人教b版选择性24曲线与方程课件

曲线与方程学习目标1.结合已学过的曲线与方程的实例,了解曲线与方程的对应关系.2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤,会求曲线的方程.知识梳理·自主探究师生互动·合作探究知识梳理·自主探究知识探究1.曲线的方程与方程的曲线在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系:(1)曲线C上的点的坐标都是

;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在

.则称曲线C为

,方程F(x,y)=0为

.方程F(x,y)=0的解曲线C上方程F(x,y)=0的曲线曲线C的方程思考1:直线y=x上任一点M到两坐标轴距离相等吗?到两坐标轴距离相等的点都在直线y=x上,对吗?答案:相等;不对.在平面直角坐标系中,到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0,y0)满足y0=x0或y0=-x0,即(x0,y0)是方程y=±x的解;反之,如果(x0,y0)是方程y=x或y=-x的解,那么以(x0,y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等.思考2:曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解,能否说f(x,y)=0是曲线C的方程?答案:不能,还要验证以方程f(x,y)=0的解为坐标的点是不是都在曲线上.2.求曲线方程的步骤思考3:求曲线的方程要“建立适当的坐标系”,这句话怎样理解?答案:建立坐标系的基本原则:(1)让尽量多的点落在坐标轴上;(2)尽可能地利用图形的对称性,使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步,应充分利用图形的几何性质,如中心对称图形,可利用对称中心为原点建系;轴对称图形以对称轴为坐标轴建系;条件中有直角,可将两直角边作为坐标轴建系等.拓展总结(1)对曲线和方程概念的理解:①坐标系建立的不同,同一曲线的方程也不相同.②一般地,求哪个点的轨迹方程,就设哪个点的坐标是(x,y),而不要设成(x1,y1)或(x′,y′)等.③方程化简到什么程度,课本上没有给出明确的规定,一般指将方程f(x,y)=0化成x,y的整式.如果化简过程破坏了同解性,就需要剔除不属于轨迹上的点,找回属于轨迹而遗漏的点.求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线,求轨迹方程则不必说明.④“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念:求轨迹方程只要求出方程即可;而求轨迹则应先求出轨迹方程,再说明轨迹的形状.(2)求曲线方程的常用方法:①直接法:建立适当的坐标系后,设动点为(x,y),根据几何条件寻求x,y之间的关系式.②定义法:如果所给几何条件正好符合已学曲线的定义,则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程.③代入法:利用所求曲线上的动点与已知曲线上动点的关系,把所求动点转换为已知动点.具体地说,就是用所求动点的坐标(x,y)来表示已知动点的坐标,并代入已知动点满足的曲线的方程,由此可求得动点坐标(x,y)满足的关系.④参数法:如果问题中所求动点满足的几何条件不易得出,也没有明显的相关点,但能发现这个动点受某个变量(像角度、斜率、比值、截距、时间、速度等)的影响,此时,可先建立x,y分别与这个变量的关系,然后将该变量(参数)消去,即可得到x,y的关系式.师生互动·合作探究探究点一曲线与方程关系的应用[例1]证明以原点为圆心,半径为3的圆的方程是x2+y2=9.变式探究1:(变换条件)本例条件改为:求以原点为圆心,半径为3的圆的上半圆的方程.解:上半圆上点的坐标仍旧是方程x2+y2=9的解,但方程的解中纵坐标为负的点都在x轴下方,不在曲线上,所以方程应为x2+y2=9(y≥0).变式探究2:(改变问法)本例中方程改为x2+y2=9(xy>0),则它表示的轨迹是什么?解:以方程x2+y2=9的解为坐标的点都在以原点为圆心,以3为半径的圆上,当满足xy>0时,说明这些点的横、纵坐标同号,即这些点应该在第一象限或第三象限内,所以方程表示的轨迹是以原点为圆心,以3为半径的圆在第一和第三象限内的部分.方法总结证明曲线与方程关系的技巧:(1)解答本类问题的关键:正确理解并运用曲线的方程与方程的曲线的概念.(2)明确两条原则:若点的坐标适合方程,则该点必在方程的曲线上;若点在曲线上,则该点的坐标必适合曲线的方程.(3)证明方程是曲线的方程的步骤:①曲线上任意一点的坐标都是方程的解.②以方程的解为坐标的点都在曲线上,两者缺一不可.探究点二由方程研究曲线类型及形状[例2](1)下列各组方程中表示相同曲线的是(

)A.一条直线和一条射线B.两条射线C.两条线段D.两条直线方法总结判断方程表示什么曲线,就要把方程进行同解变形,常用的方法有:配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式,然后根据方程、等式的性质做出准确判定.易错警示:方程变形前后应保持等价,否则,变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线.另外,当方程中含有绝对值时,常借助分类讨论的思想.探究点三求曲线的方程[例3]已知圆C:x2+(y-3)2=9,过原点作圆C的弦OP,求OP的中点Q的轨迹方程.针对训练:(2021·江苏扬州高二期中)圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上.(1)求圆C的方程;针对训练:(2021·江苏扬州高二期中)圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上.(2)P为圆C上的任意一点,定点Q(8,0),求线段PQ的中点M的轨迹方程.方法总结解答这类题可以用三种方法:一直接法;二定义法;三相关点法,又称为代入法.在解题中,我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程要特别注意题目内在的限制条件.当堂检测D1.曲线C的方程为y=x(1≤x≤5),则下列四点中在曲线C上的是(

)ABC2.(多选题)已知“曲线C上的点的坐标都满足方程f(x,y)=0”是正确的,则下列命题错误的是(

)A.不是曲线C上的点的坐标,一定不满足方程f(x,y)=0B.坐标满足方程f(x,y)=0的点均在曲线C上C.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线D.方程f(x,y)=0的曲线不一定是曲线C解析:因为“曲线C上的点的坐标都满足方程f(x,y)=0”是正确的,所以不能判断以方程f(x,y)=0的解为坐标的点是否都在曲线C上,即坐标满足方程f(x,y)=0的点不一定在曲线C上,方程f(x,y)=0的曲线也不一定是曲线C.从而得到A,B,C不正确,D正确.故选ABC.A4.设A为圆C:(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则动点P的轨迹方程是

.

答案:(x-1)2+y2=2备用例题[例1]分析下列曲线上的点与相应方程的关系:(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|=2之间的关系;解:(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|=2的解,但以方程|x|=2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|=2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.[例1]分析下列曲线上的点与相应方程的关系:(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy=5之间的关系;解:(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy=5,但以方程xy=5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy=5.(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x+y=0之间的关系.解:(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x+y=0,反之,以方程x+y=0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x+y=0.[例3]判断下列命题是否正确.(1)过点P(0,3)的直线l与x轴平行,则直线l的方程为|y|=3;解:(