高中数学讲义：立体几何

高中数学讲义：立体几何

目录

1.考点一空间几何体的表面积与体积...........................................1

2.考点二空间中的平行关系...................................................2

3.考点三空间中的垂直关系...................................................3

4.考点四空间角问题.........................................................5

5.解答........................................................................5

（斜二测画法）

二柱、锥、台的,

（多面休上

表面积、体积

（立体图玄的宜观图）空间几何体的

空间几何体

表面积、体积

的结构特征

球的表面

（旋转体口

积、体积,

（平面的基本性质卜-立体几何初步

1.考点一空间几何体的表面积与体积

1.主要考查多面体、旋转体的表面积，旋转体的侧面展开图，柱体、锥体、

台体的体积，球的表面积和体积，不规则几何体常用转换法、分割法、补形法

等进行求解.

2.通过对空间几何体的表面积与体积的考查，提升学生的数学运算素养.

例1如图所示的三棱锥0-ABC为长方体的一角.其中0A,OB,0c两

两垂直，三个侧面。48,OAC,08c的面积分别为1.5cnrHcma,3cm2,求三

棱锥0-ABC的体积.

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0

跟踪训练1如图所示，已知直三棱柱的所有棱长均为1,则

三棱锥B的体积为（）

A.12B.

C.75D.

2.考点二空间中的平行关系

1.空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在空间

几何体中证明线面平行、面面平行以及线线平行.

2.通过线线平行、线面平行、面面平行之间相互转化的考查，提升学生的

直观想象和逻辑推理素养.

例2已知四棱锥P-ABC。中，底面A8CO为平行四边形，点、M,N,Q

分别在用，BD,PD上.

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图1图2

(1)如图1,若PM：MA=BN：ND=PQ:QD,求证：平面MNQ〃平面PBC；

(2)如图2,若。满足PQ：QD=2,则M点满足什么条件时,〃平面AQC.

跟踪训练2如图，在正方体ABCO-AiBCi。中，S是B1D1的中点，E,

F,G分别是BC,DC,SC的中点，求证：

(1)直线SC〃平面48D；

(2)平面E/G〃平面BDD\B\.

3.考点三空间中的垂直关系

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1.主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及线线

垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化.

2.通过线线垂直、线面垂直、面面垂直之间相互转化的考查，提升学生直

观想象和逻辑推理素养.

例3如图所示，已知Ab_L平面A8CD,四边形ABEF为矩形，四边形ABCD

为直角梯形，ZDAB=90°,AB//CD,AD=AF=CD=2,AB=4.

(1)求证：ACL平面BCE；

(2)求证：AD1AE.

跟踪训练3如图所示，在四棱锥P-ABC。中，PAmABCD,AB=BC

=2,AD=CD=PA=6，Z/1BC=120°,G为线段PC上的点，

。为AC,BD交点.

(1)证明：80，平面APC；

(2)若G满足PC_L平面5GD,求W的值.

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4.考点四空间角问题

1.空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定

义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角.

2.通过找角，证角，求角的考查，提升学生逻辑推理与数学运算素养.

例4如图，在四棱锥P-ABCO中，4。，平面「。。，AD//BC,PD1PB,

AD=l,BC=3,CD=4,PD=2.

(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；

(2)求证：PDJ_平面P8C；

(3)求直线AB与平面P8C所成角的正弦值.

跟踪训练4AABC所在平面外有一点S,已知SC1AB,SC与底面ABC

所成角为仇二面角S-AB-C的大小为s，且6+9=90。，求二面角C-SB-A

的大小.

5.解答

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例1解析：设。A,OB,。。的长依次为xcm,ycm,zcm,

则由已知可得7xy=1.5,lxz=l,7yz=3.

解得x=l,y=3,z=2.

将三棱锥O-ABC看成以C为顶点，以045为底面.

易知0C为三棱锥C-0A3的高.

11

于是Vo“BC=Vc-QAB=1S^OABOC=1,5X2=l(cm3).

跟踪训练1解析：'三7便BLABC]=»ABC-AIBJCJ—

V-U…CP-工巨一更一百更

r

£<•A-AiB^i—£«4fcCj-ABC=4仆，，=

故选A.

答案：A

例2解析：⑴因为PM：M4=PQ：Q。，所以MQ〃A。，

因为四边形ABC。是平行四边形，所以AO〃BC,所以MQ〃BC,又因为

MQQ平面PBC,BCu平面PBC,所以MQ〃平面PBC,

因为BN：ND=PQ：QD,所以QN〃尸8,又因为QNQ平面PBC,PBu平面

PBC,所以QN〃平面P8C,

又因为MQClQN=。，

所以平面MNQ〃平面PBC-,

(2)连接8。交AC于点。，连接。。，取PQ的中点E,取的中点M,连

接BM、ME、BE,

则点。为8。中点，下面证明：当点M为雨中点时，〃平面AQC；

因为「。：。。=2且E为PQ中点，所以PE=EQ=QD,所以。为。E中

点，

又因为点。为8。中点，所以BE//0Q,因为OQu平面ACQ,8所平面ACQ,

所以8E〃平面AQC,同理ME〃平面AQC,因为MECBE=E,

所以平面8ME〃平面AQC,因为BMu平面3ME,所以〃平面AQC,

因此当点M是雨的中点时，〃平面AQC

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p.

BA

跟踪训练2证明:⑴连接AC与3。交于点0,连接ASA。,则4S〃0C,

且AiS=OC,则四边形AiSCO为平行四边形，所以SC〃Ai。，

•.•SCQ平面AiBD,AiOu平面A1B。，

，SC〃平面A\BD.

(2)连接S3,因为G,E分别是SC,8c中点，所以GE〃S&

又因为SBu平面BDDiBi,GEC平面BDD\B\,

所以GE〃平面BDD\B\,

同理EF〃平面BDD\B\,

因为GE,EFu平面EFG,且GECEF=E,

所以平面ERG〃平面BDDiBi.

例3证明：⑴在直角梯形ABC。中，AD=CD=2,A8=4,

所以AC=8C=2V2,

所以ACe+BCZnA",所以ACLBC.

因为4/_1_平面ABC。，AF//BE,

所以见_平面ABC。，ACu平面ABC。，

所以BELAC.

又因为BEu平面BCE,BCu平面BCE,BEClBC=8,

所以AC,平面BCE.

(2)因为A凡L平面ABC。，ADu平面48cO,

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所以AF_LAD

因为ND4B=90。，所以ABJ_AD

又因为AFu平面ABEE,ABu平面ABM,AFCAB=A,

所以A。，平面A3EF.

因为AEu平面ABEF,所以AOLAE.

跟踪训练3解析：⑴证明：由AB=8C,AD=CD,得BO垂直平分线段

AC.

所以。为AC的中点，BDLAC.

因为以，平面ABCD,BOu平面ABCD,所以PALBD.

因为ACnPA=A,ACu平面APC,%u平面APC,

所以平面APC.

(2)连接OG,如图所示.

因为PC_L平面BGO,OGu平面BGO,所以PCLOG.

在AABC中，由余弦定理，得

AC=V22+22-2X2X2XCOS120€=2V5.

在RtZXPLC中，得PC=VAC2+PA2=V12+3=V1S.

ACPC2m

所以由△GOCS/VIPC可得GC=一丁=—.

PGa

从而PG==一，所以力=■.

例4解析：(1)由已知AD〃8C,故NZMP或其补角即为异面直线AP与

所成的角.因为平面POC,POu平面POC,所以AOLPD在Rt^PD4

I-=--------:ADV5

中，由已知得AP=VAD*+PD*=v'S,故cosNDAP=~=T.

Vs

所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为T.

(2)证明：因为平面POC,直线PDu平面POC,所以ADLPD又因为

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BC//AD,所以PDLBC,又因为PDLPB,BCAPB=B,BC,PBu平面PBC,

所以POL平面PBC.

(3)过点。作AB的平行线交BC于点尸，连接PF,则。尸与平面PBC所成

的角等于AB与平面PBC所成的角.

因为尸。,平面PBC,故尸尸为。F在平面PBC上的射影，所以NOFP为直

线。E和平面P3C所成的角.

由于AD〃5C,DF//AB,故B