2024秋新教材高中数学课时跟踪检测三十七总体离散程度的估计新人教A版必修第二册

PAGEPAGE2总体离散程度的估计层级(一)“四基”落实练1．数据101,98,102,100,99的标准差为 ()A.eq\r(2) B．0C．1 D．2解析：选A∵eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(101＋98＋102＋100＋99)＝100，∴s2＝eq\f(1,5)[(101－100)2＋(98－100)2＋(102－100)2＋(100－100)2＋(99－100)2]＝2，s＝eq\r(2).2．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为 ()A．8 B．15C．16 D．32解析：选C已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为eq\r(22×64)＝2×8＝16，故选C.3．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成果统计如下表：班级人数平均分数方差甲20eq\o(x,\s\up6(－))甲2乙30eq\o(x,\s\up6(－))乙3其中eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，则两个班数学成果的方差为 ()A．3 B．2C．2.6 D．2.5解析：选C由题意可知两个班的数学成果平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，则两个班数学成果的方差为s2＝eq\f(20,20＋30)[2＋(eq\o(x,\s\up6(－))甲－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＋eq\f(30,20＋30)[3＋(eq\o(x,\s\up6(－))乙－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝eq\f(20,20＋30)×2＋eq\f(30,20＋30)×3＝2.6.4．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为()A.eq\r(\f(6,5)) B.eq\f(6,5)C．2 D.eq\r(2)解析：选D∵样本a,0,1,2,3的平均数为1，∴eq\f(a＋6,5)＝1，解得a＝－1.则样本的方差s2＝eq\f(1,5)×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故标准差为eq\r(2).故选D.5．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为eq\x\to(x)A和eq\x\to(x)B，样本标准差分别为sA和sB，则 ()A.eq\x\to(x)A＞eq\x\to(x)B>，sA>sB B.eq\x\to(x)A<eq\x\to(x)B，sA>sBC.eq\x\to(x)A>eq\x\to(x)B，sA<sB D.eq\x\to(x)A<eq\x\to(x)B，sA<sB解析：选Beq\x\to(x)A＝eq\f(1,6)(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝6.25，eq\x\to(x)B＝eq\f(1,6)(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝eq\f(35,3)≈11.67.seq\o\al(2,A)＝eq\f(1,6)[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90，seq\o\al(2,B)＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(35,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(35,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,2)－\f(35,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(35,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,2)－\f(35,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(35,3)))2≈3.47.故eq\x\to(x)A＜eq\x\to(x)B，sA＞sB.6．一组样本数据a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是________．解析：x2－5x＋4＝0的两根为1,4，当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4；当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1，所以a＝1，b＝4，s2＝5.答案：57．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差为eq\r(2)，则xy＝________.解析：由平均数得9＋10＋11＋x＋y＝50，∴x＋y＝20.又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x－10)2＋(y－10)2＝(eq\r(2))2×5＝10，得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，∴xy＝96.答案：968．为了爱护学生的视力，教室内的日光灯在运用一段时间后必需更换．已知某校运用的100只日光灯在必需换掉前的运用天数如下表：天数151～181～211～241～271～301～331～361～180210240270300330360390灯管数1111820251672(1)试估计这种日光灯的平均运用寿命；(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？解：(1)各组的组中值分别为165,195,225,255,285,315,345,375，由此可算得这种日光灯的平均运用寿命约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．(2)eq\f(1,100)×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2128.6.故标准差为eq\r(2128.6)≈46.估计这种日光灯的平均运用寿命约为268天，标准差约为46天，故在222天到314天之间统一更换较合适．层级(二)实力提升练1．若样本1＋x1,1＋x2,1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x1,2＋x2，…，2＋xn，下列结论正确的是 ()A．平均数是10，方差为2B．平均数是11，方差为3C．平均数是11，方差为2D．平均数是10，方差为3解析：选C若x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，方差为s2，那么x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的平均数为eq\x\to(x)＋a，方差为s2，故选C.2．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成果(单位：分)为：x，y,105,109,110.已知该同学五次数学成果数据的平均数为108，方差为35.2，则|x－y|的值为 ()A．15 B．16C．17 D．18解析：选D由题意得，eq\f(x＋y＋105＋109＋110,5)＝108，①eq\f(x－1082＋y－1082＋9＋1＋4,5)＝35.2，②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝99，,y＝117))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝117，,y＝99，))所以|x－y|＝18.3．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)．解析：不妨设x1≤x2≤x3≤x4且x1，x2，x3，x4为正整数．由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3＋x4,4)＝2，,\f(x2＋x3,2)＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＋x3＋x4＝8，,x2＋x3＝4.))又x1，x2，x3，x4为正整数，∴x1＝x2＝x3＝x4＝2或x1＝1，x2＝x3＝2，x4＝3或x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.∵s＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1－22＋x2－22＋x3－22＋x4－22)))＝1，∴x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.由此可得4个数分别为1,1,3,3.答案：1,1,3,34．某学校统计老师职称及年龄，中级职称老师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的老师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称老师年龄的平均数和方差．解：由已知条件可知高级职称老师的平均年龄为eq\x\to(x)高＝eq\f(3×58＋5×40＋2×38,3＋5＋2)＝45，年龄的方差为seq\o\al(2,高)＝eq\f(1,3＋5＋2)[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，所以该校中级职称和高级职称老师的平均年龄为eq\x\to(x)＝eq\f(50,50＋10)×38＋eq\f(10,50＋10)×45≈39.2(岁)，该校中级职称和高级职称老师的年龄的方差是s2＝eq\f(50,50＋10)[2＋(38－39.2)2]＋eq\f(10,50＋10)·[73＋(45－39.2)2]＝20.64.5．某校医务室抽查了高一10个同学的体重(单位：kg)如下：74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；(2)估计高一全部学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差．解：(1)这10个学生体重数据的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71.这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72，所以这10个学生体重数据的中位数为eq\f(71＋72,2)＝71.5.这10个学生体重数据的方差为s2＝eq\f(1,10)×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11，这10个学生体重数据的标准差为s＝eq\r(s2)＝eq\r(11).(2)由样本估计总体得高一全部学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为eq\r(11).层级(三)素养培优练1．(多选)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成果，5名男生的成果分别为86,94,88,92,90,5名女生的成果分别为88,93,93,88,93.则下列说法肯定正确的是 ()A．这种抽样方法是分层随机抽样B．这5名男生成果的中位数小于这5名女生成果的众数C．这5名男生成果的方差大于这5名女生成果的方差D．该班男生成果的平均数小于该班女生成果的平均数解析：选BC若抽样方法是分层随机抽样，男生、女生应分别抽取6人、4人，所以A错误；这5名男生成果的中位数是90，这5名女生成果的众数为93，因为90<93，所以B正确；这5名男生成果的平均数eq\x\to(x)1＝eq\f(86＋94＋88＋92＋90,5)＝90，这5名女生成果的平均数eq\x\to(x)2＝eq\f(88＋93＋93＋88＋93,5)＝91，故这5名男生成果的方差为eq\f(1,5)×[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，这5名女生成果的方差为eq\f(1,5)×[(88－91)2×2＋(93－91)2×3]＝6，所以这5名男生成果的方差大于这5名女生成果的方差，但该班男生成果的平均数不肯定小于女生成果的平均数，所以C正确，D错误．2．为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，从两厂各随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：(1)分别计算甲、乙两厂供应的10个轮胎宽度的平均值．(2)若轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别供应的10个轮胎中全部标准轮胎宽度的方差的大小，依据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动状况，推断这两个工厂哪个的轮胎相对更好．解：(1)甲厂10个轮胎宽度的平均值：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,10)×(