2017-2018学年苏教版高中数学选修2-1第三章学案全

2017.2018学年苏教版高中

数学选修2-1学案

目录

3.1.1空间向量及其线性运算-3.1.2共面向量定理

3.1.1空间向量及其线性运算

3.1.2共面向量定理

3.1.3空间向量基本定理-3.1.4空间向量的坐标表示

3.1.3空间向量基本定理-3.1.4空间向量的坐标表示1

3.1.5空间向量的数量积

3.1.5空间向量的数量积1

3.2.1直线的方向向量与平面的法向量-3.2.2空间线面关系的判定

（-）

3.2.1直线的方向向量与平面的法向量

3.2.2空间线面关系的判定（一）平行关系

3.2.2空间线面关系的判定（二）

3.2.2空间线面关系的判定（二）垂直关系

3.2.3空间的角的计算

3.2.3空间的角的计算1

3疑难规律方法

3章末复习提升

3章末复习课

2017-2018学年苏教版高中数学选修2・1学案

空间向盘与立体几何

空间向量及其运算

3.1.1空间向量及其线性运算

［学习目标］1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示2掌握空间向量

的线性运算及运算律，理解空间向量线性运算及其运算律的儿何意义.

〒知识梳理自主学习

知识点一空间向量的概念

在空间中，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有太小又有左包的量叫做空间向量，向

量的大小叫向量的长度或模.

知识点二空间向量的加减法

(1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运穴守二^7,

算类似于平面向量的加减法.(如图)%

O^-----a-----

OB=OA-\-AB—a-\-b-,

CA^OA~OC=a~b.

(2)运算律

交换律：a+b=b+a；

结合律:(a+h)+c=a+(h+c).

知识点三空间向量的数乘运算

⑴定义

实数力与空间向量”的乘积2。仍是一个向量，称为向量的数乘运算.当>0时，加与。方

向相同;当2<0时，向与。方向相反;当a=0时，7。=0.痴的长度是”的长度的囚倍.如

图所示.

(2)运算律

分配律：2(。+〃)=翁+乃;

结合律：2(/⑷=(2〃)a.

知识点四共线向量定理

1

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(1)共线向量的定义

与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫

做共线向量或平行向量,记作

(2)充要条件

对空间任意两个向量”，仇。#0),b与a共线的充要条件是存在实数"使6=痴.

思考(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同.对吗？

(2)零向量没有方向.对吗？

(3)空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致.对吗？

答案(1)正确.起点相同，终点也相同的两个向量相等.

(2)错误.不是没有方向，而是方向任意.

(3)正确.

守题型探究重点突破

题型一空间向量的概念

例1判断下列命题的真假.

(1)空间中任意两个单位向量必相等；

(2)方向相反的两个向量是相反向量；

(3)若同=网，则a=Z»或。=一6；

(4)向量癌与筋的长度相等.

解(1)假命题.因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同.

(2)假命题.因为方向相反的两个向量模不一定相等.

(3)假命题.因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的.

(4)真命题.因为血与蕊仅是方向相反，但长度是相等的.

反思与感悟空间向量的^念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关^念，如向量

的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.

跟踪训练1如图所示，以长方体/BCD—的八个顶点的两点为o,C,

始点和终点的向量中，%

/J卜——————--™

(1)试写出与弱相等的所有向量；P——/

(2)试写出筋1的相反向量；

(3)若48=49=2,AA,=1,求向量/3的模.

解(1)与向量寿相等的所有向量(除它自身之外)有/花比及求1共3个.

(2)向量与I的相反向量为瓦力，qc,D^D.

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⑶瑟||=3,

题型二空间向量的线性运算

例2如图，在长方体中，下列各式运算结果为防।

的是.（填序号）

@A\D\-A\A-AB；

②说+函一乘1；

©AD-AB-DDi；

@Bd)\-A^A+DD\.

答案①②

解析（1）/出|一命一就=病|一部=防1；

⑵诙十函一成1=BCi+qbj=丽；

（3）施一蓊一丽=丽一丽=访一函=而#丽；

（4）8。]—A\A-\~DD\=BD-\~AA\DD\=BD\-\'AA\^BD\.

反思与感悟运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素:

（1）向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；（2）向量戒法的三角形法则：”起点

重合，指向被减向量”；（3）平行四边形法则：“起点重合”；（4）多边形法则：“首尾相接,

指向终点”.

跟踪训练2如图，在正方体力8。£»一小SGQ中，下列各式中运算结

果为向量N心的是.（填序号）

©（J1S+BQ+CC,；②（篇|+/办）+说?|；③弟+丽）+瓦匕；④（刀1

+/面+乘1.

答案①②③④

解析①（淡+灰?）+&\=就+1|=元1；②（刀|+4））+充尸疝叶说:|=元|；

③（淡+丽1）+成■尸石I+瓦2|=元|；®（AAt+4亟1）+8南|=族|+或7]=於1.所以所给四

个式子的运算结果都是工L

题型三空间向量的共线问题

例3设e/、ez是平面上不共线的向量，已知益=2ei+和2，CB=ei+3e2,CV=2e\~e2,

若/、B、。三点共线，求上的值.

解'：Bb=CD-CB=ex-4e1,AB=2e{+ke2,

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又/、B、。三点共线，由共线向量定理得宙=平，

；.左=一8.

反思与感悟灵活应用共线向量定理，正确列出比例式.

跟踪训练3设两非零向量切、e2不共线，AB=et+e2,5C=2e,+8e2,CD=3(e\-ei).试

问：A.B、。是否共线，请说明理由.

解"：BD=BC+CD

=(2%+8«2)+3(«]—02)=5(«1+«2),

：.BD=5AB,

又•••8为两向量的公共点，

：.A.B、。三点共线.

尹当堂检测自查自纠

1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的条件.

答案必要不充分

解析a=b=:>\a\=\b\；\a\=\b\~/>a=h.

2.在平行六面体488—HB'CD'的各条棱所在的向量中，模与向量的模相

等的向量有个.

答案7

解析|D,-C,|=|C/"b,\=\DC\=\CD\=\BA\=\AB\

=|夕二'|=|/'

3.下列说法中正确的是.(填序号)

①若同=步|,贝Um6的长度相等，方向相同或相反;

②若向量。是向量6的相反向量，则⑷=网；

③空间向量的减法满足结合律；

④在四边形/8CD中，一定是成+疝=元.

答案②

解析若同=|句，则a,8的长度相等，方向不确定，故①不正确；相反向量是指长度相同,

方向相反的向量，故②正确；空间向量的减法不满足结合律，故③不正确；在。488中，

才有前+历=充，故④不正确.

4.如图，在平行六面体ABCD—ARCQi中，”为小G与BiDi的交

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点.若赢=a,AD=b,筋］=c,则下列向量中与前相等的向量是.（填序号）

®—^a+^b+c@^a+^b+c

答案①

解析BM=BBy+B^M=^AD-AB）+AAy

1,1,

=-54+56+c.

5.下列命题中正确的个数是.

①如果a,8是两个单位向量，则同=网；

②两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同：

③若a,b,c为任意向量，则（a+方）+c=a+（b+c）；

④空间任意两个非零向量都可以平移到同一个平面内.

答案3

解析由单位向量的定义知回=网=1,故①正确；因相等向量不一定有相同的起点和终点，

所以②错误；由向量加法运算律知③正确；在空间确定一点后，可将两向量的起点移至该点，

两向量所在直线确定一个平面，这两个非零向量就共同在这个平面内，故④正确.

「课堂小结------------------------------------1

1.空间向量的念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合

平面向量理解.

2.向量可以平移，任意两个向量都可以平移到同一个平面内.因此空间两个向量的加减法

运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算.

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第3章空间向量与立体几何

§3.1空间向量及其运算

3.1.1空间向量及其线性运算

3.1.2共面向量定理

【学习目标】1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示2掌握空间向量

的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律.3.了解共面向量的定义，并能从平面向量中两向

量共线的充要条件类比得到空间向量共面的充要条件.4.理解共面向量定理及其应用.

ET问题导学--------------------------

知识点一空间向量的概念

思考类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.

梳理（1）在空间，把具有和的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的

或.

空间向量也用有向线段表示，有向线段的表示向量的模，向量〃的起点是Z,终点

是则向量a也可记作林，其模记为.

（2）几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量规定长度为0的向量叫做____________,记为0

单位向量________的向量称为单位向量

相反向量与向量。长度________而方向_______的向量，称为a的相反向量，

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i己为一a

方向________且模________的向量称为相等向量，________且

相等向量

的有向线段表示同一向量或相等向量

知识点二空间向量及其线性运算

1.空间向量的线性运算

已知空间向量”，b,在空间任取一点O,作为="，OB=h,AB=c,与平面向量的运算一

样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：

OB—OA+AB—；

BA—OA—OB—=.

若P在直线OA上，则舁=(zSR).

2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：

①°+6=；

②(a+6)+c=；

③，a+b)=(zSR).

知识点三共线向量(或平行向量)

L定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相或,那么这些向量

叫做共线向量或平行向量.若向量"与b平行，记作,规定与任意向

量共线.

2.共线向量定理：对空间任意两个向量°,仅。片0),6与a共线的充要条件是存在实数4,

使.

知识点四共面向量及共面向量定理

思考1当a,b共线时，共面向量定理的理论一定成立吗？

思考2向量a,b,c共面，表示三个向量的有向线段所在的直线都共面吗？

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梳理共面向量及共面向量定理

共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量

如果两个向量％b不共线，那么向量〃与向量%6共面的充

共面向量定理

要条件是存在有序实数组(x,歹)，使得

2

类型一空间向量的概念及应用

例1如图所示，以长方体N8CQ—45GG的八个顶点的两点为始点和终点的向量中:

(1)试写出与弱相等的所有向量；

⑵试写出筋1的相反向量；

(3)若48=/。=2,/小=1,求向量/G的模.

引申探究

如图，在长方体/BCD-4'B'CD'中，AB=3,AD=2,AA1=1,则分别以长方体的

顶点为起点和终点的向量中：

①单位向量共有多少个？

②试写出模为小的所有向量;

③试写出与向量相等的所有向量;

④试写出向量44'的所有相反向量.

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反思与感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概,念完全一

致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条

件是大小相等，方向相反.

跟踪训练1给出以下结论：

①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a,b满足⑷=|句，则a

=b；③在正方体力8C£）一481GA中，必有病=祝］；④若空间向量，〃，"，?满足，”=

n—p,则,”=p.其中不正确的命题的序号为.

类型二空间向量的线性运算

例2如图，已知长方体B'CD',化简下列向量表达式，并在图中标出化简

结果的向量.

AB

(i)ZT*-C5；

(2)ZF+AB+B'C'.

引申探究

利用例2题图，化简五厂+/守+炉-F+T1

反思与感悟化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用

运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止.

首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相

接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.

跟踪训练2在如图所示的平行六面体中，求证：病+而+方=2石\

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类型三向量共线定理的理解与应用

例3如图所示，在正方体中，E在小。上，且左=2丽，/在对角线

——►2—

小C上，且小尸=§尸C.

求证：E,F,8三点共线.

反思与感悟(1)判定共线：判定两向量%仇6工0)是否共线，即判断是否存在实数人使a

=劝.

(2)求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若a〃b,则

(3)判定或证明三点(如尸，A,8)是否共线：

①是否存在实数人使4=2丽；

②对空间任意一点。，是否有+漏；

③对空间任意一点O,是否有方=、为+F亦(x+y=l).

跟踪训练3如图，在四面体48CD中，点E,尸分别是棱4D,BC的中点，用石，无表

示向量好.

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类型四共面向量定理及应用

例4如图所示，己知P是平行四边形/8CO所在平面外一点，连结RLPB,PC,PD,

点E,F,G,H分别为/XPBC,/XPCD,的重心，应用向量共面定理证明:

E,F,G,〃四点共面.

引申探究

本例中增加以下条件：若点。是/C与3。的交点，点M为尸C的中点，求证：OM,PD,

友:共面.

反思与感悟向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定

可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值.

跟踪训练4已知Z,B,C三点不共线，平面W外一点"，满足而=扬+扬+抠7,

判断血，MB,该三个向量是否共面.

3当堂训练

1.在正方体小8CQ1中，已知下列各式:

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@(A8+SQ+CCi；②(篇1+而)+万百；③(部+赤I)+8CI；④(筋i+彳商)+瓦西淇中

运算的结果为/弓的有个.

2.化简23+2元+3丽+3易+k=.

3.设e”e2是平面内不共线的I可量，已知/8=2e1+呢2，CB=e\3^2>CD=2e：—e2,若4,

B,。三点共线，则无=.

4.以下命题：

①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；

②共线的两个向量互相平行；

③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；

④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量.

其中正确命题的序号是.

5.已知4B,M三点不共线，对于平面/8AZ外的任意一点O,判断在下列各条件下的点P

与点/,B,"是否共面.

^OB+OM^3OP-OA-,(2)OP^AOA-OB-OM.

规律与方法

1.空间向量加法、减法运算的两个技巧

(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相

反向量可使向量首尾相接.

(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向

量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.

2.证明空间向量共面或四点共面的方法

(1)利用共面向量证明.

(2)若存在有序实数组(无，y,z)使得对于空间任一点O,有舁=x2+y为+z衣，且x+y

+z=l成立，则尸，A,B,C四点共面.

(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.

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答案精析

问题导学

知识点一

思考在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.

梳理⑴大小方向长度模长度

同或刘|(2)零向量模为1相等

相反相同相等同向等长

知识点二

l.a+ca~b~cXa

2.①b+a②a+(〃+c)③

知识点三

1.平行重合a//b零向量

2.b=痴

知识点四

思考1不成立.当p与。，6都共线时，存在不惟一的实数组(x,y)使p=xa+)力成立.当p

与a,b不共线时，不存在(x,y)使"=x“+)办成立.即当“，共线时，共面向量定理的结论

不成立.

思考2不一定.若向量a,b,c共面，则表示这三个向量的有向线段可以平移到同一个平面

内，它们所在的直线平行、相交、异面都有可能.

梳理p=xa+yb

题型探究

例1解(1)与向量两相等的所有向量(除它自身之外)有不后，虎及万心，共3个.

(2)向量高的相反向量为工1,瓦5,QC,D^D.

(3)|於11=41葩2+1旗)『+方『

=A/22+22+12=V9=3.

引申探究

解①由于长方体的高为1,所以长方体的四条高所对应的向量"，门，犷，厂方,

CC,C^C,而L,万LB,共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1,故单

位向量共有8个.

②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为小，故模为小的向量有布厂？，广

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DA1',BC\CB,B'C,CB'\

③与向量病相等的所有向量(除它自身之外)有不k,及0.

④向量44''的相反向量有/'/,B'B,CC,D'D.

跟踪训练1①②

例2⑴m

(2)AC.

向量力L、7c^如图所示.

D'C

引申探究0.

跟踪训练2证明•.•平行六面体的六个面均为平行四边形,

：.AC=AB+AD,AB''=AB+AA1",

AD''=AD+AA'",

：.AC+AB'"+AD'"

=(施+J5)+(而+"')+

(AD+AA1")

=2(A6+AD+AA'").

又：""=CC'",AD=BC,

：.AB+AD+AA'r=AB+BC+CC''

=就+CC，，=AC'\

C.AC+ABr+彷"=2/^.

例3解设法=a,AD—b,AAi—c,

―►—►—►2~*■

因为4E=2E£>|,AXF=^FC,

所以才为=1彳万],万力=5汞*,

~f2f2

所以小七=?。=]〃，

A\F=^(AC—AA\)

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=^AB+AD—AA\)

=la+5b-5c-

一一f242

所以5c

22

=S(a

-*■-►­►—►22

又£"8=E4+4]Z+/6=-1/>-。+。=〃一於一c,

—2—

所以EF=gEB,

又因为旗与应有公共点E,

所以E,F,8三点共线.

跟踪训练3EF^^AB-^CD.

例4证明分别延长PE,PF,PG,PH交对边于M,N,Q,凡如图所示,

因为E,F,G,，分别是所在三角形的重心，

所以A/,N,Q,R为所在边的中点，

顺次连结A/,N,Q,R,所得四边形为平行四边形，且有走=,取PF=jpN,

PG=^PQ,丽=|诙

因为MNQR为平行四边形，

所以的=的一读:

2—­►

=-j(MN+MR)

=j(PN-PM)+^(PR-PM)

23~►3-►23~►3►

='^PF—'jPE)+1(1/¥/一］尸£)

=EF+EI^.

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所以由共面向量定理得E,F,G,，四点共面.

引申探究

证明取。的中点N,连结ON,NM,

因为M,N分别是尸C,CQ的中点，

距以PD//MN,MN=1D,

所以病f=

-泌,

同理可得成)=-3反

又因为血=屈一防，

-*■1-►1―►

所以OA/=-+18C,

所以南，PD,肥共面.

跟踪训练4MA,MB,证三个向量共面

当堂训练

1.42.03.-84.②④

5.解(1)原式可变形为初=3赤一第一曲.

V3+(-1)+(-1)=1,

:.点、B与点、P,A,M共面，

即点P与点、4,B,M共面.

(2)原式为舁=4法一协一痂.

：4+(-1)+(—1)=2W1,

...点P与点、4,B,M不共面.

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3.1.2共面向量定理

［学习目标］1.了解共面向量等概念2理解空间向量共面的充要条件.

胃知识梳理自主学习

知识点一共面向量

能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.

知识点二共面向量定理

如果两个向量”，6不共线，那么向量p与向量”，力共面的充要条件是存在有序实数组(X,

历，使得p=xa+W，即向量p可以由两个不共线的向量a,8线性表示.

知识点三空间四点共面的条件

若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点。，存在实数x、y、z使得2=》历+了历

+z55,且x、y、z满足x+y+z=l,则4、B、C、£>共面.

思考

1.空间两向量共线，一定共面吗？反之还成立吗？

答案一定共面，反之不成立.

2.空间共面向量定理与平面向量基本定理有何关系？

答案空间共面向量定理中，当向量。，b是平面向量时，即为平面向量基本定理.

育题型探究重点突破

题型一应用共面向量定理证明点共面

例1已知/、B、C三点不共线，平面/8C外的一点M满足痂为+Qd.

(1)判断该、MB.证三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面ABC内.

解(\y：O4+0B+dc=30M,

：.OA-dM=(dM-OB)+(dM-OC).

：.MA=BM^CM^-MB~MC.

又远与而不共线....向量就、MB.而共面.

(2)；向量而、MB,也共面且具有公共起点

:.M、A,B、C共面.即点Af在平面/BC内.

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反思与感悟利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中

的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面.

跟踪训练1已知两个非零I可量e1、e2不共线，如果/8=e[+e2，/C=2e]+8e2，AD=3e\

-3e2,求证：A.B、C、。共面.

证明AD+AC—5e]+5e2~5AB,又彳b与4c不共线.

；.Q、AD,就共面，又它们有一个公共起点4

；./、B、C、D四点共面.

题型二应用共面向量定理证明线面平行

例2如图，在底面为正三角形的斜棱柱Z8C/181cl中，。为/C的47^-------7G

中点，/

求证：力与〃平面G8D/

证明i^AB=a,AC=b,AA\=c,则

—►—►—►—►B

AB\=a+cyDB=AB—AD

=a—^h9

虎产虎十公产)+以

所以加+比1=4+。=标1,又加与反|不共线，

所以麻I，DB,虎।共面.

又由于/与不在平面C|8。内，所以/8|〃平面C/D

反思与感悟在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化.要熟悉其证明

过程和证明步骤.

跟踪训练2如图所示，己知斜三棱柱/5C/18iG，设成="，AC=b,AA}=c,在面对角

线/G上和棱8c上分别取点用、N,使就/=/乙，BN=kBC

求证：A/N〃平面C,

,----

证明AM=kAC]=k(AA]+AC)=kb+kc9/47'/

义,：京=赢+而=a+k而=a~\~k(b—a)=(l—k)a+kb,//

:.MN=AN—AM=(1—k)a+kb—kb—kc

=(l—k)a—kc.又a与c不共线.

；・MN与向量a,c是共面向量.

又加N不在平面力3丛小内,

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；.MN〃平面ABBi4.

题型三向量共线、共面的综合应用

例3如图所示，已知四边形/8CZ)是平行四边形，点P是4BCD所义

在平面外的一点，连结以，P8,PC,尸D设点E,F,G,，分别为△为8,

△PBC,△尸CD,的重心.试用向量方法证明E,RG,H四

点共面.AB

解分别连结尸E,PF,PG,P4并延长，交对边于点M,N,Q,R,连结MN,NQ,QR,

RM.

,；E,F,G,“分别是所在三角形的重心，4L

N,Q,R是所在边的中点，且无诙，PF=^PN,PG=\PQ,必；艰'

PH=：PR.AMB

由题意知四边形MNQR是平行四边形，

：.MQ=MN+MR

=(PN-PM)+(PR-PM)

^PF-PE)+^PH-PE)^EF+EH).

又血=而一丽=|无一泌=运.

：.EG=EF+EH,

由共面向量定理知，E,F,G,H四点共面.

反思与感悟利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练

她进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的

位置关系与向量的位置关系.

跟踪训练3己知。、4、B、C、D、E、F、G、”为空间的9个点(如

图所示)，并且无=无法，OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,EG

=EH+mEF.

求证：(1)/、B、C、。四点共面，E、F、G、，四点共面；

(2)AC//EG；

(3)OG=kOC.

证明(1)由元=肃)+机就，说=丽+机崩知/、B、C、。四点共面，E、F、G、”四点

共面.

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⑵:谢=诙+〃7际

=OH-OE+fn(OF-OE)

=k{Ob-OA)+km(OB-OA)

=kAD+kmAB

^k(Ab+mAB)^kAC,

：.AC//EG.

⑶由⑵知。b=病一访=沅一点?=曲就一施)=左衣，：.OG=kOC.

妻当堂检测自查自纠

1.设“，b是两个不共线的向量，4,〃GR,若2a+〃6=0,贝!J7=,〃=.

答案00

解析：。，b是两个不共线的向量，

•9*u-7^0,〃wo,u=〃=o.

2.给出下列几个命题：

①向量。，b,c共面，则它们所在的直线共面；

②零向量的方向是任意的；

③若“力,则存在惟一的实数九使”=劝.其中真命题的个数为.

答案1

解析①假命题.三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；②真命

题.这是关于零向量的方向的规定；③假命题.当6=0时，则有无数多个7使之成立.

3.如图，在空间四边形O4BC中，OA=a,OB=h,OC=c,点"在04

上，且OM=2M4,N为BC中点、,则而=.(用a、b、c表示)

答案—|a+|/>+|c

解析MN^MA+AB+BN

+(8—a)+；(c—b)

2.1,1

=­W"十5"十5c

4.下列命题中，正确命题的个数为

①若a//by则q与b方向相同或相反；

②若法=①，贝IJ4,B,C,。四点共线；

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③若a,〃不共线，则空间任一向量p=2a+曲(九〃《R).

答案0

解析当a,8中有零向量时，①不正确；弱=诙时，A,B,C,。四点共面不一定共线，

故②不正确；由p,a,b共面的充要条件知，当p,a,〃共面时才满足p=2a+〃b(L“eR),

故③不正确.

5.空间的任意三个向量a,b,3a-2b,它们一定是.

答案共面向量

解析如果a,是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a,Z>,3a—2b共面；若明b共

线，则a,b,3a—2b共线，当然也共面.

「课堂小结------------------------------------1

共面向量定理的应用：

(1)空间中任意两个向量％6总是共面向量，空间中三个向量a,b,c则不一定共面.

(2)空间中四点共面的条件

空间点尸位于平面上内，则存在有序实数对x、y使得拓^三丫而+y选，①

此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，MA,而实质就是面跖48内平面

向量的一组基底.

另外有忘花，②

或5>=x(苏/+@+z励(x+y+z=l),③

①、②、③均可作为证明四点共面的条件，但是①更为常用.

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3.1.3空间向量基本定理

3.1.4空间向量的坐标表示

【学习目标】1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、

基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量

的坐标.

ET问题导学--------------------------

知识点一空间向量基本定理

思考1平面向量基本定理的内容是什么？

思考2只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？

梳理空间向量基本定理

(1)定理内容：

①条件：三个向量ei,e2,C3.

②结论：对空间中任一向量p,存在惟一的有序实数组(x,y,z),使.

(2)基底：

在空间向量基本定理中，6，02,03是空间____________

定义的三个向量，则把｛约，/，④｝称为空间的一个________,

________叫做基向量

如果空间一个基底的三个基向量是两两互相________，那

么这个基底叫做正交基底.特别地，当一个正交基底的三

正交基底与单位正交基底

个基向量都是________________时，称这个基底为单位正

交基底，通常用________表示

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(3)推论：

①条件：O,A,B,C是的四点.

②结论：对空间中任意一点P,都存在惟一的有序实数组(x,y,z),使得苏=

知识点二空间向量的坐标表示

思考1对于空间任意两个向量乃，b=(x2,y2,z2),若“与b共线，则一定有

且=以=么吗？

X2yiZ2

思考2若向量次=(片，凹，zD，则点5的坐标一定为(xi，刈，zi)吗？

梳理(1)空间向量的坐标表示

①向量。的坐标：在空间直角坐标系。一平中，分别取与X轴、夕轴、Z轴方向相同的

向量。A作为基向量，对于空间任意一个向量%根据空间向量基本定理，存在

的有序实数组,使,有序实数组叫做向量。在空间直角坐标系O

—xyz中的坐标，记作.

②向量为的坐标：对于空间任一点4(x,y,z),向量晶是确定的，即为=(x,y,z).

(2)空间中有向线段的坐标表示

设4(xi,y\,zi),8(x2,yz,Z2),

①坐标表示：AB—OB~OA=.

②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的.

(3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示

设。=(m，a2,⑥)，b=®h2,h3),试根据下面的提示填空.

运算表示方法

加法a+b=_______________

减法a-b=_______________

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数乘0£R）

(4)空间向量平行的坐标表示

若a=（4],a?,的），b=（b\,b?,仇），且qWO,则a"b3b\="ka\,岳=/。2,b3=A^Z3（2£R）.

2题型探究

类型一空间向量基本定理及应用

命题角度1空间基底的概念

例1已知｛e"e2，e?｝是空间的一个基底，且。/=ei+2°2—03，O8=-3ei+02+203,OC=

ei+ez—竽3,试判断｛为，OB,流｝能否作为空间的一个基底.

反思与感悟基底判断的基本思路及方法

(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构

成基底.

(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向

量线性表示，则不能构成基底.

②假设运用空间向量基本定理，建立2,么的方程组，若有解，则共面，不能

作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.

跟踪训练1以下四个命题中正确的是.

①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；

②若｛«,"C｝为空间的一个基底，则4,"C全不是零向量；

③如果向量"，6与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有。与力共线；

④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.

命题角度2空间向量基本定理的应用

例2在空间四边形。18C中，点。是边8c的中点，点G,4分别是△/8C,△O8C的重

心，设a=〃，OB=b,OC=c,试用向量a,b,c表示向量5b和6k

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o

引申探究

若将本例中的“G是△/BC的重心”改为“G是ZO的中点”，其他条件不变，应如何表示

OG,砺?

反思与感悟用空间向量基本定理时，选择合适的基底是解题的关键.

跟踪训练2如图所示，在平行六面体/BCD/'B'CD'中，AB=a,AD=b,ZF=c,

P是C4,的中点，M是C£»'的中点，N是C'。’的中点，点。在C/'上，且C0：0/'

=4：1,用基底｛a,b,c｝表示以下向量.

（1）静；（2）病；（3）病；（4）适.

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类型二空间向量的坐标表示

例3棱长为1的正方体/88一/'B'CD'中，E、尸、G分别为棱DD'、D'C'、

8c的中点，以｛淡，Ab,工厂｝为基底，求下列向量的坐标.

⑴欣AG,AF；

(2)£>,EG,DG.

引申探究

本例中，若以｛晶，DC,55r｝为基底，试写出成，AG,旗的坐标.

反思与感悟用坐标表示空间向量的步骤

跟踪训练3空间四边形CU8C中，OA=a,OB=b,A=c,点/在OA上，且OM=2MA,

N为8c的中点，而在基底｛a,。，c｝下的坐标为.

类型三空间向量的坐标运算及应用

例4已知空间三点4(—2,0,2),5(-1,1,2),C(-3,0,4).

⑴求法+衣AB-AC-,

(2)是否存在实数x,夕，使得k反:成立，若存在，求x,y的值；若不存在，请说

明理由.

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