备战2024年高考数学一轮复习易错题13模拟卷二含解析

易错点13模拟卷（二）第I卷（选择题)请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．（2024·天津南开中学高三月考）设集合，，，则A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}【答案】D【解析】因为，所以.故选D。2．（2024·北京高考模拟（文））在复平面内，复数对应的点位于其次象限，则复数可取（）A．2 B．-1 C． D．【答案】B【解析】不妨设，则，结合题意可知：，逐一考查所给的选项：对于选项A：，不合题意；对于选项B：，符合题意；对于选项C：，不合题意；对于选项D：，不合题意；故选B.3．（2024·天津南开中学高三月考）设，则“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】肯定值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.4．（2024·宁夏回族自治区宁夏高校附属中学高三其他（文））已知是定义在上的偶函数，且，假如当时，，则（）A．3 B．-3 C．2 D．-2【答案】C【解析】由，得，所以是周期为8的周期函数，当时，，所以，又是定义在R上的偶函数所以.5．（2024·全国高三其他（理））若的绽开式中各项系数之和为，全部偶数项的二项式系数之和为，且，则绽开式中含项的系数为（）A． B． C．540 D．180【答案】A【解析】记，则，由二项式系数性质得，∵，∴，解得．∵，由，得，∴绽开式中含项的系数为．故选：A.6．（2024·全国高三其他（文））若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满意条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①；②；③；④．其中是“柯西函数”的为（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】B【解析】由柯西不等式得，对随意实数恒成立，当且仅当时取等号，若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满意条件：的最大值为0，则函数在其图象上存在不同的两点，使得共线，即存在过原点的直线与的图象有两个不同的交点．对于①，方程，即，最多有1个正根，所以不是柯西函数；对于②，由图①可知不存在；因为在点处，与相切，所以最多有1个正解；对于③，由图②可知存在；对于④，由图③可知存在．所以①②不是柯西函数，③④是柯西函数．7．（2024·安徽省高三二模（理））我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在全部等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线，直线为曲线在点处的切线.如图所示，阴影部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为.给出以下四个几何体：①②③④图①是底面直径和高均为的圆锥；图②是将底面直径和高均为的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图③是底面边长和高均为的正四棱锥；图④是将上底面直径为，下底面直径为，高为的圆台挖掉一个底面直径为，高为的倒置圆锥得到的几何体.依据祖暅原理，以上四个几何体中与的体积相等的是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【解析】几何体是由阴影旋转得到，所以横截面为环形，且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为，切线对应的横坐标为，切线为，即，横截面面积图①中的圆锥高为1，底面半径为，可以看成由直线绕轴旋转得到横截面的面积为.所以几何体和①中的圆锥在全部等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等，故选A项.8．（2024·浙江省余姚中学高一期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且边上的高为，则的最大值是（）A．8 B．6 C． D．4【答案】D【解析】，这个形式很简单联想到余弦定理：cosA，①而条件中的“高”简单联想到面积，bcsinA，即a2＝2bcsinA，②将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋sinA)，∴＝2(cosA＋sinA)＝4sin(A＋)，当A＝时取得最大值4，故选D．二、多选题9．（2024·山东省烟台二中高一期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（）A．在棱上存在点M，使平面B．异面直线与所成的角为90°C．二面角的大小为45°D．平面【答案】ABC【解析】如图，对于，取的中点，连接，∵侧面为正三角形，，又底面是菱形，，是等边三角形，，又，，平面，平面，故正确.对于，平面，，即异面直线与所成的角为90°，故正确.对于，∵平面平面，，平面，，是二面角的平面角，设，则，，在中，，即，故二面角的大小为45°，故正确.对于，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误.故选：10．（2024·山东省高三其他）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．【答案】CD【解析】由，得，函数与互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，如图所示，则，由反函数性质知关于(1，1)对称，则，，，∴A､B错误，D正确.，在上单调递增，且，，.又∵点在直线上，即，，故C正确.故选：CD11．（2024·海南省高考真题）已知曲线.（）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.12．（2024·海南省高考真题）下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）

A． B． C． D．【答案】BC【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,当时，，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC.第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明三、填空题13．（2024·辽宁省高三一模（理））《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___.【答案】【解析】设此等差数列为{an}，公差为d，则（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份为a1，故答案为．14．（2024·全国高三其他（文））已知是定义在R上的偶函数，且，当时，，当时，，则_________.【答案】【解析】依据题意，满意，即，则函数是周期为6的周期函数，当时，，则，，，当时，，则，函数为偶函数，则，，，函数是周期为6的周期函数，则，，；则；故答案为：．15．（2024·全国高三其他（理））已知为的外心，且，，则实数的值为______．【答案】【解析】如图所示，取边的中点，则，又，所以，所以，，三点共线，，因为为的外心，所以，，所以，．因为，所以，所以．四、双空题16．（2024·北京高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付胜利后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，须要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．【答案】130.15.【解析】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,须要支付元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,元时,李明得到的金额为,符合要求.元时,有恒成立,即,即元.所以的最大值为.五、解答题17．（2024·天津高考真题（文））在中，内角所对的边分别为，已知的面积为．(1)求和的值；(2)求的值．【答案】（1），（2）【解析】（1）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.（2）,18．（2024·黑龙江省大庆试验中学高三月考（理））甲、乙两位同学参与某个学问答题嬉戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”其次轮为“轮番坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题；第一轮答题完毕后进行其次轮“轮番坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，接着答下一题…，直到答错，则换人（换庄）答下一题…以此类推.例如若甲首先坐庄，则他答第1题，若答对接着答第2题，假如第2题也答对，接着答第3题，直到他答错则换成乙坐庄起先答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推两人共计答完20道题嬉戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在其次轮环节中最先起先作答，且记第道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为（），其中，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是，假如某位同学有机会答第道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立；两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题（1）请预料其次轮最先起先作答的是谁？并说明理由（2）①求其次轮答题中，；②求证为等比数列，并求（）的表达式.【答案】（1）其次轮最先起先答题的是甲；详见解析（2）①，②证明见解析；（）【解析】(1)设甲选出的3道题答对的道数为,则,设甲第一轮答题的总得分为,则,所以;(或法二:设甲的第一轮答题的总得分为,则的全部可能取值为30,15,0,-15,且,,,,故得分为的分布列为:30150-15;)设乙的第一轮得分为,则的全部可能取值为30,15,0,则,,,故的分布列为:30150故,∵,所以其次轮最先起先答题的是甲.(2)①依题意知,,,②依题意有(),∴,(),又,所以是以为首项,为公比的等比数列,∴,∴().19．（2024·辽宁省庄河中学高二月考）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）因为，为的中点，所以，且.连结.因为，所以为等腰直角三角形，且，.由知.由知平面.（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.由已知得取平面的法向量.设，则.设平面的法向量为.由得，可取，所以.由已知得.所以.解得（舍去），.所以.又，所以.所以与平面所成角的正弦值为.20．（2024·天津南开中学高三月考）已知椭圆的右焦点为，且经过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以；因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.（Ⅱ）设联立得，，，.直线，令得，即；同理可得.因为,所以；，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.21．（2024·福建省建瓯市芝华中学高二月考）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的运用状况，从全校学生中随机抽取了100人，发觉样本中A，B两种支付方式都不运用的有5人，样本中仅运用A和仅运用B的学生的支付金额分布状况如下：交付金额（元）支付方式（0,1000]（1000,2000]大于2000仅运用A18人9人3人仅运用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都运用的概率；（Ⅱ）从样本仅运用A和仅运用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有改变．现从样本仅运用A的学生中，随机抽查3人，发觉他们本月的支付金额都大于2000元．依据抽查结果，能否认为样本仅运用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有改变？说明理由．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析.【解析】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：人，则：该学生上个月A，B两种支付方式都运用的概率.(Ⅱ)由题意可知，仅运用A支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，仅运用B支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，且X可能的取值为0,1,2.，，，X的分布列为：X012其数学期望：.(Ⅲ)我们不认为样本仅运用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有改变.理由如下：随机事务在一次随机试验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率．学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生依据自己的实际状况每个月的消费应当相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事务”.22．（2024·山西省高三其他（理））已知函数，其定义域为.（其中常数，是自然对数的底数）（1）求函数的递增区间；