高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题13(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题(13)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

L在①舄%=震②”鬻总③25=百5.而这二个条件中任选一个,补充在下面的

横线上，并加以解答.

在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,S为AABC的面积，若(填条件序号)

(1)求角C的大小；

(2)点。在CA的延长线上，且A为CC的中点，线段BO的长度为2,求AABC的面积S的最大

值.

2.设曲线BWLM+g2_>o,n>0)过M(l，F),N(0,-l)两点.。为坐标原点.

(1)求曲线E的方程；

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与曲线E恒有两个交点A,B,且万？J.而?

若存在，写出该圆的方程，并求|4B|的取值范围.若不存在，说明理由.

3.已知向量五=(sinx,|),b=(cosx,-l).

(1)当莅11时,求sin2x的值；

(2)当五〃而寸，求tan(x+9的值；

(3)设函数f(x)=-b+；,将f(x)的图象向左平移£个单位得到函数g(x)的图象，求g(x)在xG

OO

吃］的值域.

4,已知AAOB中，边。4=V2,OB=V3>令=落布=氏五•方=1,过他边上一点P(异于

端点)引边08的垂线PQ，垂足为Q,设而-=t(K-a)(O<t<1).

⑴求|荏I；

(2)证明：的=一|(1一t)员

5.如图，在A4BC中，丽•旅=0,|而|=8,|而|=6」为线段BC的垂直平分线，/与8c交于点

D,E为/上异于。的任意一点.

(1)求日•莉;

⑵求荏.丽.

6.已知向量五=(2sinx,cosx),b=(V5cosx,2cosx).

(1)若工片k兀+€Z,且求ZsiMx-cos2x的值.

(2)定义函数/(x)=五7+1，求函数的单调递减区间;并求当xe［。,外时，函数的值域.

7.如图：在zL4BC中，AB=2,AC=3,Z.BAC(ill,赤=2而，~CE=2EB

(1)求AE的长；

(2)求四.赤的值

8.已知椭圆厂的中心在原点，焦点在x轴，离心率为心，且长轴长是短轴长的鱼倍.

2

(1)求椭圆r的标准方程；

(2)设p(2,o),过椭圆「左焦点尸的直线/交r于A,3两点，若对满足条件的任意直线/,不等式

P/•PB44(%€R)恒成立，求义的最小值•

9.已知向量沆=(VScosx,l),n=(sinx/sin2%—1),函数/(%)=m-n+

(1)若Xe[0,5，/(X)=y.求C0S2X的值；

(2)在44BC中，角A,B,C对边分别是a,一c,且满足2bcos4<2c-8a，当8取最大值时,a=1,

△ABC面积为它，求.「的值.

4sin/1+sinC

10.在△ABC中，点。在边BC上，AO是4BAC的平分线，AC=AD=1,cosC=

4

(1)求C0S484C；

(2)求助.雨的值.

11.已知五=(3,-1),a-b=-5,c=xa+(l-x)K,.

(1)若@_L乙求实数x的值；

(2)若|石|=遍，求|码的最小值.

12.在团48c中，AB-AC=3^A-BC.(1)求证：tanB=3tan4；

(2)若cosC=9，求A的值.

13.在平面直角坐标系xOy中，已知向量五=(今—当，b=(sinx,cos%),x6(0,71).

(1)若五〃石，求史竽的值；

(2)若有与脑夹角为最求x的值.

14.如图,在2MBe中，已知C4=1,CB=2,4ACB=60°.

£A

D

3

⑴求I万I;

(2)已知。是AB上一点，满足而=4而,E是CB上一点，满足丽=2阮

①当4=：时，求荏•而；

②是否存在非零实数人使得荏1而？若存在，求出;I的值；若不存在，说明理由.

15.已知向量a=(1,2)，b=(3,x),c=(2,y)>且不"匕，ale-

(1)求W与日

(2)若藐=2；-匕，n=a+c,求向量m，n的夹角的大小.

16.在平面直角坐标系xOy中，已知向量不=(百,—1)1=6?)

⑴求证：\a\=2\b\^alb

(2)设向量j?=五+(t—3)无歹=一日+小/三，％求实数r的值.

17.已知同=2,忖=3,在下列情况下，求位+2分0-尤)的值：

⑴2〃石；

(2)a±b;

(3一与之的夹角为120。.

18.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形0ABe等腰梯形,4(6,0),C(l,百),点M满足丽=：色?,

点P在线段BC上运动(包括端点)

(1)求N0CM的余弦值；

(2)若。P1CM,求合的值.

19.在AABC中，AC=2V3.。是BC边上的一点.

(1)若4D=1,ADAC=3,求8的长；

(2)若N312(1,求△ABC周长的取值范围.

20.已知椭圆。5+《=1((1＞匕＞0)的两个焦点均在以原点为圆心，短半轴长为半径的圆上，且

该圆截直线x+y-2=0所得的弦长为2企.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)已知直线y=k(x—l)与椭圆C的两个交点为A,B,点。的坐标为(m,0).问：而•前的值

是否为定值?若为定值，求出该定值;若不为定值，试说明理由.

21.如图，在平行四边形ABC。中，AB=1,AD=2,^BAD=60°,BD,AC相交于点O,M为

B。中点.设向量同=为，AD=b.

(1)求|五一可的值;

(2)用五，3表示前和宿；

(3)证明：ABA.BD

22.如图，在△4BC中，已知4B=3,AC=6,BC=7,AO是NB4C平分线.

Q)求需的值;

(2)求丽・方？的值.

23.己知向量五=(msin%,cos%),b=(cos%,ncosx)，/(%)=五•1,且/(%)的图象过点给，言力和

点(-衿•

(1)求771,九的值及/■(%)的最小正周期；

(2)若将函数y=/(%)的图象向左平移5个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，求g(%)在％E

［一?勺时的值域和单调递减区间.

o3

24.已知1=(3,—2)工=(2,1)，。为坐标原点.

(1)设市=/,而=石，求市与丽夹角的余弦值.

(2)若m丘+石与五一2万的夹角为钝角，求实数m的取值范围;

25.已知非零向量五与石不共线，OA=a,'OB=b,OC=ta+3b.

(1)若2示+3而一元=6，求/的值；

(2)若A、B、C三点共线，求f的值.

2

22

26.如图，已知点儿,必分别是椭圆G：4-+y=1的左、右顶点，点尸是椭圆G与抛物线C2：y=

2Px(p>0)的交点，直线4P,42P分别与抛物线交于M,N两点(M,N不同于P).

(I)求证：直线MN垂直x轴；

(II)设坐标原点为0,分别记AOPM,A0MN的面积为Si，S2,当NOP&为钝角时，求金的最

大值.

27.如图，在平面直角坐标系中，点4(一表0),8(|,0)，锐角a的终边与单位圆0交于点P(cosa,sina)

(1)当前•前=一；时，求a的值

(2)在轴上是否存在定点M,使得|布|=：|而|恒成立？若存在，求出点M的横坐标;若不存在,

说明理由.

28.如图，在平面直角坐标系xoy中，A3为半圆AO8的直径，O为圆心，且4(一4,0),8(4,0),G

为线段0。的中点；曲线C过点G,动点P在曲线C上运动且保持|P川+|PB|的值不变.

(1)求曲线C的方程；

(2)过点8的直线/与曲线C交于M、N两点，与0。所在直线交于E点,由=心而，前=%而,

求站；11+%为定值.

29.已知团ABC中4c是直角，CA=CB,点。是CB的中点，E为A8上一点.

(1)设&=-CD=当*=?AB,请用:，了来表示第,CE.

(2)当/=2质时＞求证：AD1CE.

30.已知向量1=(cos3X,d5sin(ox)和b=(cos3X,sin(3X+]))，其中3>0,函数/(x)=Z-b-g

的最小正周期为兀.

(1)求3的值；

(2)求/(x)在区间［o,外上的值域.

【答案与解析】

1.答案：解：⑴选①：豆黑片管，•••由正弦定理得人=”，

:.a(b—a)=(b+c)(b—c),即a?+b2-c2=ab,cosC=

Ce(0,TT),■■C=

选②：由正弦定理得等=cc+；,Sin4H0,WsinC=cosC+1,

smA>《j3s\nA

2sin(C-^)=l,sin(C-^)=l,

•••ce(0,兀)，?：.c屋.

o\oo/oo5

选③：2s=V5•白5•方，<ibsinCabcosC.

■■tanC=V3,C6(0,兀)，:C=

(2)在加BCD中,由余弦定理知a?+(26)2-2xax2bxeos60<■_22,

..a2+4b2—2ab=4>2-a-2b—2ab=2ab,ab<2,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时

取等号，

此时ab的最大值为2,面积S=-absinC=遮ab取得最大值吏.

242

解析：【试题解析】

本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查利用基本不等式求三角形面积的最值，属于中档题.

(1)选①：由正弦定理得厂乙g.结合余弦定理求得cosC=；,继而可得结果；选②：由正

b—cb—a2

S1]l(，，j[

弦定理得有=---y-可得sin(C—》=*即可求解；选③：由条件得

(11)sinCi&abcosC.即可求解.

(2)根据余弦定理以及基本不等式可得ab<2,由三角形面积公式即可得解.

2.答案：解：(1)由已知得，m4-=1,n=1,得m=%

所以曲线E方程为9+y2=i；

(2)当圆的切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+m,

代入/+4y2=4得，(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,

A=(8km)2—4(1+4fc2)(4m2—4)>0,得41—rn2+1>0；

设4(%,月)，8。2，%)，

因为瓦？1砺，

所以a•OF=+y^y-

=%1%2+(fc%1+m)(fc%2+m)

22

=(1+fc)%i%2+km(X1+x2)+m

5m2-4k2-4

l+4k2

即病=g(/c2+1)；

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离＜/=/!=乙即，='=之

y/k2+l1+k25

所以圆的方程为：/+y2=/

当圆的切线斜率不存在时，也满足力［_L而，

所以这样的圆存在，其方程为一+y2=£

此时，\AB\=V(xi~x2)2+(yi-y2)2

64k27n216m2-16

=Jl+H.

(1+4H)21+4/c

16,k+,1

4V14-k2-y/~5~754V516k4+17k2+i

l+4fc216fc4+8/c2+l

=延.1+9k2；

5yj16fc4+8/c2+l

将血2=I(fc2+1)代入4k2-m2+1>0,得161+1N0,恒成立；

所以，①当k2=0时，|闻=第；

②当1>。时，网=耍历而

w警.I1+-9-=V5

J2白6正京+8

等号当且仅当k=±2时取等号；

又|4B|>W，所以?<网W4；

③当斜率不存在时，|4B|=W；

综上，Ww\AB\<V5.

解析：本题考查了向量的运算以及知直线与圆的位置关系，具有一定难度，考查了学生的运算能力.

(1)由己知得m+?n=1,n=l,求解出”的值即可得出曲线E的方程；

(2)要分两种情况进行讨论，第一种情况为当圆的切线斜率存在时丽=0,解得巾2=i(/c2+1),

根据点到直线的距离公式可得圆的方程，第二种情况为当圆的切线斜率不存在时.，也满足初1万，

这样的圆存在，其方程为/+y2=l，此时|4B|=".Jl+[6；2+J再讨论①1=。②1>0③

斜率不存在三种情况分别求解|4B|的取值范围再求并集.

3.答案：解：(1)因为五J.B，所以cosxsinx-]=0,即:sin2x—=0,

828

所以sin2%=

4

(2)因为五〃石,所以gcosx+sinx=0,所以tan%=_)

所以31+9=署=今

(3)因为/(x)=a-K+^=sinxcosx=|sin2x,所以g(x)=jsin(2x+

因为xe[o,,,所以2x+汨若],

所以fWg(无)

解析：本题主要考查平面向量的数量积和三角函数的应用，熟悉平面向量的数量积和三角函数的图

象与性质是解答本题的关键，属于中档题.

(1)由题意方，方，所以cos%sinx-|=0,直接运用二倍角公式即可求解;

O

(2)因为五〃至，所以|cosx+sinx=0,求出tanx,再由两角和的正切公式求解.

(3)可先求出g(%)=]sin(2%+§,结合x的范围，可求值域.

4.答案：解：(1)在△CMB中，因为CM=y]2,0B=V3»S.OA=a,OB=

可得|五|=V2,|&|=V3,a-K=1，

则|四|2=|方一五『=由『+।五『一2五.至=3,所以|荏|=73.

(2)由⑴与已知,可得|四|=V3J0^|=V2,|0B|=V5,

I成『+|所产妨『3+3-2_2

由余弦定理可得cosZ-AB0=

2\OB\\AB\2xV3xV3-3’

又因为|布|=t\b-a\=V3t.贝iJ|前|=|荏|一|而|=V3-V3t>

贝|J|的|=|'BP|cosZ.AB0=所以的=—[(l—t)尻

3J

解析：本题考查向量的运算，向量模的求法，余弦定理的应用，属基础题.

(1)根据|同产=\b-a\2=|b|2+|a|2-2a-6.计算即可.

(2)由⑴与已知，可得|而|=禽,|就|=&,|而|=百，由余弦定理可得cos乙48。=|,求得

\BP\=V3-V3t.根据|BQ\=\BP|cos〃B。即可证得结论成立.

5.答案：解：(1)以点。为坐标原点，前的方向为x轴正方向，砺的方向为y轴正方向，建立如图

所示的平面直角坐标系，

由题意易知|BC|=10,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),

设A(x,y),则荏-4C=(-5-x,-y)•(5-x,-y)=x2+y2-25=0.

|AB|2=(-5-%)2+(-y)2=x2+10%+25+y2=64，

所以x=g,y=Y，即

设点E的坐标为(O,b)(b*0),此时阿=(―5涉)，

又而=(-10,0).

所以方CB=-5x(-10)+6x0=50.

(2)近=(_：/_0，

所以荏•丽=一(-10)+(b-g)x0=14.

解析：本题考查向量的数量积、平面向量的坐标运算，属于中档题.

(1)以点。为坐标原点，赳的方向为x轴正方向，屁的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，得

出各点的坐标，设点£■的坐标为(O,b)(bH0),由向量坐标的定义求出请，方的坐标表示，由向量

的数量积公式进行求解即可；

(2)表示出荏的坐标，再由向量的数量积公式进行求解即可.

6.答案：解：(1)因为五JL/所以2V5sin%cosx+2cos2%=0,

因为％Hk兀+5，々€Z,所以cosxHO,

即tanx=一立，

3

2tair-1

所以2siii2T

tan2x+1

(2)/(%)=a-b+l

=2\/3siiLrcosjr+2cu«2jr+1

=\/^si«2]++2

=2sin(2x+-)+2,

6

令2/C7T4--<2x4--<2/CTT+m，kEZ,

262

得kji4--<%<kjtGZ

639

所以函数f(x)的单调递减区间是[而+/而+争,％ez,

因为xe[0,§,

所以2x+/eg,9],sin(2x+g)€|—

obooZ

所以当xe[0,勺时，函数f(x)的值域[1,4].

解析：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，平面向量数量积的运算，三角函数的图象与

性质，属于中档题.

(1)因为五J.b，所以2gsinxcosx+2cos2%=0,因为无力kv+5,keZ,所以cosxrO,即可求tanx

的值，从而可求2sin2%-cos?》的值.

(2)先求出函数解析式/(x)=2sin(2x+》+2,根据正弦函数的图象和性质即可求出"x)的单调递

减区间;并求当％6[0,/时，函数f(x)的值域.

7.答案：解：⑴因为荏=荏+荏=而+：近=|荏+9前，

一2/2—,1一(37V37

AE=(-AB+-AC)=—,AE=—.

\33/93

(2)屁=屁-前=-|CB+|AB=_式荏_m)+萍=浑+浑，

所以荏■'DE=AB-(-AB+工前)=-AB2+-ABAC=-+-x2x3x-=-

\337333323

解析：本题考查平面向量的运用，以及向量的数量积，是中档题。

(1)求AE的长，关键在于利用向量表示荏，求其模长即可；

(2)关键在于利用向量表示砺，再利用向量的数量积即可

8.答案：解：(1)设椭圆厂的标准方程为箕+、=l(a>b>0),

a=>/2b

则］£=①，

a2

d=ft24-C2

解得小=2,b2=1,

，椭圆r的标准方程为1+y2=1.

(2)设4(%i，%),B(x2,y2),则对=(%i—2,%),PB=(x2-2,y2),

.•.可•丽=(%!-2)(X2-2)+为丫2=X1%2—2Q1+刀2)+4+yxy2.

①当直线/垂直x轴时，/=%2=-1，%=-丫2且无=3

.-.PA-^B=9--=-.

22

②当直线/不垂直于X轴时，设直线/方程为：y=k(x+l),

(y=Kx+1)

联立方程组色+丫2=］，W(1+2k2)x2+4k2x+2/c2-2=0,

为丫2=+1)(%2+1)=1(与肛+%!+%2+1)=

...行.而=—+上+4--!±_=1Z^=E__15_<H

l+2k2l+2k2l+2k2l+2k222(2k2+l)2-

•••对满足条件的任意直线I,不等式对-PB<^ER)恒成立，

即;I的最小值为三.

解析：本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系及圆锥曲线中的范围问题，

属于较难题.

(1)利用待定系数法求出椭圆方程；

(2)设出4,B坐标，讨论直线/的斜率，根据根与系数的关系得出刀•丽，求出万•两的最大值即

可；

9.答案：解：⑴向量沆=(x/5eoeir,1),7?=(siur,回广工一1),

贝U：函数/(1)=771-7?+i=x/Bsinjcosz+.siu'j-1+；-[COKZJ=sin(2x—g),因

为x6[0,J,/(x)=y>

所以2工-*€(-看]如侬-》=空

66db.5

所以--)=,

63

cos2x=cos[(2%一勺一看]

=cos(21—+siii(2«r—^)sin^-

6666

V2,V3

="2T---6-'

(2)在△8中，角48,C对边分别是火瓦c,

且满足》x*os,AW2r-，整理得：2b•""<2c—V3a,

2bc

整理得：3人胃乎’所以-q,

当BY时，a=1'△ABC面积为争

则：-(K'sinB=，解得：c=V3,

24

利用余弦定理得：必=<?+/.

a+c

解得：6=1,则*=2

shiA+siiiCsiiiB

解析：本题主要考查三角函数的化简求值、余弦定理、向量的数量积，解答本题的关键是掌握相关

知识，逐一分析解答即可.

(1)向量记=(V3«.1).77(siitr.shrr-1),

则：函数/(J1777♦7TV'hin/cos/+疝/J・_i+；=11疝12]—；cos2/：j,求

cos2z的值;

(2)在中，角对边分别是a,b,c,

a+c

且满足2IXYJS_4《2r-，整理得：2b•——<2c—V3a,求的值.

2bcsiiu4+sin。

10.答案：解：⑴在ZL4CD中，AC=AD=1,cost=—

4

由余弦定理得：cosC=隹=l+CD2-1

42xCDxl

「八V2

，CD=——

2

…cAC2+AD2-CD21+1-a3

*COfiD=='.=，1=—

,,2ACAD2x1x14

••・4。是NBA「的角平分线,

♦>£[

/.co«Z.BAC=2co«2Z.CAD—1=2x(-)—1=-

48

(2)在/4BC中，TCOSCU立,

・2，

••sinC—V1—cosC=—4

由正弦定理得：焉=芸

」•AB=丁亘=2

8

3

vcosZ.CAD-4

.■.sin^CAD=sm^BAD=-,

BDAD

在中,由正弦定理得:--------------,

Z1ABDsinzF4DsinB

；・BD=?・圭=鱼，

8

：.~BD-'BA=\BD\■网cosB=2-V2-=|.

解析：本题主要考查余弦定理，正弦定理，二倍角公式，向量数量积，考查了考生的可理解，计算,

转化能力，属于中档题.

⑴根据题意余弦定理得：8=①，进而得到NCAD=即可;

2"12--4(•AD

(2)由正弦定理焉=弟得到四=¥.圭=2,由正弦定理屏=隽,得到皿"•圭=夜

88

即可.

11.答案:解：⑴•.W=(3,_l),|苍|=俪,

又益不=—5，c=xa+(l-x)b，且百

.-.a-c=a-(xa+(l-x)b)=0,

即x|Z|2+(1-X)五不=10%—5(1—X)=0，解得：％=/

(2)由2==五+(1—x)B，得：

|c|2=[xa+(1—x)b]2=x2|a|2+2x(1—x)a-b+(1—x)2|b|2

=10x2—10x(1—x)+5(1—x)2=5(5x2—4x+1).

.•.当x=|时，花篇n=l，则1^1的最小值为1.

解析：本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积的关系，训练了二次函数最值的求

法，是中档题.

(1)由已知向量的坐标求得|a|,结合五1表列关于x的方程求得x值；

(2)利用向量数量积,由〉|2=以刁+(1-乃刊2求出|E|2的最小值,开方得答案.

12.答案:(1)证明：由题意得,b-c-cosA=3a-c-cosB,

即bcosA=3acosB,

由正弦定理得，sinBcosA=3sinAcosBt

BPtanB=3tanA；

(2)解：・・,cosC=，，

:.sinC=tanC—2,

,z-.xtanA+tanB0

・•・tanM+8D)=-------------=—tanCn=—2,

171-tanAtanB

将tanB=3位九4代入得=1,

.n

・•・A=-,

4

解析：本题考查了向量的数量积、正弦定理、三角恒等变换，难度一般.

(1)由题意得，b•c-cosA=3a-c-cosB,即得bcosA=3acosB,由正弦定理得，sinBcosA=

3sinAcosB,从而得证=3tanA；

(2)由cosC=立，得即得tanC=2,由tan(4+B)=詈及(1)得tanA=1,从而

55ALCLTIACCLILD

得出4=*

13.答案：解：(1)•五=(今—学)，b=(sinx,cosx)Ma//h,

V2,V2.

：•—cosxH——sin%=0n，

22

・・•tanx=—1,

-si-n-2x-+-l=-c-o-s-2x-+--2s-i-n-2x=-l-+-2-t-an-2-x=-l-+-2--x-(-l-)2=---3

sin2x2sinxcosx2tanx2x(-1)2

⑵「六喙-当，b=(sinx,cosx),

/.\a\=|||=1,

苍与石的夹角为:，

«>

cosB=co«-=-=~~~3-=a*-7,

2|^||i|

V2.V21

：•一sinx---cos%=一，

222

.万、1

sin(tx

又％6(0,7T),

・•・X=一57r.

12

解析：本题考查了平面向量平行的充要条件，向量数量积运算，同角三角函数基本关系，三角函数

化简求值，考查了分析和运算能力，属于中档题.

（1）先结合五〃方，代入坐标运算化简得到tanx=-l,再根据四*1=匕出以，代值计算即可求解；

11sm2x2tanx

__—ia*-b

(2)根据cos(a*,b)=cos-=-=/•!»,得到疝1（工一1）=：,结合xe（0,兀）即可得

I^IIM42

到X取值.

14.答案：解：(l)AZBC中，CA=1,CB=2,44cB=60。，

由余弦定理得，

AB2=CA2+CB2-2CA-CB-cos^ACB

=1Z+22-2X1X2XCOS60°=3.

.-.AB=V3.B|J|AB|=V3;

⑵①4=泄，AD=^AB,BE=^BC,

•・•£)、E分别是AB,CB的中点，

■■■AE=AC+CE=-CA+-2~CB,

CD=^(CA+CB),

__11_.1、

■■■AE-CD=(-CA+-CB)■(-Z7+-CB)

1—Q1―>—•1—»2

=--CA--CBCA+-CB

244

=-ixl2-ix2x1xcos600+-x22=-；

2444

②假设存在非零实数人使得荏1而，

由方=4荏，得同=2(方一石?)，

■.CD=CA+AD=CA+X(CB-丽

=ACe+(l-A)G4;

又屁=4阮，

：.AE=AB+BE=(CB-CA>)+A(-CB)

=(1-A)CB-C^4;

AA?.CD=A(1-A)C52-ACB-C2+(1-A)2CF-M-(1-A)C42-

=42(i—a)—a+(i—A)2—(i—a)

=-3A2+24=0,

解得2=|或2=0(不合题意，舍去)；

即存在非零实数4=|,使得近1而.

解析：本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，属于

中档题.

(1)利用余弦定理求出AB的长即得|布|；

⑵①4=决寸，D、E分别是A3,CB的中点，求出荏、而的数量积即可；

②假设存在非零实数人使得荏JLZU用方、石5分别表示出而和荏，利用荏・而=0列方程,

即可求解a的值.

15.答案：解：(1)由方〃B，得x—2x3=0,解得x=6.

由有1芸，得lx2+2y=0,解得y=-l.

所以b=(3,6),c=(2,—1).

(2)因为沆=2万一方=(一1,一2),n=a+c=(3,1),

所以沆•五=-1x3—2x1=-5,|沆|=J(-1)2+(-2)2=V5,

|n|=V32+l2=V10.

所以COSV沅，n>==7=r=r--^—=-V*<沅，万>>e(().7T),

|m|-|n|v5xV102

所以向量万，元的夹角为手.

4

解析：本题考查向量平行和垂直的坐标表示、向量的夹角，考查数学运算素养,属于中档题.

(1)根据向量平行和垂直之间的坐标关系即对于非零向量1=b=(工2，乃)，2//^<=>xty2

，

%2、1albxrx2+y^2—0.求解即可.

(2)先求出沅和元的坐标，再根据向量的夹角公式求解即可，最后确定角的大小.

16.答案：解：⑴证明：|五|二2,|b|=1;

・・.|五|=2|&|;

va•&=———=0:

22

・••a1K：

(2)・・・xly；

・•・H•9=0；

由⑴得：

x-y=[a+(t-3)K]«(-a+tb)

=-a+3Q.6+t(t-3)b

=-4+0+/—3t

=产—3t—4；

-t2—3t-4=0；

解得t=-l或4.

解析：考查根据向量坐标求向量长度的方法，向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，以及

向量的数量积运算.

(1)根据向量乙方的坐标即可求出|码=2,\b\=1，从而得出|初=2\b\，而进行向量坐标的数量积

运算即可求出葭3=0,从而得出五1B;

(2)根据M13即可得出*少=0,根据⑴进行数量积的运算即可求出H•沙=产一3t-4,从而解t2-

3t—4=0即可解出f的值.

17.答案：解：(a+2b~)■(a—b)=\a\2+a-b—2\b\2=a-b—14>

⑴五〃9时，当五，方同向时々工-14=6-14=一8，当匚石反向时之.14=-6-14=一20；

(2)a11时,a-b-14=0-14=-14；

(3)最与I的夹角为120。时,a.b-i4=2x3xcosl20°-14=-17

解析：本题考查平面向量数量积的运算，平面向量平行、垂直的充要条件，平面向量模及夹角的计

算，属基础题目.

(1)分当a,b同向和<i.b反向两种情况即可求(3+2^)■(a—b)=\a\2+a-b—2\b\2=a-b—

14；

(2)根据平面向量垂直的充要条件即可求①+2by(a-b')=\a\2+a-b-2\b\2=a-b-14.

(3)利用夹角公式即可求0+2尤)・0—3)=\a\2+a-b-2\b\2=a-b-14

18.答案：解：(1)由题意可得65=(6,0)，OC=(1,V3),OM=^OA=(3,0),

CM=(2.-V3).CO=(-1.-V3),

故cos/OCM=cos<C0.CM>==今

故NOCM的余弦值为亚.

14

(2)设P(x,百)，所以而=(2,-b)，OP=(x,V3).

由于。P1CM,所以而•国=2x-3=0，解得％=|，

所以CP=|-1=|,CA=1(6-1)2+(次尸=2夕，

1l

所以空=工=叱.

CA2\[728

解析：本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查两个向量垂直的坐标表示，属于中档题.

(1)由题意求得由=(2,-遮)，CO=(-1,-73)，再根据cos/OCM=cos<而，而>=摆黑，

运算即求得结果；

(2)设出P点坐标，利用。P1CM,则加•丽=0,结合向量的坐标运算，求得P点的坐标，由此

求得CP,。的长，进而求得着的值.

19.答案：解：(1)在AADC中，AD=1,AC=2V3,

所以荷-AC=\AD\-\AC\-COS/.DAC

=1x2V3xcosZ.DAC-3,

所以coszlMC=—.

2

由余弓玄定理得CD?=AC2+AD2-2AC-AD-cos^DAC

=12+l-2x2V3xlXy=7,

所以CD=V7;

(2)在△ABC中，由正弦定理得

ABBCAC2V3.

--=---=---=--2TT=4

sinCsinAsinBsin—

3

所以AB+BC=4(sinA+sinC)

=4|sin-4+—4)]

Z1v/3A

=4I-siiL4+—cvtiA1

=4sin(A+)

由于0V4VA所以扛4+h手

所以sin(4+与e(5，l],

即4B+BC6(2V3,4],

则4B+BC+AC&(4V3,4+273],

所以△ABC周长的取值范围为(4次,4+2V3].

解析：本题考查正弦函数的图象与性质，向量数量积的应用，正弦定理和余弦定理的应用，属于中

档题.

(1)直接利用向量的数量积的应用和余弦定理求出结果；

（2）利用正弦定理和正弦函数的图象与性质求出结果.

20.答案：解：（1）以坐标原点。为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆的方程为一+必=炉,

因为圆/+y2=62过椭圆C的两个焦点，所以b=c,

因为圆/+y2=炉被直线式+y-2=0截得的弦长为2夜，

所以2］尼_（12詈）2=2遮，解得b=2,

所以於=b24-c2=2b2=8,

所以椭圆C的标准方程为立+日=1；

84

I--1--=1

（2）设4（右,为），8（冷，为），由(84,

y=k(x-1)

2

得(21+1)X2_4k2X+2k-8=0,

4k2〃

则+x=22-8

22k2+l，%1%22k2+1'

故而BD=(^-x1,-yt)-(y-x2,-y2)

=-NQi+如)+Xi%2+l(xi-l)(x-1)

1O4-2

=(/、+1)*2-(/彳II+叼％/+切x+正121+/

,,、2k2-8/II4k2,121

-16fc2-8,121门，1217

-2-k;2-+1--1--1-6=-8H---16=--1-6，

所以而•丽为定值一看

16

解析：本题主要考查了椭圆标准方程的求法，椭圆的性质与几何意义的运用，椭圆与直线位置关系

的运用，椭圆中的向量与定值定点问题，考查了分析能力和计算能力，属于较难题.

（1）根据圆的性质可得6=c,再根据圆/+y2=b2被直线x+y—2=0截得的弦长为2a,运用点

到直线距离公式求出b,再根据=b2+c2=2b2,即可得到C的标准方程；

史上乃一1

8+4一联立，运用韦达定理以及向量坐标运算表示出前.前,

(2)设AQi，%),B(x2,y2),由

y=此-1）

化简运算即可求解.

21.答案：解：⑴忖_3=]0_方『=Ja2-2a-b+b2

=小项2_2同同c

os<a,b>+1X2X^+4=V3-

即|五—b\=V3;

(2)•••AB=a，AD=b>

:.BD=AD—AB=b—a.

又M为8。中点，

：.AM=AB+'BM=a+-(b-a)=-a+-b.

444

(3)vAB-5D=a-(K-a)=a-^-a2>

又AB=1,AD=2,/.BAD=60°,

a-b=1x2xcos60°=1,a2=\a\2=1.

：.AB-'BD=a-b-a2=1-1=0.

即存1BD.

解析：本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积公式，属于中档题.

(1)利用向量模的运算及其性质即可求解；

(2)根据向量的加减的几何意义求出；

(3)根据向量的垂直和向量的数量积的关系即可证明.

22.答案：解：⑴在ZL4BD中，由正弦定理得占=福①，

在MCD中，由正弦定理得占=缶②，

又AO平分心B4C,

所以=Z.CAD,sm/.BAD=sin4c4。，

sinz.ADB=sin（兀—/.ADC）=sm/.ADC,

由①②得案所以DC=2BD.

UL>/ICO

所以—.

(2)因为DC=2BD,所以方=|就.

心+叱-心_32+72-6211

在AABC中,因为cosB=—，

2ABBC-2X3X721

所以荏-DC=AB-(^BC)=l\AB\-\'BC|cos(?r-B)

211