2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题45

基础达标检测一、选择题1.在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40cm2，S△ABE:S△DBA＝1:5，则AE的长为()A．4cm B．5cmC．6cm D．7cm[答案]A[解析]∵∠BAD为直角，AE⊥BD，∴△ABE∽△DBA，∴eq\f(S△ABE,S△DBA)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,DB)))2＝eq\f(1,5)，∴AB:DB＝1:eq\r(5).设AB＝k，则DB＝eq\r(5)k，AD＝2k，∵S矩形＝40，∴k·2k＝40，∴k＝2eq\r(5)，∴BD＝10，则S△ABD＝eq\f(1,2)BD·AE＝eq\f(1,2)×10×AE＝20，∴AE＝4cm.2．自圆O外一点P引圆的切线，切点为A，M为PA的中点，过M引圆的割线交圆于B，C两点，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°，则∠MPB的大小为()A．10°B．20°C．30°D．40°[答案]B[解析]因为PA与圆相切于点A，所以AM2＝MB·MC.而M为PA的中点，所以PM＝MA，则PM2＝MB·MC，∴eq\f(PM,MC)＝eq\f(MB,PM).又∠BMP＝∠PMC，所以ΔBMP∽△PMC，所以∠MPB＝∠MCP，在△PMC中，由∠CMP＋∠MPC＋∠MCP＝180°，即∠CMP＋∠BPC＋2∠MPB＝180°，所以100°＋40°＋2∠MPB＝180°，从而∠MPB＝20°.二、填空题3．如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点．已知PA＝2，点P到⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为_______．[答案]6[解析]根据切线长定理：PT2＝PA·PB，PB＝eq\f(PT2,PA)＝eq\f(16,2)＝8.所以AB＝PB－PA＝8－2＝6.4．(2013·北京高考)如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PDDB＝916，则PD＝________，AB＝________.[答案]eq\f(9,5)，4[解析]由于PDDB＝916，设PD＝9a，则DB＝16a，根据切割线定理有PA2＝PD·PB有a＝eq\f(1,5)，所以PD＝eq\f(9,5)，在直角△PBA中，AB2＝PB2－AP2＝16，所以AB＝4.5．(2013·湖南高考)如图，在半径为eq\r(7)的⊙O中，弦AB、CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．[答案]eq\f(\r(3),2)[解析]由相交弦定理知，PA·PB＝PD·PC，又PA＝PB＝2，PD＝1，得PC＝4，故CD＝5，∴d＝eq\r(\r(7)2－\f(5,2)2)＝eq\f(\r(3),2).6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________.[答案]15[解析]∵AD∥BC，∴eq\f(OB,OD)＝eq\f(BC,AD)＝eq\f(20,12)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(OB,BD)＝eq\f(5,8)，∵OE∥AD，∴eq\f(OE,AD)＝eq\f(OB,BD)＝eq\f(5,8)，∴OE＝eq\f(5,8)AD＝eq\f(5,8)×12＝eq\f(15,2)，同理可求得OF＝eq\f(3,8)BC＝eq\f(3,8)×20＝eq\f(15,2)，∴EF＝OE＋OF＝15.三、解答题7．如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，求点A到直线l的距离AD.[解析]∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，即△ABC为直角三角形．又AB＝6，BC＝3，∴sin∠CAB＝eq\f(1,2).∴∠CAB＝30°，∴AC＝3eq\r(3)，从而∠ABC＝60°，∴∠ACD＝∠CBA＝60°.∴AD＝AC·sin60°＝eq\f(9,2).8．(2013·江苏高考)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.[解析]连接OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.所以eq\f(BC,OD)＝eq\f(AC,AD).又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.能力强化训练一、选择题1．如图，AB是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则DE＝()A．6eq\r(3) B．6C．8 D．6eq\r(2)[答案]A[解析]设CB＝AD＝x，则由割线定理，得CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12，因为CA为直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，则CD2＋DE2＝CE2(勾股定理)∴62＋DE2＝122，∴DE＝6eq\r(3).2．如图所示，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD边的中点E处，则折痕FG的长为()A．13 B.eq\f(63,5)C.eq\f(65,6) D.eq\f(63,6)[答案]C[解析]过A作AH∥FG交DG于H，则四边形AFGH为平行四边形．∴AH＝FG.∵折叠后B点与E点重合，折痕为FG，∴B与E关于FG对称．∴BE⊥FG，∴BE⊥AH.∴∠ABE＝∠DAH，∴Rt△ABE∽Rt△DAH.∴eq\f(BE,AB)＝eq\f(AH,AD).∵AB＝12，AD＝10，AE＝eq\f(1,2)AD＝5，∴BE＝eq\r(122＋52)＝13，∴FG＝AH＝eq\f(BE·AD,AB)＝eq\f(65,6).二、填空题3．(文)(2013·天津高考)如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E，若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为________．[答案]eq\f(15,2)[解析]因为在圆的内接梯形ABCD中，AB∥DC，所以AD＝BC，∠BAD＋∠BCD＝180°，∠ABE＝∠BCD，所以∠BAD＋∠ABE＝180°，又因为AE为圆的切线，所以AE2＝BE·EC＝4×9＝36，AE＝6.在△ABE中，由余弦定理得cos∠ABE＝eq\f(AB2＋BE2－AE2,2AB·BE)＝eq\f(52＋42－62,2×5×4)＝eq\f(1,8)，cos∠BAD＝cos(180°－∠ABE)＝－cos∠ABE＝－eq\f(1,8)，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝eq\f(225,4)，所以BD＝eq\f(15,2).(理)(2013·天津高考)如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．[答案]eq\f(8,3)[解析]如图所示：∵AE为圆的切线，∴AE2＝BE·ED，设BE＝x，∴36＝x(5＋x)，x2＋5x－36＝0，∴x＝4.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，又∠EAB＝∠ACB，∴∠EAB＝∠ABC，∴AE∥BC，又EB∥AC，∴四边形BCAE为平行四边形，∴BC＝AE＝6，AC＝BE＝4，∵△DFB∽△AFC，∴eq\f(BD,AC)＝eq\f(BF,FC)，∴eq\f(5,4)＝eq\f(6－FC,FC)，∴FC＝eq\f(8,3).4．(文)(2013·广东高考)如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.[答案]eq\f(\r(21),2)[解析]本题考查了由三角函数值求角、余弦定理等知识．∵AB＝eq\r(3)，BC＝3，∴∠BAC＝60°，从而知AE＝eq\f(\r(3),2)，又∠CAD＝30°，∴DE＝eq\r(AE2＋AD2－2AE·ADcos30°)＝eq\f(\r(21),2).(理)(2013·广东高考)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.[答案]2eq\r(3)[解析]∵AB为⊙O的直径，C在⊙O上，∴AC⊥BD，又∵BC＝CD，∴AD＝AB＝6，又DE＝2，∴AE＝4，连OC，∵CE为⊙O的切线，∴CE⊥OC，又OC为△ABD的中位线，∴OC∥AD.∴CE⊥AD，∴CD2＝DE·DA＝12，∴CD＝2eq\r(3)，∴BC＝CD＝2eq\r(3).5．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.[答案]5[解析]本题考查了相交弦定理三角形相似等知识．由已知AE·EB＝CE·DE＝DE2，∴DE2＝5×1＝5，因△DFE∽△DEB，所以eq\f(DF,DE)＝eq\f(DE,DB)，∴DE2＝DF·DB＝5.平面几何在选修题中每年必考，难度不大，属保分题型．三、解答题6．(2013·辽宁高考)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.[证明](1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝eq\f(π,2)；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝eq\f(π,2)，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所BC＝BF.类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.7．(2013·新课标Ⅰ)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝eq\r(3)，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．[解析](1)连接DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE.又∵DB