2023-2024学年安徽省马鞍山七中八年级（下）期末数学试卷 （含解析）

2023-2024学年安徽省马鞍山七中八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．在下列计算中，正确的是（）A． B． C． D．3．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．，3，5 D．28，45，534．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差5．如图，△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，那么下列判断中错误的是（）A．四边形ADEF是平行四边形． B．如果AB＝AC，那么四边形ADEF是菱形 C．如果∠A＝90°，那么四边形ADEF是矩形 D．如果△ABC是等腰直角三角形，那么四边形ADEF是正方形6．随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年年底的价格是两年前价格的．这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降百分之几？（）A．25% B．37.5% C．50% D．75%7．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或368．苯（分子式为C6H6）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现阳苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则∠CBF﹣∠COD的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE．则线段CE的长等于（）A． B． C． D．410．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，将△ABE沿BE对折，A点恰好落在对角线BD上的点F处．延长AF，与CD边交于点G，延长FE，与BA的延长线交于点H，则下列说法：①△BFH为等腰直角三角形；②△ADF≌△FHA；③∠DFG＝60°；④DE＝；⑤S△AEF＝S△DFG．其中正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．若A（x，y）在第二象限，则＝．13．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．14．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是．15．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是4，方差为3，另一组数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的平均数与方差的和为．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的两个实数根分别为α、β，且α+2β＝5，则m的值为．17．将6张宽为1的小长方形按如图摆放在▱ABCD中，则▱ABCD的面积为．18．如图，在矩形ABCD中，AC＝10，∠DAC＝30°，P是边AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为．三、解答题（本大题共6题，满分0分）．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程．19．计算：．20．已知关于x的一元二次方程（m﹣4）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）当m取满足要求的最小正整数时，求方程的解．21．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．（1）若G，H分别是AB，DC中点，试说明：四边形EGFH为平行四边形；（2）在（1）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．22．3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．信息二：第三组的成绩（单位：分）为747173747976777676737275根据信息解答下列问题：（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；（2）第三组竞赛成绩的众数是分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是分；（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为人．23．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．①为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？②要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价为元．24．已知：四边形ABCD是正方形，AB＝20，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上．（1）如图1，若∠EDF＝45°，AE＝CF，求∠DFC的度数；（2）如图2，若∠EDF＝45°，点E，F分别是AB，BC上的动点，求证：△EBF的周长是定值；（3）如图3，若GD＝BF＝5，GF和EH交于点O，且∠EOF＝45°，求EH的长度．

参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．解：A选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意；B选项的被开方数含分母，不符合题意；C选项是最简二次根式，符合题意；D选项的被开方数中有能开的尽方的因数4，不符合题意；故选：C．2．在下列计算中，正确的是（）A． B． C． D．解：∵，∴A选项不正确，∵，∴B选项正确，∵，∴C选项不正确，∵，∴D选项不正确，故选：B．3．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．，3，5 D．28，45，53解：∵12+22＝5≠32＝9，∴A选项不能构成直角三角形，不符合题意；∵22+32＝13≠42＝16，∴B选项不能构成直角三角形，不符合题意；∵，∴C选项不能构成直角三角形，不符合题意；∵282+452＝2809＝532，∴D选项能构成直角三角形，符合题意．故选：D．4．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差解：A、原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；C、原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；D、原来数据的方差S2＝＝，添加数字2后的方差S2＝＝，故方差发生了变化．故选：D．5．如图，△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，那么下列判断中错误的是（）A．四边形ADEF是平行四边形． B．如果AB＝AC，那么四边形ADEF是菱形 C．如果∠A＝90°，那么四边形ADEF是矩形 D．如果△ABC是等腰直角三角形，那么四边形ADEF是正方形解：∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴DE∥AC，EF∥AB，∴DE∥AF，EF∥AD，∴四边形ADEF是平行四边形，故A不符合题意；∵AD＝AB，AF＝AC，且AB＝AC，∴AD＝AF，∴四边形ADEF是菱形，故B不符合题意；∵四边形ADEF是平行四边形，且∠A＝90°，∴四边形ADEF是矩形，故C不符合题意；当△ABC是等腰直角三角形，且∠A＝90°时，则四边形ADEF是矩形，∵AB＝AC，AD＝AB，AF＝AC，∴AD＝AF，∴四边形ADEF是正方形，当△ABC是等腰直角三角形，且∠B＝90°时，则AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°，∴四边形ADEF不是正方形，∴当△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF不一定是正方形，故D符合题意，故选：D．6．随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年年底的价格是两年前价格的．这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降百分之几？（）A．25% B．37.5% C．50% D．75%解：设这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降x，根据题意可得：（1﹣x）2＝，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝1.5（不合题意舍去），即：这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降50%．故选：C．7．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或36解：当a＝4时，b＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+b＝12，∴b＝8不符合；当b＝4时，a＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+a＝12，∴a＝8不符合；当a＝b时，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴12＝2a＝2b，∴a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34；故选：A．8．苯（分子式为C6H6）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现阳苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则∠CBF﹣∠COD的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°解：如图2，六边形ABCDEF是正六边形，∠A＝∠ABC＝＝120°，∵AB＝AF＝EF，∠ABF＝＝30°，∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝120°﹣30°＝90°，∵∠COD＝×360°＝60°，∴∠CBF﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°．故选：A．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE．则线段CE的长等于（）A． B． C． D．4解：如图，连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H.在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，∴BC＝＝10，∵CD＝DB，∴AD＝DC＝DB＝5，∵BC•AH＝AB•AC，∴AH＝，∵AE＝AB，DE＝DB＝DC，∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，∵AD•BO＝BD•AH，∴OB＝，∴BE＝2OB＝，在Rt△BCE中，EC＝＝＝．故选：A．10．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，将△ABE沿BE对折，A点恰好落在对角线BD上的点F处．延长AF，与CD边交于点G，延长FE，与BA的延长线交于点H，则下列说法：①△BFH为等腰直角三角形；②△ADF≌△FHA；③∠DFG＝60°；④DE＝；⑤S△AEF＝S△DFG．其中正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：由题意三角形ABE对折后为三角EFB，∴∠EFB＝∠DAB＝90°，由题意正方形ABCD，连接BD，则角ABF＝45°，∴在直角三角形BHF中HF＝BF，故①正确．由上一证知：HF＝BF＝AB，∠FHB＝∠ADB＝45°，∵∠EAH＝90°，∴∠AEH＝∠DEF＝45°，∴∠DFE＝90°，∵EA＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∴∠AFD＝∠FAH，又知AF为公共边，∴△AHF≌△ADF（SAS），故②正确．由①证得：∠ABE＝∠DAG＝22.5°，由已知∠BDC＝45°，∴在直角三角形ADG中，角AGD＝67.5°，在三角形DFG中角DFG＝67.5°，故③不正确；根据对折可以证明三角形DEF是等腰直角三角形，DF＝1，所以DE＝DF，即④正确，或者过D作FG的垂线证明三角形全等，⑤作FM⊥CD于M，FN⊥AD于N，∵∠FDM＝∠FDN，∴FM＝FN，易证AE＝DG，∵S△FEA＝•AE•FN，S△DFG＝•DG•FM，∴S△AEF＝S△DGF，故⑤正确．所以①②④⑤正确．故选：D．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．解：由题意知2x﹣6≥0，解得x≥3，故答案为：x≥3．12．若A（x，y）在第二象限，则＝．解：∵A（x，y）在第二象限，∴x＜0，y＞0，∴．故答案为：﹣x+y．13．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．解：设多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）•180＝3×360，解得n＝8．则这个多边形的边数是八．14．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是．解：如图，AC＝BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EH＝FG＝D，EF＝HG＝AC，∵AC＝BD∴EF＝FG＝HG＝EH，∴四边形EFGH是菱形．故答案为：菱形．15．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是4，方差为3，另一组数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的平均数与方差的和为．解：∵这组数据的平均数是4，∴，∴x1+x2+x3+x4+x5＝20，∴另一组数据的平均数＝＝＝＝5；∵这组数据的方差为3，∴，∴另一组数据的方差＝＝＝＝4×3＝12，∴另一组数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的平均数与方差的和＝5+12＝17．故答案为：17．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的两个实数根分别为α、β，且α+2β＝5，则m的值为．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的两个实数根分别为α、β，∴α+β＝2，αβ＝﹣3m2，∵α+2β＝5，∴β＝5﹣2＝3，∴α＝2﹣3＝﹣1，∴αβ＝﹣3，∵αβ＝﹣3m2，∴﹣3＝﹣3m2，解得m＝1或﹣1．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3m2）＝4+12m2＞0，故m的值为1或﹣1．故答案为：1或﹣1．17．将6张宽为1的小长方形按如图摆放在▱ABCD中，则▱ABCD的面积为．解：过点A作AF⊥BC于F，过点C作CE⊥AD于E，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴AF⊥AD，CE⊥BC，∴四边形AFCE是矩形，∴AE＝CF，∴DE＝BF，由图形可知：AE＝CF＝AF＝CE＝4，DE＝BF＝4，∴BC＝BF+CF＝8，∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AF＝8×4＝32，故答案为：32．18．如图，在矩形ABCD中，AC＝10，∠DAC＝30°，P是边AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，∠ADC＝90°．∵∠DAC＝30°，∴．延长PG，使得PG＝GQ，连接BQ，AQ，如图，∵PG⊥AC，PG＝GQ，∴AQ＝AP，∴AC平分∠QAD．∵∠DAC＝30°，∴∠QAD＝60°，∴∠BAQ＝30°，∴点Q在定直线上．∵BP中点为E，∴，∴当BQ最小时，GE有最小值．∵当BQ⊥AQ时，BQ最小，此时，∴GE的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共6题，满分0分）．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程．19．计算：．解：原式＝﹣1+2﹣3+1＝﹣1．20．已知关于x的一元二次方程（m﹣4）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）当m取满足要求的最小正整数时，求方程的解．解：（1）∵一元二次方程（m﹣4）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣4）＝12m+1＞0，且m﹣4≠0，∴m＞﹣且m≠4；（2）m满足条件的最小值为m＝1，此时方程为﹣3x2﹣x+1＝0，解得x1＝，x2＝．21．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．（1）若G，H分别是AB，DC中点，试说明：四边形EGFH为平行四边形；（2）在（1）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠GAF＝∠HCE，∵G、H分别是AB、DC的中点，∴AG＝BG，CH＝DH，∴AG＝CH，∵AE＝CF，∴AF＝CE，在△AFG与△CEH中，∴△AFG≌△CEH（SAS），∴GF＝HE，同理：GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，由（2）可知四边形EGFH是平行四边形，连接GH，∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，∴AG＝DH，AG∥DH，∴四边形AGHD是平行四边形，∴GH＝BC＝4，∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：①如图1，AE＝CF＝t，则EF＝5﹣2t＝4，解得：t＝0.5；②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，解得：t＝4.5；综上所述，当t为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形．22．3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．信息二：第三组的成绩（单位：分）为747173747976777676737275根据信息解答下列问题：（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；（2）第三组竞赛成绩的众数是分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是分；（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为人．解：（1）50﹣4﹣12﹣20﹣4＝10（人），补全频数分布直方图如图所示：（2）第3组数据出现次数最多的是76，共出现3次，因此众数是76，抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数的平均数为＝78（分），因此中位数是78，故答案为：76，78；（3）1500×＝720（人），故答案为：720．23．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．①为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？②要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价为元．解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意，得：150（1+x）2＝216，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，依