一条射线【详解】由于，即，所以点轨迹是一条射线，故选：．【点睛】本题考查双曲线的定义，应注意定义中的条件，否则会出错．4．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到，得到，求出双曲线方程.【详解】由题意得：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，，故，又，故，故双曲线的标准方程为：.故选：C5．已知曲线表示焦点在轴上的双曲线，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用双曲线的定义、标准方程判断.【详解】因为，所以，又曲线表示焦点在轴上的双曲线，所以，解得，故A，B，C错误.故选：D．6．在平面直角坐标系中，双曲线的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据双曲线特征，直接判断选项.【详解】A是椭圆的图象，B是圆的图象，C是直线的图象，D是双曲线的图象.故选：D7．与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得双曲线的焦点坐标以及焦点所在坐标轴，然后求得椭圆的，从而求得椭圆方程.【详解】双曲线的焦点在轴上，且焦点为，所以椭圆的焦点在轴上，且，依题意，椭圆短半轴，则，所以椭圆的方程为.故选：B8．若双曲线的一个焦点为，则（

）．A． B． C． D．8【答案】D【分析】根据的关系计算可解．【详解】因为双曲线的一个焦点为，所以，所以，解得．故选：D．9．已知双曲线的两焦点分别为，，P为双曲线上一点，若，则（

）．A．16 B．18 C．4或16 D．2或18【答案】D【分析】利用双曲线方程求出，再根据双曲线的定义即可得结果.【详解】在双曲线中，，，，因为，且，所以2或18故选：D.10．在双曲线的标准方程中，若，则其标准方程是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】双曲线的标准方程有两种情形，一是焦点在x轴，另一种焦点在y轴，根据a与b写出标准方程即可．【详解】在双曲线的标准方程中，，当双曲线的焦点在x轴上时，它的标准方程是；当双曲线的焦点在y轴上时，它的标准方程是.所以双曲线标准方程是或.故选：D二、填空题11．经过点且焦点为，的双曲线的标准方程是．【答案】【分析】由焦点坐标得，由定义得，即可求出双曲线的标准方程.【详解】双曲线的焦点在轴上，且，因为双曲线过点，根据双曲线的定义得：，则，则，所以双曲线的标准方程为故答案为：.12．若双曲线的焦点在x轴上，且，则双曲线的标准方程为.【答案】【分析】根据抛物线中的关系，结合条件即可求得的值，从而求得结果.【详解】因为，，，解得c＝5，a＝4.所以双曲线的标准方程为.故答案为:.13．已知焦点､，双曲线上的一点P到､的距离差的绝对值等于6，双曲线的标准方程为.【答案】【分析】根据双曲线的定义，结合焦点坐标，即可求得，从而解得其标准方程.【详解】因为双曲线的焦点为､，故可设其方程为，且，根据双曲线的定义，由题可得：，即，故，则所求所曲线方程为：.故答案为：.14．如果双曲线上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一焦点的距离是．【答案】22【分析】由双曲线定义得到方程，进行求解.【详解】由题意得，又，所以.故答案为：2215．双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于.【答案】17【分析】根据双曲线的定义可求点与另一个焦点的距离.【详解】由双曲线的方程可得实半轴长为，虚半轴长为，故.因为点与一个焦点的距离等于1，而，故点与该焦点同在轴的上方或下方，故点与另一个焦点的距离为，故答案为：.三、解答题16．已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线上一点到的距离之差的绝对值等于，求该双曲线的标准方程．【答案】【分析】设标准方程为，由题意可得再结合即可求出，得到双曲线的标准方程．【详解】因为双曲线的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为，因为，所以，又因为，所以，故双曲线的标准方程为.17．判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出，，的值及焦距；若不是，请说明理由．（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】答案见解析【分析】（1）（2）（3）均可化为双曲线标准方程，，，通过焦距定义即可得解，而（4）式非双曲线方程.【详解】（1）表示双曲线，，，，焦距为．（2）表示双曲线，，，，焦距为．（3）表示双曲线，，，，焦距为．（4）不表示双曲线，由，得，即或，所以该方程表示直线和直线．18．已知曲线C的方程为，根据下列条件，求实数m的取值范围：(1)曲线C是椭圆；(2)曲线C是双曲线．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得，即求；（2）利用双曲线的标准方程可得，即求.【详解】（1）∵曲线C的方程为，∴，又曲线C是椭圆，∴，解得且，∴实数m的取值范围为；（2）∵曲线C是双曲线，∴，解得或，故实数m的取值范围为.19．求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点的双曲线方程.【答案】【详解】椭圆∴a2＝25，b2＝16，c2＝25－16＝9且椭圆焦点在y轴上∴双曲线的焦距是2×5＝10，实轴长为2×3＝6，虚轴长为8即a＝3，b＝4，c＝5∵焦点在y轴上∴双曲线方程为：能力进阶能力进阶20．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，，焦点在x轴上；(2)焦点为，，且；(3)，．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）求得，由此求得双曲线的标准方程.（2）求得，由此求得双曲线的标准方程.（3）根据双曲线焦点所在坐标轴进行分类讨论，由此求得双曲线的标准方程.【详解】（1），双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为（2），双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准