北师大高中数学选择性必修第一册3.4.3.1空间中的角【课件】

第三章空间向量与立体几何4

向量在立体几何中的应用自主预习互动学习达标小练

4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系一、空间中的角基础训练自主预习|cos＜a，b＞||cos＜a，n＞||cos＜n1，n2＞|

线的夹角.提示：(1)当a，n与α，l的关系如下图所示时，l与α所成的角与a，n所成的角互余.

即sin

θ＝cos＜a，n＞.(2)当a，n与α，l的关系如下图所示时，l与α所成的角与两向量所成的角的补角互余.此时，sin

θ＝|cos＜a，n＞|.

总之，若设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与平面的法向量所成的角为φ，则有sin

θ＝|cos

φ|.

若直线的方向

提示：不一定.

两平面法向量的夹角可能等于两平面的夹角(当0≤＜n1，n2

中n1，n2是两平面的法向量.基础训练互动学习[解]

以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，2a，0).答图

＝a，∠EAF＝60°，

解：(1)如图建立空间直角坐标系，∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0).

在Rt△PAD中，由AD＝2，∠PAD＝60°得PD

答图

[解]

(1)证明：易知AB，AD，AA1两两垂直.

如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.答图设AB＝t，则有A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3).

解：设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系如图.则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)，

答图

[解]

(1)如图，以点O为原点，OB，OC，OA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，

由于异面直线BE与AC所成的角的范围是

答图

又平面BEC的一个法向量为n2＝(0，0，1)，

由题可得，二面角A－BE－C的平面角是n1与n2的夹角的补角，所以

解：(1)证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，答图

∴PC⊥BF，PC⊥EF，又BF∩EF＝F，则PC⊥平面BEF.

设平面BEF与平面BAP的夹角为θ，则

∴θ＝45°，即平面BEF与平面BAP的夹角为45°.基础训练达标小练A解析：异面直线的夹角的取值范围是(0°，90°]，故选A.D

重合.

故选D.B解析：如图所示.

不妨设正四棱锥底面边长为2，底面中心为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，取BC中点E，连接OE，PE，则OE⊥BC，PE⊥

建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，－1，0)，B(1，1，0)，C(－1，

90°

ABCD，故直线PA与底面ABCD所成的角为90°.解：∵四边形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，AM⊥EC.∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC.以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.

设EA＝AC＝BC＝2，则A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2).∵M是正方形ACDE的对角线的交点，∴M(0，1，1