2022年秋高中数学第一章空间向量与立体几何综合测评新人教B版选择性必修第一册

模块综合测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.直线与直线的交点在第四象限,则实数4的取值范围为()

B.®)

。&+8)D.

2.在空间直角坐标系中，若直线1的方向向量为a=(l,-2,1),平面。的法向量为n=(2,3,4),则

()

A.1//aB.71a

C.Iu。或/〃。D./与。斜交

3.设直线l\：y=kix+l,li-.y=k2x-l,其中实数k“%满足左左+20,则7,与乙的交点一•定在()

A.2X+3/=1(A^0)±

B.*%2/=1(#0)上

C.2x+y-1(%^0)上

D.3f+2/=l(xW0)上

4.若双曲线噂-5=1(附8刈的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则。的离心率

为()

A.2B.V3C.V2D.手

5.已知圆夕与圆C：(*")2+/=8恰有两条公切线，则实数勿的取值范围是()

A.(1,3)B.(-1,1)

C.(3,+8)D.(-3,-1)U(1,3)

6.(2021安徽宿州期中)若圆*+(y-a)2=4上总存在两个点到坐标原点的距离为1,则实数a的取值

范围是()

A.(1,3)B.[1,3]

C.(-3,-l)u(l,3)D.[-3,-l]u[1,3]

7.过双曲线的右顶点作x轴的垂线与6•的一条渐近线相交于A,若以双曲线。的右焦点

尸为圆心、以2为半径的圆经过4。两点（。为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）

A.V3B.2

C.V5D.3

8.如图,若抛物线过点平行于x轴的光线经过点A反射后,反射光线经过抛物线的焦点,且

交抛物线于点B,则线段相的中点到准线的距离为（）

A.-B.-

48

C.-D.2

4

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全

部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.已知点P是平行四边形力四所在的平面外一点,如果标=（2,-1,Y）,同二（4,2,0）,而二（-1,2,T）,

则下列结论正确的有（）

A.APLAB

B.AP1.AD

C.而是平面力以力的一个法向量

D.APWBD

10.（2021辽宁大连期中）已知尸是双曲线婿一\二13刈的右焦点，点P是双曲线上任意一点，0

为坐标原点,则NA*的大小可能是（）

A.30°B.45°

C.60°D.150°

11.（2021辽宁沈阳检测）已知实数x、y满足方程则下列说法正确的是)

A.y的最大值为2大片

15.（"2），3+1）2的最大值为22+12立

C.x+y的最大值为3+2V2

D.4x-3y的最大值为8

12.（2021江苏海安检测）双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同

时也具有特殊的有价值的艺术美,是形成其他一些常见的漂亮图案的基石,也是许多设计者设计作

品的主要几何元素.曲线C力（f-力是双纽线,则下列结论正确的是（）

A.曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

B.曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过2

C.曲线C关于直线尸x对称的曲线方程为（丁+炉）22（7-/）

D.若直线受而与曲线C只有一个交点，则实数〃的取值范围为（-、-1]U[1,+8）

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.设向量a=（l,2,A）,b=（2,2,-1）,若cos<a,b，?,则实数A的值为.

14.如图,在空间四边形6148c中,£尸分别是AB,弦的中点,〃是哥1上一点,且E吟EF、记

OH=xOA+yOB+zOC,贝lj（x,y,z）=;若市A.OB.OALOC,N80CQ,且

,U4/-./OB/-/OC/=1,则/而/=.

15.（2021河北邢台检测）在△/度中,4,6分别是椭圆盘+*1（a协0）的左、右焦点，点C在椭圆上,

且N/16C=30°,（存+而）•近=0,则该椭圆的离心率为

16.(2021江苏常州期中)已知圆C:(x-3My=l,点"在抛物线上运动,过点M引直线71,h

与圆C相切,切点分别为A,B,则〃8/'的取值范围为.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)圆心为1的圆经过点力(Y,1),夙-3,2),且圆心1在直线tx-y-24)上.

(1)求圆。的标准方程；

⑵过点尸(3,T)作直线勿交圆C于MN两点,且/W=8,求直线0的方程.

18.(12分)如图,在正方体ABCD-ABCR中，也N分别为AB,的中点.

⑴借助向量证明平面4划〃平面5勿；

(2)借助向量证明网比平面AxBD.

19.(12分)如图，在矩形ABCD中"BW,4%6,点E,厂分别在AD,BC上,且AE=\,BF4,沿犷'将四边形

4所方折成四边形月'夕必'，使点6'在平面〃花尸上的射影〃在直线DE上.

B'

(1)求证:平面8'5"L平面

(2)求证:A〃平面B'FC;

(3)求直线函与平面所成角的正弦值.

20.(12分)(2021浙江学业考试)如图，直线/与圆氏/+5+1)2=1相切于点P,与抛物线C/Ny相

交于不同的两点4氏与y轴相交于点7(0,£)*人).

(1)若7是抛物线。的焦点,求直线1的方程;

⑵若iTEl^lPAl•/PB/,求t的值.

21.（12分）（2021江苏南通模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中,四边形48缪是等腰梯形,46〃

DC,BC=CD2AB=\.M,N分别是AB,49的中点，且PDA.NC,平面月切，平面ABCD.

⑴证明：如，平面ABCD-,

（2）已知三棱锥〃-为6的体积为|,求平面月VC与平面的夹角的大小.

22.(12分)已知椭圆噂+各(a加0)经过点W2,1),且离心率为与直线1与椭圆交于48两点,

线段的中点为此

(1)求椭圆。的方程；

(2)若N4阳的角平分线与x轴垂直,求长度的最小值.

模块综合测评

LA联立CX工。解得::霆

Vl+2kl

：.—X)且也<0,，3<

l+2kl+2k2总2.

2.C由a•n=lX2+(-2)X3+1X4-0,可知a±n.

：.!//。或7ca.

3.C直线/i：y=《x+l,・••瓦上:(x#。)；

X

直线h:，42r^^(xWO).

又看〃2+2R,・••巴•”上2电

XX

整理得2f+/=l(xW0),

/.lx与11的交点一定在2x=*=l(xWO)上.

4.A双曲线的渐近线方程为云天a片0,

圆心(2,0)到渐近线距离为公序运=V3,

则点(2,0)到直线bx+ay$的距离为

，甘=i

即生竽考,整理可得cMa2,

c4

双曲线的离心率e事=V4^.

5.D•.•圆G:八(户勿)2之与圆恰有两条公切线，，两圆相交.

又G圆心为(0,-ni),半径为a,G圆心为(网0),半径为2或,；.&<a/加<3鱼,即1<7加<3,

解得-33<T或13⑶

6.C根据题意,到坐标原点的距离为1的点的轨迹方程为是圆心为(0,0),半径片1的圆,

若圆上总存在两个点到坐标原点的距离为1,则圆/+(y-a)2Z与圆相交，

圆/+(y-a)2=l,圆心为(0,a),半径R2

则有2T<7a/<2+l,即l</a/<3,

解得-31或1<a<3,

即z的取值范围为(-3,T)U(1,3).

7.B因为双曲线的渐近线方程为y=上，，

a

所以/(a,6)或/(a,-6),因此/"7=c之，

即J(2-a)2+炉=2,整理可得才+巨Ya=O.

因为a+lf=c=^,所以4a2,解得a=l,

所以双曲线的离心率为e二之.

a

8.B由题意设抛物线的方程为y=哂将A的坐标代入可得1％可得m4,

所以抛物线的方程为/可入,可得焦点H1,0),准线方程为X=-1,

由题意可得反射光线过焦点(1,0),所以直线48的方程为言=导,整理可得y=3(x-l),

1-0--13

4

4f1

{,二；D解得容:、或上二，

所以反射光线与抛物线的两个交点8(4,-4),

所以AB的中点为(费1),

所以49的中点到准线的距离壮+1岑.

88

9.ABCVAB-AP=2X(-l)+(-l)X2+(")X(-l)-0,：.APA.AB,

即APVAB,故A正确；

•.•丽•而《DX4+2X2+(T)X0=0,

：.AP1AD,即APIAJ),故B正确；

由APLAB,APVAD,且ABnAD=A,得出都是平面四切的一个法向量,故C正确；

由Q是平面/腼的法向量，得出Q1前，故D错误.

10.AD•.•双曲线嗜-白(a刈的渐近线方程为y=±x,

双曲线的渐近线与x轴的夹角为45°.

:厂是双曲线C：2-'=l(a<X))的右焦点，

。为坐标原点,点尸是双曲线上任意一点，

.,.o°WNP0F&5。或135°<//WW180°.

.♦.N/W的大小可能是30。，150°.

故选AD.

11.BCD由1-2xYy+l4),知(xT)2*(y-2)M,

表示圆心为Ml,2),半径为片2的圆，

对于的几何意义为圆上的点与原点距离的平方和，其最大值为(/QJ〃川、(通发)2,即卜错误;

对于B,(k2)。(川1)2的几何意义为圆上的点与点(-2,-1)距离的平方和，其最大值为

(2+3或)222+12位,即B正确；

对于C,令z=x+y,则其几何意义为直线y=r+z在y轴上的截距，

当该直线尸-x+z与圆相切时,可满足题意，

此时圆心欣1,2)到直线y=-x+z的距离为严等2,解得zW土2位，

V2

显然^„=3-2V2,z耐可2/1即C正确；

对于D,令t=4x-3y,则其几何意义为直线片^^,在y轴上的截距乘以-3,

当该直线t与圆相切时，可满足题意，

此时圆心Ml,2)到直线y^t的距离为心产之,解得片8或-12,

显然Zmin--12,turn=8,即D正确.

故选BCD.

12.BCD当y=O时,x=4x,解得x=Q或2或-2,

即曲线过整点(0,0),(2,0),(-2,0),结合图象可知-2或N忘2,令彳=壬1,得/2百-3,不是整点,

/.曲线C共经过3个整点,故A错误;

岑毕＜4,曲线。上任取一点P(x,力到原点的距离吟/%2+y2W2,故B正确;

x十y

曲线。上任取一点材关于y=x的对称点为N,

设N(x,y),则."(％x),〃在曲线C上,

A(x2+y)M(/-x),故C正确；

y=Ax与曲线C一定有公共点(0,0),

♦.•y=4x与曲线C只有一个公共点，

则x(,i+Jc)=1x(1D,.dwo,

.•.421或AWT,故D正确.

13.告或2因为向量a=(l,2,2),b=(2,2,-1),

所以a•b^2M-A4-X,

/a/R1+4+42=y/54-A2,

/b/R4+4+4¥.

若cos<a,b>q,

则j=_±^_=i,

|Q|网后/X39，

化简得7储+1084-244-0,

解得A=告或A之，

则实数才的值为告或2.

14m)—•：OH=OE+EH=OA+AE+-EF=OA+-AB+-(OF-OE)^A+-(OB-

\82878424、2、

OA)-^x-(OB+OC-OA-OB)^-OA+-OB+-OC,

42、828

(X,%z)

'：OALOB.OALOC,NBOC$Q°,

且可/刁赤/=沅/=1,

2

：.OH2=(-OA+-OB+-OC]=-\OA^\OB/2-^-\OC/2-^X-X-XCOS600=^-+-+-+-=

\828J64141641286446416

/•・丽/哼.

15.”如图，作平行四边形/龙C

由(荏+前)•BC-O,得AELBC,

一故lACl=[ABl=2c.

又NA%>30°,二/a73X2csin60°c.

由椭圆的定义知2a=/ACl+/BC[=2(1A/3)C,

故a=(V3+l)c,

离心率e/=；=旦.

a闻12

16.L—,2)

2

17.解⑴由已知直线AB的斜率k^AB中点坐标为(-1,|),

所以46垂直平分线的方程为户■户2R.

则由匕"1。'解得匕:，所以圆心以0,-2),

因此半径r=lACf

所以圆C的标准方程为x=(y+2)225.

⑵由/W=8可得圆心C到直线m的距离序不-3,

所以当直线加斜率不存在时,其方程为片区

即x-34);

当直线力斜率存在时,设其方程为y+14(x-3),

则法」黑玛解得公g

NK£"rL<5

此时其方程为4x+3y-9-0.

所以直线勿的方程为%-3-0或4x+3厂9R.

18.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则

〃(0,0,0),4(2,0,2),8(2,2,0),R(2,2,2),<7(0,2,0),力(0,0,2),

设平面4勿的法向量为m-(x,y,z),

•西=(2,0,2),丽=(2,2,0),

••偏二二"即鼠第2令x=T,则平面46〃的一个法向量1,1).

同理平面B、CK的一个法向量为n=(T,1,1),

，m〃n,

J平面4版〃平面台办.

(2)N分别为AB,8c的中点，

.,.M2,1,0),Ml,2,1),

.♦.而=(T,1,1),：.MN//m,

二版归_平面46〃

19.⑴证明在矩形/腼中，aa阳

点8'在平面CW上的射影为H,

则8'忆平面CDEF,且Cg平面CDEF,

J.B'HVCD.

又B'HCDE=H,：.平面B,HD.

又CDc平面B'CD,

二平面6'缪J"平面B'HD.

⑵证明%b'E"因平面B'FC,B'Fu平面B,FC,

.•"'£〃平面B'FC.

由DE//FC,同理可得应1〃平面B'FC.

又A'EQDE=Ey

，平面力'外〃平面B'FC,

〃平面B'FC.

⑶解如图所示,过点《作ER//DC,过点K作用，平面EFCD,

分别以图必用为r轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

•••6'在平面6W上的射影〃在直线DE上,

.•.设8'(0,y,z)(y_X),z刈.

,/尸(3,3,0),且B'E^Q,B'F=A,

•唱;之鲁…解得忆去

，6'(0,2,遍)，

.•.而=(-3,-1.V6),

而一两=(之二渔).

4444

又罚二(0,5,0),

设平面力'龙的法向量为n=(a,5,C),

n・前=0,

则有

n•ED=0f

即「3a-b+V6c—0,

15b=0,

解得b=O,令a=\y

得平面，功的一个法向量为n《l,0,豺

又(7(3,5,0),“(0,2,0),

：.CH=(-3,-3,0),

_卜

直线/方与平面小功所成角的正弦值为sin0=/cos<CH,n>/JCH'n|3+0+0|_y/5

Jl+0+^xV9+9+05

|CH||nI

20.解⑴C7（0,2（切0）是抛物线的焦点,

/.t=1.

设直线1的方程为y=kx+L由直线/与圆K相切,得婚声=1,即k=±W,

Vl+k2

.•.直线/的方程为产土V5x+1.

⑵设直线1的方程为y=kx+t,P(xo,y0),A(xh%),B(x%㈤,

由"上+''得xFER,

(产=4y,

贝(I汨+及=4%汨及二-41,

222

AIPA/•/PB/=^1+k/x\-Ab/•V14-k/X2-jfo/-(1-^A)[x\x2~xAx\+x^收引=(1+必)[XQ-

4(kxo+。]-(1卷)(诏-4jb).

由直线/与圆£相切，得要=1,

Vl+fcz

即1*(加1)2,

由/窗/=什1,/"/=/掰/•/%/,得(11)(瑶-4yo)=("D2,

・••诏-4次=1,又诏+(%+1)2=1,乂)£(-2,0),

解得％=-3+2近.

由直线/与"互相垂直,得公

。*=*=焉=意="

21.⑴证明连接DM,则DC//BM宣DC=BM,

所以四边形及力»/为平行四边形,所以DM//BC旦DM=BC,所以△4即是等边三角形,所以MNVAD.

因为平面例〃1平面ABCD,且平面PADC\平面ABCD=AD,所以劭ILL平面PAD.

因为Pg平面PAD,

所以PDLMN.

又因为PDLNC,且切口NC=N,拉化平面ABCD,A«=平面ABCD,

所以如J_平面ABCD.

(2)解连接做则协〃网彳

所以BDVAD,BDLPD.

在Rt△的8中，M+DE=A®,

又AD2止1,

所以DBe6,

故△ZM6的面积为SA