2023-2024学年广东省广州市越秀区高二（下）期末数学试卷 （含解析）

2023-2024学年广东省广州市越秀区高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知等比数列{an}的首项为1，公比为﹣2，则数列{an}的前5项和为（）A．11 B．16 C．﹣15 D．﹣72．已知，则＝（）A． B． C． D．3．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜X≤2）＝0.36，则P（X＞2）＝（）A．0.14 B．0.18 C．0.32 D．0.644．学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（）A．10 B．15 C．60 D．1255．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%．如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（）A． B． C． D．6．已知随机变量X取所有的值1，2，3，…，n是等可能的，且E（X）＝15，则n＝（）A．29 B．19 C．6 D．57．以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（）A．70 B．64 C．58 D．248．已知函数f（x）＝xa﹣logbx（a＞0，b＞0，b≠1），若f（x）≥1恒成立，则ab2的最小值为（）A．e B．2e C．e2 D．2e2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.（多选）9．随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下，则（）超市ABCDE广告支出x24568销售额y3040606070（参考公式：，；参考数据：）A．经验回归直线经过点（5，60） B．经验回归方程为 C．样本点（8，70）的残差为﹣3 D．预测广告支出10万元时的销售额为80万元（多选）10．已知（1﹣2x）2024＝a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024，则（）A．展开式中的常数项为1 B．展开式中各项系数之和为0 C．展开式中二项式系数最大的项为第1012项 D．（多选）11．设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分数列．从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分数列的概率为Pm，则（）A．数列a1，a2，…，a6是（1，6）可分数列 B．数列a1，a2，…，a10是（2，9）可分数列 C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知数列{an}满足a1＝﹣1，2an+1﹣anan+1＝1（n∈N*），则a3＝．13．长时间看手机有可能影响视力．据调查，某校学生有50%的人近视，而该校有25%的学生每天看手机时间超过1h，这些人的近视率为80%．现从每天看手机时间不超过1h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为．14．已知函数f（x）＝ex+sinx﹣2（a2+lna）x在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）＝ax3+bx+8（a，b∈R）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣9x+24．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在区间[﹣2，3]上的最大值与最小值．16．为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，某电视传媒公司随机抽取了该地区100名电视观众进行调查，调查数据如下：非体育迷体育迷合计男3045女10合计75100（1）完成上面的2×2列联表，依据α＝0.05的独立性检验，能否认为“体育迷”与性别有关联？（2）五一期间，该地区电视台在某体育赛事现场直播期间开展电话连线活动，计划从该地区电视观众中随机连线5名观众，假设每位电视观众连线成功的概率均为p（0＜p＜1），各人是否连线成功互不影响，记连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为f（p），求f（p）取得最大值时p的值．附：（其中n＝a+b+c+d）α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82817．设数列{an}的前n项和为Sn，已知an＞0，且2an，2Sn，成等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn＝求数列{bn}的前2n项和T2n．18．（17分）已知函数f（x）＝x2+（1﹣2a）x﹣alnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．19．（17分）甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作．记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有1个黑球的概率为pn，恰有2个黑球的概率为qn．（1）求p1，q1与p2，q2；（2）设an＝pn+2qn，求证：数列{an﹣1}是等比数列；（3）求Xn的数学期望E（Xn）（用n表示）．

参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知等比数列{an}的首项为1，公比为﹣2，则数列{an}的前5项和为（）A．11 B．16 C．﹣15 D．﹣7【分析】由已知结合等比数列的通项公式即可求解．解：因为等比数列{an}的首项为1，公比为﹣2，则数列{an}的前5项和为1﹣2+4﹣8+16＝11．故选：A．2．已知，则＝（）A． B． C． D．【分析】由已知结合函数的求导公式即可求解．解：因为，所以，则＝﹣．故选：D．3．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜X≤2）＝0.36，则P（X＞2）＝（）A．0.14 B．0.18 C．0.32 D．0.64【分析】根据正态分布曲线的对称性求解．解：∵X～N（1，σ2），且P（0＜X≤2）＝0.36，∴P（1＜X≤2）＝P（0＜X≤2）＝0.36＝0.18，∴P（X＞2）＝0.5﹣P（1＜X≤2）＝0.5﹣0.18＝0.32．故选：C．4．学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（）A．10 B．15 C．60 D．125【分析】利用分步计数原理求解即可．解：由题意可分三步：甲同学有5种选法，乙同学有5种选法，丙同学有5种选法，共5×5×5＝53＝125种．故选：D．5．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%．如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（）A． B． C． D．【分析】结合贝叶斯公式，直接求解．解：取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是：＝．故选：B．6．已知随机变量X取所有的值1，2，3，…，n是等可能的，且E（X）＝15，则n＝（）A．29 B．19 C．6 D．5【分析】根据随机变量的数学期望公式列出方程，求解方程即可．解：因为随机变量λ取可能的值1，2，…，n是等可能的，所以，（i＝1.2．…，n），所以，所以，解得n＝29．故选：A．7．以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（）A．70 B．64 C．58 D．24【分析】根据平行六面体的结构特征以及排列组合相关知识可解．解：从平行六面体的8个顶点中任选4个有种情况，又要使能构成四面体则这四个顶点不在同一平面内，共有6个面和6个对棱构成的平面，共6+6＝12个，则以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为70﹣12＝58个．故选：C．8．已知函数f（x）＝xa﹣logbx（a＞0，b＞0，b≠1），若f（x）≥1恒成立，则ab2的最小值为（）A．e B．2e C．e2 D．2e2【分析】由题意可得当0＜b＜1时，不合题意；当b＞1时，利用导数可得alnb＝1，从而得ab2＝，令g（b）＝，b＞1，利用导数求解最小值即可．解：因为函数f（x）＝xa﹣logbx的定义域为（0，+∞），当0＜b＜1时，可得f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（b）＝ba﹣1＜b0﹣1＝0，不合题意；当b＞1时，，令f'（x0）＝0，解得，当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝x0时，f（x）有极小值，也是最小值，又因为f（1）≥1且f（1）＝1，所以，则，得alnb＝1，所以ab2＝，令g（b）＝，b＞1，则g'（b）＝，又因为b＞1，lnb＞0，所以当b∈（1，）时，g'（b）＜0，g（b）单调递减，当b∈（，+∞）时，g'（b）＞0，g（b）单调递增，所以g（b）min＝g（）＝＝2e．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.（多选）9．随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下，则（）超市ABCDE广告支出x24568销售额y3040606070（参考公式：，；参考数据：）A．经验回归直线经过点（5，60） B．经验回归方程为 C．样本点（8，70）的残差为﹣3 D．预测广告支出10万元时的销售额为80万元【分析】根据已知条件，结合最小二乘法，以及线性回归方程的性质，即可求解．解：由题意可知，，，故经验回归直线经过点（5，52），故A错误；由题意可知，＝7，＝52﹣7×5＝17，故经验回归方程为，故B正确；样本点（8，70）的残差为70﹣（7×8+17）＝﹣3，故C正确；当x＝10时，y＝7×10+17＝87，故D错误．故选：BC．（多选）10．已知（1﹣2x）2024＝a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024，则（）A．展开式中的常数项为1 B．展开式中各项系数之和为0 C．展开式中二项式系数最大的项为第1012项 D．【分析】A：令x＝0即可判断；B：令x＝1即可判断；C：根据二项式系数的性质即可判断；D：令x＝，化简即可判断．解：A：令x＝0，则展开式中常数项为a0＝1，故A正确；B：令x＝1，则展开式中各项系数和为（1﹣2）2024＝1，故B错误；C：因为n＝2024为偶数，所以展开式中二项式系数最大项为第1013项，故C错误；D：令x＝，则a0+＝（1﹣2×）2024＝0，则＝0﹣1＝﹣1，故D正确．故选：AD．（多选）11．设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分数列．从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分数列的概率为Pm，则（）A．数列a1，a2，…，a6是（1，6）可分数列 B．数列a1，a2，…，a10是（2，9）可分数列 C． D．【分析】对于A和B根据定义进行判断即可；对于C和D，先根据定义找到所有符合的情况，再利用概率公式求解即可．解：对于A，因为从数列a1，a2，…，a6中删去a1，a6以后，数列a2，a3，a4，a5可以分成一组，并且依然构成等差数列，所以数列a1，a2，…，a6是（1，6）可分数列，故A正确；对于B，从数列a1，a2，…，a10删去a2，a9以后，剩余的项可以平均分成两组a1，a3，a5，a7和a4，a6，a8，a10，且在两个数列都能构成等差数列，设原数列公差为d（d≠0），这两个数列的公差为2d，所以数列a1，a2，…，a10是（2，9）可分数列，故B正确；对于C，当m＝1时，根据定义，数列a1，a2，…，a6是（1，6）可分数列，也可以是（1，2）可分数列，也可以是（5.6）可分数列共三种，所以，故C正确；对于D，当m＝2时，根据定义，数列a1，a2，…，a10为（i，j）（i＜j）可分数列的情况有：（1，2），（1，6），（1，10），（2，9），（5，6），（5，10），（，10）共7种，所以，故D错误．故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知数列{an}满足a1＝﹣1，2an+1﹣anan+1＝1（n∈N*），则a3＝．【分析】由数列的递推式，取n＝1，n＝2，分别求得a2，a3．解：由a1＝﹣1，2an+1﹣anan+1＝1（n∈N*），可得an+1＝，即有a2＝＝，a3＝＝．故答案为：．13．长时间看手机有可能影响视力．据调查，某校学生有50%的人近视，而该校有25%的学生每天看手机时间超过1h，这些人的近视率为80%．现从每天看手机时间不超过1h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为0.4．【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．解：设该名学生近视的概率为x，由题意可知，25%×80%+（1﹣25%）x＝50%，解得x＝0.4．故答案为：0.4．14．已知函数f（x）＝ex+sinx﹣2（a2+lna）x在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（0，1]．【分析】先对函数求导，结合导数与单调性关系及不等式恒成立与最值的转化关系即可求解．解：因为f（x）＝ex+sinx﹣2（a2+lna）x在（0，+∞）上单调递增，所以f′（x）＝ex+cosx﹣2（a2+lna）≥0在（0，+∞）上恒成立，所以2（a2+lna）≤ex+cosx在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝ex+cosx，x＞0，则g′（x）＝ex﹣sinx＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（0）＝2，所以2（a2+lna）≤2，即a2+lna≤1，因为h（a）＝a2+lna在（0，+∞）上单调递增，且h（1）＝1，所以0＜a≤1．故答案为：（0，1]．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）＝ax3+bx+8（a，b∈R）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣9x+24．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在区间[﹣2，3]上的最大值与最小值．【分析】（1）由导数的几何意义可得函数f（x）在（2，f（2））处的切线的斜率为f′（2）＝12a+b，则12a+b＝﹣9①，8a+2b+8＝6②，解得a，b．（2）由（1）知，f（x）＝﹣x3+3x+8，x∈[﹣2，3]，求导分析单调性，极值，端点处函数值，即可得出答案．解：（1）f′（x）＝3ax2+b，所以函数f（x）在（2，f（2））处的切线的斜率为f′（2）＝12a+b，又f（x）在（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣9x+24，所以12a+b＝﹣9，①又f（2）＝8a+2b+8，因为f（x）在（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣9x+24，所以f（2）＝﹣9×2+24＝6，所以8a+2b+8＝6，②由①②，解得a＝﹣1，b＝3．（2）由（1）知，f（x）＝﹣x3+3x+8，x∈[﹣2，3]，所以f′（x）＝﹣3x2+3，令f′（x）＝0，得x＝±1，所以在（﹣2，﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（﹣1，1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1，3）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，又f（﹣1）＝6，f（1）＝10，f（3）＝﹣10，f（﹣2）＝10，所以f（x）的最大值为10，最小值为﹣10，所以函数f（x）在[﹣2，3]上的值域为[﹣10，10]．16．为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，某电视传媒公司随机抽取了该地区100名电视观众进行调查，调查数据如下：非体育迷体育迷合计男3045女10合计75100（1）完成上面的2×2列联表，依据α＝0.05的独立性检验，能否认为“体育迷”与性别有关联？（2）五一期间，该地区电视台在某体育赛事现场直播期间开展电话连线活动，计划从该地区电视观众中随机连线5名观众，假设每位电视观众连线成功的概率均为p（0＜p＜1），各人是否连线成功互不影响，记连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为f（p），求f（p）取得最大值时p的值．附：（其中n＝a+b+c+d）α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【分析】（1）将表中数据代入公式，求得χ2的值，分析即可得答案；（2）找到f（p）＝10（1﹣p）2p3（0＜p＜1），利用导数研究最大值．解：（1）2×2列联表：非体育迷体育迷合计男300151345女45101055合计752525100，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“体育迷”与性别有关．（2）由题意，连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为（0＜p＜1），则f′（p）＝10[﹣2（1﹣p）p3+3（1﹣p）2p2]＝10p2（5p2﹣8p+3），令f′（p）＝0，得，当时，f'（p）＞0，则函数f（p）单调递增，当时，f'（p）＜0，则函数f（p）单调递减，所以当时，函数f（p）取得极大值，极大值为，即当时，函数f（p）取得最大值．17．设数列{an}的前n项和为Sn，已知an＞0，且2an，2Sn，成等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn＝求数列{bn}的前2n项和T2n．【分析】（1）由等差数列的中项性质和an与Sn的关系，结合等差数列的定义、通项公式，可得所求；（2）由数列的分组求和、等差数列的求和公式和数列的裂项相消求和，计算可得所求和．解：（1）由an＞0，且2an，2Sn，成等差数列，可得4Sn＝2an+，当n＝1时，4a1＝4S1＝2a1+，解得a1＝2，当n≥2时，由4Sn＝2an+，可得4Sn﹣1＝2an﹣1+，两式相减可得4an＝2an﹣2an﹣1+﹣，即为2（an+an﹣1）＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），由an＞0，可得an﹣an﹣1＝2，则数列{an}是首项和公差为2的等差数列，即有an＝2n；（2）bn＝＝，则数列{bn}的前2n项和T2n＝2（1+3+5+...+2n﹣1）+（﹣+﹣+...+﹣）＝2×n（1+2n﹣1）+（﹣）＝2n2+．18．（17分）已知函数f（x）＝x2+（1﹣2a）x﹣alnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）求出函数f（x）的最小值，构造g（x）＝lnx+x﹣1，构造h（x）＝lnx﹣x+1，x≥1，得到lnx≤x﹣1＜x，从而f（x）＞x2+x﹣3ax＝x（x+1﹣3a），确定a的范围即可．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝2x+1﹣2a﹣＝，若a≤0，则f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）单调递增；若a＞0，则当0＜x＜a时，f′（x）＜0，当x＞a时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，a）单调递减，则（a，+∞）单调递增．（2）由（1）可知，要使f（x）有两个零点，则a＞0，则f（x）min＝f（a）＝﹣a2+a﹣alna＜0，即lna+a﹣1＞0，构造g（x）＝lnx+x﹣1，则g′（x）＝+1＞0，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，故当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，故由g（a）＞0，得a＞1，当a＞1时，由f（e﹣1