专题13 复数的概念和意义解析版

Page1专题13复数的概念和意义知识归纳一、复数的有关概念1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2=-1，实部是a，虚部是b.2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1.我们把i叫作虚数单位．3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．4、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．【注意】复数概念说明：（1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.（2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi.（3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．二、复数的分类：对于复数a＋bi，（1）当且仅当b＝0时，它是实数；（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；（3）当b≠0时，叫做虚数；（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：复数=实数b=0虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数).【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系三、复数相等在复数集C中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.其中若Z=a＋bi=0则：a=0且b=0.解方程组即可四、复数的几何意义1、复平面:当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．2、复数的几何意义（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)是一一对应的．【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．五、复数的模（1）定义：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)．六、共轭复数如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用z表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，z＝a－bi.示例：z＝2＋3i的共轭复数是z＝2－3i.【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝z，也就是，任一实数的共轭复数是它本身．（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．题型归纳【题型01复数的概念】【题型02复数相等】【题型03复数的几何意义】【题型01复数的概念】【典例1】给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】C解析】复数2＋3i的虚部是3，①错；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，②错；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误【典例2】(1)复数的实部为（）A．1 B． C． D．（2）（2021·全国·高一课时练习）若复数z＝i（a+i）（a∈R，i为虚数单位）的虚部为2，则a＝（）A．﹣2 B．2C．﹣1 D．1【答案】（1）B（2）B【解析】（1），实部为，故选：B.（2）z＝i（a+i）＝﹣1+ai，由于复数z＝i（a+i）（a∈R，i为虚数单位）的虚部为2，∴a＝2，故选：B.【题型02复数相等】【典例1】已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值.【答案】x＝1，y＝1)或x＝－1，y＝－1.)【解析】∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴x2－y2＝0，2xy＝2，)解得x＝1，y＝1)或x＝－1，y＝－1.)【典例2】复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为()A．1B．1或－4C．－4D．0或－4【答案】C【解析】验证：当a＝0或1时，复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai不相等，排除A、B、D.【题型03复数方程有实根问题】【典例1】已知方程有实根，且，则复数等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由是方程的根可得，整理可得：，所以，解得，所以，故选A.【典例2】已知关于的方程有实数解，则_______.【答案】2或3【解析】因为关于的方程有实数解，所以使得成立.或.【题型04复数的几何意义】【典例1】实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由题意可得复数z＝－2＋i，故在复平面内对应的点为(－2，1)，在第二象限.【典例2】实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点（1）位于第二象限；（2）位于直线y＝x上？【答案】（1）(－2，1)（2）a=1【解析】根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．（1）由点Z位于第二象限得a2＋a－2<0，a2－3a＋2>0，)解得－2<a<1.故满足条件的实数a的取值范围为(－2，1)．（2）由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1.【典例3】若复数满足，则（）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】设，则，所以，即，所以，，所以.故选：B同步练习一、单选题1.已知为虚数单位，则复数的虚部是（）A． B．1 C． D．【答案】A【详解】的虚部是．故选：A．2.复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（）A．=(1，2) B．=(-3，0)C． D．=(-1，-2)3.若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由为纯虚数，得解得.故选：.4.（多选题）给出下列命题，其中是真命题的是（）A．纯虚数的共轭复数是B．若，则C．若，则与互为共轭复数D．若，则与互为共轭复数【答案】AD【解析】A．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B．若，则，当均为实数时，则有，当，是虚数时，，所以B是假命题；C．若，则可能均为实数，但不一定相等，或与的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题；D.若，则，所以与互为共轭复数，故D是真命题.5.复数z＝3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1，则对应的向量为（）A．﹣3﹣4i B．4+3i C．﹣4﹣3i D．﹣3+4i【答案】A【解析】∵复数z＝3+4i对应的点Z（3，4）∴Z关于原点的对称点为Z1（﹣3，﹣4）对应的向量＝﹣3﹣4i故选：A．6.(多选)有下列四个命题，其中正确的是（）①方程2x－5＝0在自然数集N中无解；②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解.A．① B．②C．③ D．④【答案】ABC【详解】①方程2x－5＝0根为，故方程在自然数集N中无解，正确；②方程2x2＋9x－5＝0即，故在整数集Z中有一解-5，在有理数集Q中有两解-5和，正确；③x＝i代入方程x2＋1＝0成立，故x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有四解，，故错误.故选：ABC.7.(多选)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是A．若,则是纯虚数 B．虚部为的虚数有无数个C．实数集是复数集的真子集 D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等【答案】BCD【详解】对于A,若,则,不是纯虚数,故A错误；对于B,虚部为的虚数可以表示为,有无数个,故B正确；根据复数的分类,判断C正确；两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,充分性不成立,故D正确.故选:BCD.8.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i的共轭复数对应的点在虚轴上，则实数a的值为（）A．a=0或a=2 B．a=0C．a≠1，且a≠2 D．a≠1或a≠2【答案】A【解析】∵复数=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上，∴a2-2a=0，∴a=0或a=2故选：A.9.在，，，，0.618，这几个数中，纯虚数的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】解：为实数，为纯虚数，为虚数，为纯虚数，0.618为实数，为实数，纯虚数只有2个，故选：．10.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是（）A．3+4i B．4+3iC．+3i D．3+i解析:设,则有,于是，解得或因为,故,所以不符合要求,故故选：B11.四边形ABCD是复平面内的平行四边形，已知A、B、C三点对应的复数分别是1+3i，-i，2+i，则向量BD对应的复数是 ()A.1-2iB.2+2iC.2-2iD.3+6i【答案】D【解析】由题意得点A，B，C的坐标分别为(1，3)，(0，-1)，(2，1)，设点D的坐标为(x，y)，由AD=BC，得(x-1，y-3)=(2，2)，∴x-1=2，y-3=2，解得x=3，y=5，故D(3，5)，∴BD=(3，6)，则BD对应的复数为3+6i.故选D.12.在复平面内，向量AB=(2，-3)对应的复数为()A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.-3-2i13.（1）设，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（2）复数在复平面内的对应点在第四象限，则实数的取值范围是______．【答案】（1）C（2）【解析】（1）由题意知：，复数在复平面内对应的点为，故在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C．（2）因为复数在复平面内对应的点在第四象限，所以解得．故答案为：14.复数（其中为虚数单位），则（）A． B．5 C．7 D．25【答案】B【详解】解：∵，∴，∴，故选：B.15．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为，该点位于第一象限.故选：A.16．已知，在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则为（）A．-2 B．-1 C．0 D．3【答案】B【详解】复数对应的点为，依题意得，而，于是有.故选：B17．已知复数的虚部为1，且，则可以是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为复数的虚部为1，可设复数，又，所以整理得，故，故选：C18.(多选)下列命题中，正确的是（）A．复数的模总是非负数B．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C．如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D．相等的向量对应着相等的复数【答案】ABD【详解】设复数，对于A，，故A正确．对于B，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确．对于B，复数对应的向量为，且对于平面内的任一向量，其对应的复数为，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B正确．对于C，如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C错．对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确．故选：ABD．19.(多选)实数满足，设，则下列说法正确的是（）A．在复平面内对应的点在第一象限B．C．的虚部是iD．的实部是1【答案】ABD【详解】实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，可化为x+y-2+(x-y)i=0，∴解得x=y=1，∴z=x+yi=1+i.对于A，z在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故A正确.对于B，|z|=，故B正确.对于C，z的虚部是1，故C错误.对于D，z的实部是1，故D正确.故选：ABD.20.(多选)下列关于复数的命题中正确的是（）A．若是虚数，则不是实数B．若，且，则C．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零D．复数对应的点在实轴上方【答案】AD【详解】对于A，根据虚数的定义，A正确；对于B，虚数不能比较大小，B错误；对于C，一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零且虚部不等于0，C错误；对于D，对应点的坐标为，因为，所以点在轴上方，D正确．故选：AD．21．已知是复数z的共轭复数，若在复平面上的对应点位于第一象限，则z的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】设（）则，，由在复平面上的对应点位于第一象限，所以，所以，所以z的对应点位于第四象限，故选：D.22．当时，复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】且，，，因此，复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.23.设，则“”是“复数为纯虚数”的()A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A详解：因为复数为纯虚数，所以因为“x=1”是“x=1”的充要条件，所以“”是“复数为纯虚数”的充分必要条件.故答案为A.24.若复数是纯虚数，则一定有（）A． B．且 C．或 D．【答案】B【详解】，由纯虚数定义可得且，故选B.25.已知i为虚数单位，，则（）A．5 B．7 C．9 D．25【详解】因为，所以，所以,故选：A.26.设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1，1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】因为|z1|＝a2＋4，|z2|＝4＋1＝5，所以a2＋4＜5，即a2＋4＜5，所以a2＜1，即－1＜a＜1.二、填空题1.给出下列命题：①任意两个复数都不能比较大小；②若，则当且仅当且时，；③若，，且，则；④若，则.其中，________是假命题.（填序号）【答案】①③④【详解】对①，当两复数均为实数时，可比较大小，故①错；②显然正确；对③，若，则满足，但，故C错；对④，若，则，但，故④错.故答案为：①③④2.已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则m=_____________．【答案】或6【详解】复数对应点的坐标为，，若点在虚轴上，则，解得或．故答案为：或6.3.复数在复平面上对应的点在第______象限．已知，，实部小于0，虚部大于0，对应点在第二象限．故答案为：二．4.已知复数在复平面内的对应点在第三象限，则实数的取值范围是____.【答案】【详解】由已知得：，解得：，即实数的取值范围为.故答案为：.5.给出下列命题：①若，且，则是纯虚数；②，为复数，，则；③若，则z一定是纯虚数；④虚数的平方根仍是虚数，其中正确的是______.（填序号）【答案】③④【详解】①：当时，，显然不是纯虚数，本命题不正确；②：当，时，显然，但是不成立，本命题不正确；③：设，由且，当时，有，所以，当时，有，显然不可能成立，因此z一定是纯虚数，所以本命题正确；④：设，设，如果，则有且，这与相矛盾，所以假设不成立，故不是实数，是虚数，因此本命题正确，故答案为：③④6.已知，则实数的取值分别为______．【答案】1，1或【详解】因为，所以解得或故答案为：1，1或三.解答题1.在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1+4i，-3i，2，O为坐标原点.（1）求向量OA+OB和AC对应的复数;（2）求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.【答案】（1）1-4i（2）32，2【解析】（1）由已知得OA，OB，OC所对应的复数分别为1+4i，-3i，2，则OA=(1，4)，OB=(0，-3)，OC=(2，0)，所以OA+OB=(1，1)，AC=OC-OA=(1，-4)，故OA+OB对应的复数为1+i，AC对应的复数为1-4i.（2）解法一:由已知得，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(0，-3)，(2，0)，则AC的中点坐标为32，2，由平行四边形的性质知，BD的中点坐标也是32，2.设D(x0，y0)，则0+x02=32，-3+y02=2，解得x0=3，y0=7，所以D(3，7)，故D对应的复数为3+7i.解法二:由已知得，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(0，-3)，(2，0)，设D(x0，y0)，则AB=(-1，-7)，DC=(2-x0，-y0).因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB=DC，所以-1=2-x0，-7=-y0，解得x0=3，y0=7.故D对应的复数为3+7i.解法三:由(1)知OA=(1，4)，OB=(0，-3)，OC=(2，0)，所以BA=(1，7)，BC=(2，3)，由平行四边形的性质得BD=BA+BC=(3，10)，2.实数m取什么值时，复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i分别是：（1）纯虚数；（2）实数．【答案】（1）m＝3