2021-2022学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题（解析）

2021-2022学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】∵,,∴，故选：.2．下列函数在其定义域内是增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】函数在定义域内单调递减，排除B，单调区间不能用并集连接，排除CD.【详解】定义域为R，且在定义域上单调递增，满足题意，A正确；定义域为，在定义域内是减函数，B错误；定义域为，而在为单调递增函数，不能用并集连接，C错误；同理可知：定义域为，而在区间上单调递增，不能用并集连接，D错误.故选：A3．已知，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【详解】因为，则，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.故选：C4．若，则A． B． C． D．【答案】A【解析】直接利用二倍角的余弦公式求解.【详解】由题得.故选A【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数函数以及对数函数的性质判断的范围，即可判断三者的大小关系.【详解】,故，故选：B.6．已知，，则下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用特殊值检验及其不等式的性质判断即可.【详解】对于选项A，令，，但，则A错误；对于选项B，令，，但，则B错误；对于选项C，当时，，则C错误；对于选项D，有不等式的可加性得，则D正确，故选：D.7．“”是“关于的方程有实数根”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】当时，方程的实数根为，当时，方程有实数根，则，解得，则有且，因此，关于的方程有实数根等价于，所以“”是“关于的方程有实数根”的充分而不必要条件.故选：A8．为了节约水资源，某地区对居民用水实行“阶梯水价”制度：将居民家庭全年用水量（取整数）划分为三档，水价分档递增，其标准如下：阶梯居民家庭全年用水量（立方米）水价（元/立方米）其中水费（元/立方米）水资源费（元/立方米）污水处理费（元/立方米）第一阶梯0-180（含）52.071.571.36第二阶梯181-260（含）74.07第三阶梯260以上96.07如该地区某户家庭全年用水量为300立方米，则其应缴纳的全年综合水费（包括水费、水资源费及污水处理费）合计为元．若该地区某户家庭缴纳的全年综合水费合计为1180元，则此户家庭全年用水量为（

）A．170立方米 B．200立方米 C．220立方米 D．236立方米【答案】C【分析】根据用户缴纳的金额判定全年用水量少于260，利用第二档的收费方式计算即可.【详解】若该用户全年用水量为260，则应缴纳元，所以该户家庭的全年用水量少于260，设该户家庭的全年用水量为x，则应缴纳元，解得.故选：C9．已知奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若，则函数在区间内的零点个数至少为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据奇函数的定义域为R可得，由和奇函数的性质可得、，利用零点的存在性定理即可得出结果.【详解】奇函数的定义域为R，其图象为一条连续不断的曲线，得，由得，所以，故函数在之间至少存在一个零点，由奇函数的性质可知函数在之间至少存在一个零点，所以函数在之间至少存在3个零点.故选：C10．数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关．黄金分割常数也可以表示成，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函数平方关系，诱导公式，二倍角公式进行求解.【详解】故选：A二、填空题11．函数的定义域是________．【答案】【分析】利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域.【详解】对于函数，，解得，故函数的定义域为.故答案为：.12．________．【答案】【分析】利用指数运算及对数运算法则进行计算.【详解】故答案为：713．已知定义在上的函数满足：①；②在区间上单调递减；③的图象关于直线对称，则的解析式可以是________．【答案】（答案不唯一）【分析】取，结合二次函数的基本性质逐项验证可得结论.【详解】取，则，满足①，在区间上单调递减，满足②，的图象关于直线对称，满足③.故答案为：（答案不唯一）.14．已知函数f(x)=(5−【答案】【分析】利用求解分段函数单调性的方法列出不等式关系，由此即可求解【详解】由已知可得函数在R上为单调递增函数，则需满足，解得，所以实数a的取值范围为，故答案为：．15．给出下列四个结论：①函数是奇函数；②将函数的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象；③若是第一象限角且，则；④已知函数，其中是正整数．若对任意实数都有，则的最小值是4．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②④【分析】直接利用奇函数的定义，函数图象的平移变换，象限角，三角函数的恒等变换以及余弦函数图像的性质即可判断.【详解】对于①，其中，即为奇函数，则①正确；对于②将的图象向右平移个单位长度，即，则②正确；对于③若令，，则，则③不正确；对于④，由题意可知，任意一个长为的开区间上至少包含函数的一个周期，的周期为，则，即，则的最小值是4,则④正确；故答案为：①②④.三、双空题16．如图，若角的终边与单位圆交于点，则________，________．【答案】

0.8

【分析】根据单位圆中的勾股定理和点所在象限求出，然后根据三角函数的定义求出即可【详解】如图所示，点位于第一象限，则有：，且解得：（其中）故答案为：；四、解答题17．已知全集，集合，集合．(1)求集合及；(2)若集合，且，求实数的取值范围．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）解一元一次不等式求集合A，再应用集合的交并补运算求及.（2）由集合的包含关系可得，结合已知即可得的取值范围．(1)由得：，所以，则，由，所以，．(2)因为且，所以，解得．所以的取值范围是．18．已知为锐角，，．(1)求和的值；(2)求和的值．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）由为锐角，可求出，利用同角之间的关系可求出，由正弦的两角和求.（2）利用同角之间的关系可求出，根据结合余弦的差角公式可得出答案.(1)因为为锐角，且，所以．所以．(2)因为为锐角，所以．所以．所以．19．已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．条件①：；条件②：的最小正周期为；条件③：的图象经过点．(1)求的解析式；(2)求的单调递增区间．【答案】(1)条件选择见解析，；(2)单调递增区间为，.【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出.选择①②：由可求得的值，由正弦型函数的周期公式可求得的值，可得出函数的解析式；选择②③：由正弦型函数的周期公式可求得的值，由可求得的值，可得出函数的解析式；选择①③：由可求得的值，由结合可求得的值，可得出函数的解析式；（2）解不等式，可得出函数的单调递增区间.(1)解：.选择①②：因为，所以，又因为的最小正周期为，所以，所以；选择②③：因为的最小正周期为，所以，则，又因为，所以，所以；选择①③：因为，所以，所以．又因为，所以，所以，又因为，所以，所以．(2)解：依题意，令，，解得，，所以的单调递增区间为，.20．已知函数，（）．(1)当时，求不等式的解集；(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；(3)若对任意，存在，使得，求的取值范围．【答案】(1)或(2)(3)【分析】（1）将代入不等式，解该一元二次不等式即可；（2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用即可解得参数的范围；（3）对任意，存在，使得，转化为的值域包含于的值域.同时对值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解.(1)当时，由得，即，解得或．所以不等式的解集为或．(2)由得，即不等式的解集是．所以，解得．所以的取值范围是．(3)当时，．又．①当，即时，对任意，．所以，此时不等式组无解，②当，即时，对任意，．所以2<m≤③当，即时，对任意，．所以此时不等式组无解，④当，即时，对任意，．所以此时不等式组无解．综上，实数的取值范围是．【点睛】关键点点睛，本题中“对任意，存在，使得”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决问题的关键，而其中二次函数在闭区间上的值域问题，又需要针对对称轴与区间的相对位置进行讨论.21．已知非空数集，设为集合中所有元素之和，集合是由集合的所有子集组成的集合．(1)若集合，写出和集合；(2)若集合中的元素都是正整数，且对任意的正整数、、、、，都存在集合，使得，则称集合具有性质．①若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由；②若集合具有性质，且，求的最小值及此时中元素的最大值的所有可能取值．【答案】(1)，；(2)①有，理由见解析；②的最小值为，所有可能取值是、、、、.【分析】（1）根据题中定义可写出与；（2）（i）求得，取、、、、，找出对应的集合，使得，即可得出结论；（ii）设，不妨设，根据题中定义分析出、，，，，，然后验证当、、、、时，集合符合题意，即可得解.(1)解：由题中定义可得，.(2)解：（ⅰ）集合具有性质，理由如下：因为，所以．当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；综上可得，集合具有性质；（ⅱ）设集合，不妨设．因为为正整数，所以，．因为存在使得，所以此时中不能包含元素、、、且，所以．所以．因为存在使得，所以此时中不能包含元