初中数学证明垂直问题训练含答案

初中数学证明垂直问题专题训练含答案

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一、综合题(共3题)

1、如图，四边形力比”是正方形，△如T是等腰直角三角形，点后在4?上，且N/F=90°,

FGLAD,垂足为点C.

(1)试判断4G与AG是否相等？并给出证明；

(2)若点，为CF的中点，GH与DH垂直吗?若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由.

2、如图，四边形，超仁。是平行四边形，AD=AC,AL/1AC,总是月8的中点，尸是延

长线上一点.

(1)若双j_L豆尸，求证：即=直F；

(2)在(1)的条件下，若止；的延长线与踮交于点F,试判定四边形片仃琶是否为平行四

边形？并证明你的结论(请先补全图形，再解答)；

(3)若即=》?，彦Z)与四声垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由.

3、如图16,已知aABC为等边三角形，P为BC上一点，4APQ为等边三角形。

(1)求证:AB〃CQ；

(2)AQ与CQ能否互相垂直？若能互相垂直，指出点P在BC上的位置，并给予证明；若AQ

与CQ不能互相垂直，请说明理由。

计算题(共1题)

如图，在中，乙%1C=9T,M是3c边上的高，S

是边上的一个动点(不与属C重合)，EGLAC,

垂足分别为居G.

EG_CG

(1)求证：AD"CD；

(2)砧与OGF是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由;

(3)当盘二£C时，△阳0t为等腰直角三角形吗？并说明理由.

三、解答题(共4题)

1、完成下面证明：

(1)如图1,已知直线1^〃(:，a_Lc,求证：a±b

证明：Va±c(已知)

.-.Zl=(垂直定义)

；b〃c(已知)

.,.Z1=Z2()

/.Z2=Z1=9O°()

/.a±b()

(2)如图2：AB〃CD,ZB+ZD=180°,求证：CB〃DE

证明：VAB/7CD(已知)

/.ZB=()

VZB+ZD=180°(已知)

.,.ZC+ZD=180°()

，CB〃DE()

2、如图所示，已知AE与CE分别是NBAC,NACD的平分线，旦N1+N2=NAEC.

(1)请问：直线AE与CE互相垂直吗？若互相垂直，给予证明；若不互相垂直，说明理由;

(2)试确定直线AB,CD的位置关系并说明理由.

3、直线队“纱，与4处的平分线交于点C,过点C作一条直线/分别与直线PA,

QB相交于点D,E.

(1)如图(1),当直线1与PA垂直时，求证：犯12苴=4配

(2)如图(2),当直线1与PA不垂直且点D,E在AB同侧时，(1)中的结论是否成立？

如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.

(3)当直线1与PA不垂直且点D,E在AB异侧时，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立,

请证明；如果不成立，请写出AD,BE,AB之间的数量关系(不用证明).

P

D,

ABAHAB

图⑴图（2）备用图

4、已知：在aABC中，AC=BC,ZACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点。

（1）直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G（如图1）,求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M（如图2）,找出图中与BE

相等的线段，并证明。

========参考答案=======

一、综合题

1、【解答】解：（1）AG=FG,

理由如下：如图，过点尸作£伏£46交加的延长线于点"

•••四边形/题是正方形

:.AB=BC,/B=90°=ZBAD

,：FMVAB,ZMAD=90°,FGVAD

...四边形是矩形

:.AG=MF,AM=FG,

•:/CEFS,

:./FE处/BEC=9C,/BEC+/BCE=90°

:./FEM=4BCE,且/%=N8=90°,EF=EC

:ZFgXCEB(加S)

：.BE=MF,ME=BC

：.ME=AB=BC

：.BE=MA=MF

：.AG=FG,

(2)DHLHG

理由如下：如图，延长力交切于点M

■:FG1AD,CDLAD

：.FG//CD

FG_FH_GH

/.CN=CH=NH,nCH=FH,

：.GH=HN,NC=FG

：.AG=FG=NC

又,：AD=CD,

：.GD=DN,且GH=HN

C.DHX.GH

证明：(l)在CM8C0中

AD=AC,ADtAC

：.AC^BC.AC±BC...........................

连接CE,.-£为AB中点AE=EC

二Z.4C£=Z.JJCE=45°.

“1,二.人O_IJS

乂一”:〃+

一小〃=.CFh

El)=KF.........

(2)

乂CP//AF：

，CP为△”18的中停线

CPJLAK

EH

四边形是平行四边形.

...................................................

（3）过点、E作EH1VH.作ECi

"I交延长线J点G

v\h：=EC

，£，1C=乙HCE=45"

/.△ACEM△(："：

EC=EH......................................................................................................8分

乂ED=£F

/.KtAD£G^RlAA＞：//

.•.乙ADE=^CFE…

/.ZDEA-LFEC

乙FEC+乙力EC=ZDEA+乙DEC=°0°

:.乙〃£尸=90"

II价

AEDxEF…

3、①证明：另证4ABPgZxACQ,

AZACQ=ZB=60°=NBAC,，AB〃CQ

2

②能，点P在BC的中点，当P为BC边中点时，ZBAP=2ZBAC=30°,

/.ZBAQ=ZBAP+ZPAQ=300+60°=90°,

又,.•AB〃CQ,AZAQC=90°,即AQ_LCQ.

二、计算题

1、(1)证明：在ZU门C和中,

vZADC=空QC=RtZ,ZC=ZC

:.匕粒C62室亢

.EC1_CO

(2)户口与口G垂直

证明如下:

在四边形及揖C?中,

ZA^£?=ZJFS=^AGS=9(T

..四边形盘噌仃为矩形

AF=2G

由⑴知茄=丽

,AF_CG

“茄一访

•.人比为直角三角形，也」纪

△且阳SZW0

:,乙W产=NCZ）&

又ZCDb+Z^ZMJnqT

;,松产+乙9£?=2

即/期行=30°

二FD-LDG

（3）当盘=^e时，△越阳为等腰直角三角形,

理由如下：

，.\4=WC,/胡C=9Q・

:,AD=DC

由（2）知：ZL仲Z）sZ\CU0

FDAD,

GDDC

:,初=比？

XZFD5=5Cr

二&忆心为等腰直角三角形

三、解答题

1、解答：

（1）证明：如图bVa±c（已知），

/.Zl=90°（垂直定义），

,.，b〃c（已知）,

/.Z1=Z2（两直线平行，同位角相等），

.\Z2=Z1=9O°（等量代换），

Aa±b（垂直的定义）；

（2）证明:如图2,VAB//CD（已知），

/.ZB=ZC（两直线平行，内错角相等），

VZB+ZD=180°（已知），

.,.ZC+ZD=180°（等量代换），

••.CB〃DE（同旁内角互补，两直线平行）.

故答案是：（1）Z2；两直线平行，同位角相等；等量代换；垂直的定义；

（2）NC；两直线平行，内错角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行.

图1国2

2、考点：

平行线的判定；垂线；三角形内角和定理.

分析:

(1)根据：Zl+Z2+ZAEC=180°和N1+N2=NAEC推出NAEC=90°,根据垂直定义推出即

可；

(2)根据角平分线得出2N1=NBAC,2Z2=ZDCA,求出NBAC+NDCA=2X90°=180°,根据

平行线的判定推出即可.

解答：

(1)AE_LCE,

证明：•.•Nl+N2+NAEC=180°,Z1+Z2=ZAEC,

/.2ZAEC=180°,

/.ZAEC=90°,

/.AE±CE.(2)解：AB//CD,

理由是：：AE与CE分别是NBAC,NACD的平分线，

.*.2Z1=ZBAC,2Z2=ZDCA,

VZ1+Z2=ZAEC=9O°,

.,.ZBAC+ZDCA=2X90°=180°,

，AB〃CD.

点评：

本题考查了平行线的性质，角平分线定义，垂直定义，三角形的内角和定理的应用，主要考

查学生的推理能力.

3、(1)证明见解析；(2)成立，证明见解析；(3)不成立，翻血=肛

【解析】

(1)根据各线段之间的长度，先猜想AD+BE=AB；

(2)在AB上截取AG=AD,连接CG,利用三角形全等的判定定理可判断出AD=AG.同理可

证BG=BE,即AD+BE=AB；

(3)画出直线1与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时的图形，分两种情况讨论：①

当点D在射线AM上、点E在射线BN的反向延长线上时；②点D在射线AM的反向延长线上，

点E在射线BN上时；得到AD,BE,AB之间的关系.

【详解】

（1）如图，过点C作缈上融于点F.

平分4超，BC平分N0S,

二^1=/2,23=N4.

-IA.AP,PA.HBQf

..Z£2M=Z»O=SKr,

Z1+Z2+Z3+Z4=18O0,

二4+/3=9胪，

.-.2^0=90°.

二/54=9电。.

Z2=ZI

-ZADC=ZAFC=9fJ0

在与以CE1中，［“=松

.A<3M^CK4(A1S)

二AD-AF.

同理可得避产=A支.

AB-,

AB=AJ）+JfR.

（2）成立.证明：如图，在AB上截取乂仔二㈤，连接CG.

平分上总，

：.ZDJC=Z<CAB.

AD=Mf

ZDAC^ZGAC

_,{我一"

-uiJDC9"GC(SilS)

..ZDCd=ZACG.

-APHSQ

：.NZMC*NC朋+以的+NCB西=180°

^ZDJC-ZCAB,BC平分N^C,

.\Z<i®C=ZCS£,

.25=90°,即N4CGI/GC雷=90°.

、；ZDCA+ZACGtZ<MfZSC£=180°,

二々04+46=90°,..Z<5C»=ZEC