高考数学考纲解读与热点难点突破17圆锥曲线教学案文含解析

圆锥曲线

[2019年高考考纲解读】

1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).

2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).

【重点、难点剖析】

一、圆锥曲线的定义与标准方程

1.圆锥曲线的定义

⑴椭圆：|依|+|第|=2a(2a>|A&).

⑵双曲线：I|阳|一|抬||=2a(2a<|E&).

(3)抛物线：I加=1掰，点/不在直线/上，阳，/于点也

2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”

所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程

中的才，作，o的值.

二、圆锥曲线的儿何性质

1.椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系

(1)在椭圆中：离心率为e=；=-^/l—(孑).

(2)在双曲线中：c—a+A",离心率为

Vyb

2.双曲线f—?=l(a>0,。〉0)的渐近线方程为尸土-x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系.

aba

三、直线与圆锥曲线

判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法

(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于X,y的方程组，消去y(或X)得一元二次方程，此方

程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标.

(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数.

【高考题型示例】

题型一、圆锥曲线的定义与标准方程

例1、⑴[2018•天津卷]已知双曲线fx一方y=l(a>0,"0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与

ab

双曲线交于46两点.设46到双曲线的同一条渐近线的距离分别为力和龙，且M+龙=6,则双曲线

的方程为()

22_X2V2

AA—*——y=1B———=1

412124

Cx2V26x2y2

C———=1D———=1

3993

又由户$2,知"炉=4#，a=/.

22

双曲线的方程为会七=1.

故选c.

①②联立，解得a=3且6=4,

可得双曲线的方程湍嗦=1.

(2)如图，过抛物线/=2px(p>0)的焦点尸的直线/交抛物线于点4B,交其准线于点C,若16cl=2|跖

且［4内=3,则此抛物线方程为()

A.y=9xB.y=6x

C.y=3xD.y=y[3x

答案c

解析如图分别过点4,8作准线的垂线，分别交准线于点£,D,设准线交X轴于点C.

设则由己知得i80=2a,

由抛物线定义，得BI)\=a,故4BCD=30。，

在中，

•"熊|=|明=3,\Ac\=3+3a,\AC\=2\AE\,

；.3+3a=6,从而得a=l,：=3a=3.

'•P=IFG\=31宿=|>

因此抛物线方程为y-3%,故选C.

题型二圆锥曲线的几何性质

2222

例2、(2018•北京)已知椭圆朋号+5=1(a>6>0),双曲线N：『％］若双曲线N的两条渐近线与椭圆

M的四个交点及椭圆"的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆〃的离心率为________;双曲线N的离

心率为.

答案小T2

解析方法一双曲线N的渐近线方程为尸土会则A=tan600=4，，双曲线N的离心率d满足4=

1+4=4,/.ei=2.

m

尸/X,

由多多=1,得人备开

如图，设〃点的横坐标为X,

由正六边形的性质得I9|=2x=c,...4*=/

二31+8一一才一片,得3a'—6a"'一l)—Q,

二3一号一伊=0,解得今=24§—3.

/)

.・・椭圆."的离心率会满足4=1—孑=4—2镉.

**•会-1.

方法二双曲线N的渐近线方程为『=土勺，

m

则"=tan600=镉.

又ci=y]/n+n=2/ufJ双曲线N的离心率为亍=2.

如图，连接由题意知，F,0为椭圆豺的两焦点，

设正六边形的边长为1,贝1」|先|=2。=2,即Q=L

又£为椭圆材上一点,则|阴+|比|=2&即1+镉=2&

•a=5

..a2•

椭圆〃的离心率为■|=木耳=/-1.

9

【变式探究】(2018•全国I)设抛物线G/=4x的焦点为F,过点(一2,0)且斜率为5的直线与，交于M"

两点，则而•旗等于()

A.5B.6C.7D.8

答案D

2

解析由题意知直线协,的方程为y=^5+2),

O

2

y=~x+，

联立直线与抛物线的方程，得f3

"=4x,

[x=l,(x—4,

解得o或1

(y=2Lr=4.

不妨设点〃的坐标为(1,2),点N的坐标为(4,4).

又•..抛物线的焦点为尺1,0),

.,.万/=(0,2),而一(3,4).

，而・城=0X3+2X4=8.

故选D.

2

【变式探究】（2018•全国I）已知双曲线G。为坐标原点，尸为。的右焦点，过尸的直线与C

O

的两条渐近线的交点分别为弘/V若为直角三角形，则I例VI等于（）

A.|B.3C.273D.4

答案B

解析由已知得双曲线的两条渐近线方程为尸土上工

设两渐近线的夹角为2。，则有tan。=七='，

所以。=30°.

所以NM2V=2。=60°.

又△〃（相为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设/如图所示.

在Rtz^aW中，：所|=2,则」如=#.

则在RtZXMV'中，则=|邮•tan2a=4•tan600=3.

故选B.

【方法技巧】圆锥曲线几何性质的应用技巧

1.求解与椭圆曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图

形.当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在

联系.

2.解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a",c的方程（组）或不等式（组），

再根据a,b,c的关系消掉6得到a,c的关系式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围

等.

22

【变式探究】（2017•全国H）若双曲线C："方=l（a>0,6>0）的一条渐近线被圆（X—2产+/=4所截得的

弦长为2,则双曲线C的离心率为.

答案2

解析设双曲线的一条渐近线方程为产”，

a

圆的圆心为（2,0）,半径为2,

由弦长为2,得圆心到渐近线的距离为后导=3.

由点到直线的距离公式,得盘=弧解得片3/所以双曲线，的离心率5

1+歹2・

【变式探究】⑴设凡K分别是椭圆氏7+万=136>。）的左、右焦点，过点£的直线交椭圆£于4B

3

两点，若△游出的面积是△好面积的三倍，c°s4说甲则椭圆£的离心率为（）

平

12范

BC

-•3-2

A.答D.

2

案D

解析设阴8|=4(">0),

依题意可得|力£|=3〃，］四|=4〃，

二|4月|=2a—3k\BF2\=2a-k.

3

■:cosNAFzHw，

5

在△/此中，由余弦定理可得

22i

\AB\=\AFi\-\-\BF2\-2\AFi\\BF：\cosZAE.B,

6

/.(4A)2=(2a—3比)+(24-〃)"一二(2d—3〃)(2a—A),

3

化简可得(a+4)(a—34)=0,

而a+A>0,故a—34=0,a=3k,

・・・|/K|=»£|=3hBB\=5k,

・・・|"『=|月用2+|初2,

.••力尺，，△力是等腰直角三角形.

...c=^a,椭圆的离心率e=£=噂.

乙a乙

22

（2）已知双曲线机手一方=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为S,&|AK|=2C.若双曲线M的右支上存在

点、P,使.\则双曲线"的离心率的取值范围为（）

sinZ/7/iF2sinZ^ri

C.(1,2)D.(1.2]

答案A

sinNPFEPFA

解析根据正弦定理可知

,sin/，例黑月：=I%Pb\,I

所以条=另即I阳=品必1,

IPF\I3c3c

\P^\~\PF>\=2a,

所以(1-日阳|=2a,解得，知』詈;，

而1%：>a+c,即61c〉a+q

3c-a

整理得3e—4e—1<0,解得？山

J«5

又因为离心率e>l,所以1〈女与卢，故选A.

【感悟提升】(1)明确圆锥曲线中a,b,c,e各量之间的关系是求解问题的关键.

(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出。和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几

何特点，建立关于参数c,a,6的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.

22

【变式探究】⑴(2018•全国H)己知£,4是椭圆C：2+方=l(a>6>0)的左、右焦点，力是。的左顶点,

ab

点尸在过/且斜率为坐的直线上，△小K为等腰三角形，NREQ120。，则C的离心率为()

6

2111

A.-B.5C.-D.-

答案D

解析如图，作％1.x轴于点笈

由题意可设I/；用=I小I=2,则c=l,

由/月月尸=120°,

可得|阳=/，

故=a+l+l=a+2,

\PB\J3

tanN必为湎=歼2

解得a=4,

Q

所以-=~=4-

故选D。

22（2、

⑵己.知双曲线&今一南=130,力0）的焦距为2c,直线/过点[ja,0且与双曲线C的一条渐近线垂直,

若|以1=芈°,则双曲线C的渐

以双曲线。的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线/交于业/V两点,

O

近线方程为（）

A.y=±^xB.y=±/x

C.y=±2xD.y=±4x

答案B

解析方法一由题意可设渐近线方程为y=3n

a

则直线/的斜率左=-*

直线1的方程为y=

2

整理可得ax+勿L/=0.

o

2222

ac—~aac-qa

j

焦点（c,0）到直线/的距离

4gKc

4A/2

则弦长为=23°,

整理可得一―9a2c2+i2a7-4a'=0,

即e-9e+12e-4=0,

分解因式得（e—1）（e—2）（e：'+3e—2）=0.

又双曲线的离心率e>],

所以白

所以双曲线C的渐近线方程为

方法二圆心到直线/的距离为

ac~-a

.______3_____c

：'c=3'

3ac+2a'(J,

••c^2a,b==yj^a,

,渐近线方程为y=±/x.

题型三直线与圆锥曲线

例3、(2018•全国H)设抛物线G，=4x的焦点为R过尸且斜率为〃(4>0)的直线，与。交于48两点,

|羽=8.

(1)求/的方程；

(2)求过点46且与C的准线相切的圆的方程.

解(1)由题意得尸(1,0),，的方程为尸内x—1)(">0).

设/(为，的)，B(xi,y2),

Iy--kX--

由｛2得尸f—(2如+4)x+〃=0.

[y=4x

4=16〃+16>0,故小+生=-1—.

所以|/8|=|"|+IM=(£I+D+(8+D

4A2+4

4『+4

由题意知一^-=8,解得衣=一1(舍去)或4=1.

因此/的方程为X一了一1=0.

(2)由(1)得的中点坐标为(3,2),所以48的垂直平分线方程为/-2=-5—3),即y=~x+5.

设所求圆的圆心坐标为(刘，欢)，

yi)——xn+5,

则X。+三xo-yp-

卜16,

2

照=3,刖=11,

解得或

乂)=2%=-6.

因此所求圆的方程为(x—3)z+(y—2>=16或(工一11)2+(y+6)2=144.

V2黄、后

【变式探究】(2018•天津)设椭圆「+方=1(9力0)的左焦点为凡上顶点为〃已知椭圆的离心率为耳，点

3u3

力的坐标为(“0),且•|明=6，1

⑴求椭圆的方程；

（2）设直线1-.，=公（4>0）与椭圆在第一象限的交点为P,且1与直线46交于点Q.若粤=平5打/力。。（。

为原点），求女的值.

5

解（1）设椭圆的焦距为2c,由己知有了=§,

又由a=lf-\-c,可得2a=38.

由已知可得；FB\=a,|AB\=y］2bf

由|阳•AB\=6^/2,可得数=6,从而a=3,b=2.

22

所以椭圆的方程痣+3=1.

⑵设点。的坐标为（M,»）,点。的坐标为（石,㈤.

由己知有A〉性>0,故|做IsinN48=yi—%.

yn

又因为140=前上2花,而/切修了,

所以|40|=木〃2.

由|jsin可得5yi=9%

'y=kx,

由方程组,为，消去X，可得，尸衍V

由题意求得直线仍的方程为x+y—2=O,

y=kx,2k

由方程组消去x,可得y?=丁］.

x+y—2=0,K\~1

由5y=9角，可得5（4+1）=3*\/94+4,两边平方，

整理得56〃-50〃+11=0,解得或衣=悬

ZZo

所以％的值为鼻悬

ZZo

2

【变式探究】［2018•全国卷I］设抛物线C-./=4x的焦点为R过点（一2,0）且斜率为《的直线与，交于M,

•J

/V两点，则川•/w=()

A.5B.6

C.7D.8

2

【解析】由题意知直线网，的方程为尸=可(、+2),

2

联立直线与抛物线的方程，得彳y=T3x十，

J2=4X,

x=l,fx=4,

解得°或，不妨设"为(1,2),力为(4,4).

、y=21y=4.

又V抛物线蕉点为Hl,o),AFM=(0,2),FN=(3,4).

—►—►

AV=0X3+2X4=8.

故选D.

【答案】D

【方法技巧】解决直线与圆锥曲线位置关系问题的方法

1.通法：将直线/的方程而+取+£0(46不同时为0)代入双曲线£的方程用心力=0,消去y(也可

以消去x)得到一个关于变量x(或变量力的一元二次方程.解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想

解题.

2.点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥

曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解.

提醒：利用点差法，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即A>0.

22

【变式探究】(2017•天津)已知椭圆当+亲=l(a>6>0)的左焦点为尸(一c,0),右顶点为爪点£1的坐标为(0,

ab

g

c)，XEFA的面积为5.

(1)求椭圆的离心率；

(2)设点。在线段四上，|图一，延长线段60与椭圆交于点只点M,"在x轴上，PM//QN,且直线9

与直线QV间的距离为c,四边形AQW的面积为3c.

①求直线〃的斜率；

②求椭圆的方程.

解（1）设椭圆的离心率为e.

1*

由已知可得5（。+a）

又由i>—a~c,可得2c，+ac~a=0,

即2e：+e-1=0,解得e=-l或e=：.

又因为0<e<l,

所以e号.所以椭圆的离心率为;.

（2）①依题意，设直线外的方程为x=〃y—c（R>0）,

则直线"的斜率为'

由⑴知a=2c,可得直线小的方程为豆+与1,

即x+2y-2c=0,与直线外的方程联立,

-rmm一C3c

可得x=-^+2-，尸市工'

即点。的坐标为|

〃H-2

由已知|/w=小

Jm-c।1/3c\（3c\

有［*2+4+〔司=团,

4

整理得3///2—4/77=0,所以m=可（加=0舍去），

15

即直线程的斜率为》3

②由a=2c,可得b=y^c,

故椭圆方程可以表示为£+2=L

4o3c

3*—4_pH-3c=0,

由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得，fy

、hh，

消去力整理得7y+6ex—：13c，=0,

解得x=-殍（舍去）或x=c.因此可得点Pc,

进而可得IFP\=ylc+c?+（¥）=—，

所以I=I%—I阕

由已知，线段图的长即为PM与QV这两条平行直线间的距离，故直线外/和QV都垂直于直线FP.

因为QN1FP,

3c39c

所以I时=IFQ\•tanAQFN=—X~=—,

Z4o

127―

所以△闻¥的面积为FQ\I®V1=—

75d

同理a/T我的面积等于前.

75c27c2

由四边形夕QW的面积为3c,得・--------

3232

整理得c—2c.又由c>0,得c=2.

所以椭圆的方程为W+£=i.

Io1Z

22

【变式探究】已知椭圆当+£=l(a>6>0)的左、右焦点分别为石，B,过月的直线交椭圆于4,8两点.

ab

(1)若直线46与椭圆的长轴垂直，=%,求椭圆的离心率；

24

(2)若直线46