2023北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习-§4 事件的独立性

2023北师大版新教材高中数学必修第一册

第七章概率

§4事件的独立性

基础过关练

题组一事件独立性的判断

1.（2021北京丰台期末）抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A="第一枚硬币正面

朝上"，事件B="第二枚硬币反面朝上"厕A与B的关系为（）

A.互斥但不对立B.相互对立

C.相互独立D.相等

2.（2020福建厦门月考）袋内装有除颜色外完全相同的3个白球和2个黑球，从中

有放回地摸出一个球，若用事件A表示"第一次摸得白球"，事件B表示"第二

次摸得白球"，事件C表示"第二次摸得黑球"，那么事件A与B,A与C之间的

关系是（）

A.A与B,A与C均相互独立

B.A与B相互独立,A与C互斥

C.A与B,A与C均互斥

D.A与B互斥,A与C相互独立

3.若事件A,B发生的概率都大于零，则（）

A.如果A,B是互斥事件，那么A与否也是互斥事件

B.如果A,B不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件

C.如果A,B是相互独立事件,那么它们一定不是互斥事件

D.如果A+B是必然事件，那么它们一定是对立事件

4.（2022广东广附六校月考）若P（AB）q,P（©],P（B）4,则事件A与B的关系是

V3J

（）

A.事件A与B互斥

B.事件A与B对立

C.事件A与B相互独立

D.事件A与B既互斥又相互独立

题组二事件独立性的概率计算

5.若A,B是相互独立事件，且P（A）=*（B）=|则P（A互）=（）

A1C1D1

_--

B.642

6.如图所示，在两个转盘中指针落在每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同

时落在奇数所在区域的概率是（）

7.若甲、乙两人投球的命中率分别为1,则甲、乙两人各投一次，其中恰好命中一

次的概率为（）

12C3D5

-

2-B.55-6-

8.（2022山东滨州期末）有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的

次品率为10%,乙厂生产的次品率为20%,丙厂生产的次品率为30%,生产出来的

产品混放在一起，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的50%、

30%、20%.任取一件产品，则取得次品的概率是（）

A.0.83B,0.79C.0.21D.0.17

9.三个元件T1J2J3正常工作的概率分别为舞且是互相独立的.若将它们按如图

所示的方式接入电路中,则电路不发生故障的概率是（）

.葛总点

A32B.32q32D32

10.（2020河南省实验中学月考）已知甲、乙两位射手,甲击中目标的概率为0.7,

乙击中目标的概率为0.6，如果甲、乙两位射手的射击相互独立，那么甲、乙两位

射手同时瞄准一个目标射击，目标被击中的概率为.

1L同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、

三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分.假设同学甲答对

第一、二、三个问题的概率分别为080.6,0.5,且各题是否答对相互之间没有影

响,则同学甲得分不低于300分的概率是.

12.为了实现中国梦的构想，在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资

农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测,三个项目成功的概率分

别为痣且三个项目是否成功相互独立.

⑴求恰有两个项目成功的概率；

（2）求至少有一个项目成功的概率.

13.1月1日,某品牌的两款新手机（记为W型号,T型号）同时投放市场，手机厂商

为了解这两款手机的销售情况，在1月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款

手机的销量（单位涪应得到下表：

ABCDE

W型号

6613811

手机销量

T型号

1291364

手机销量

若在1月1日当天，从A,B这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部，求

抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率.

能力提升练

题组事件独立性的概率计算

1.（2022湖北武汉武钢三中月考）端午节放假期间，甲、乙、丙三人回老家过节的

概率分别为•假定三人是否回老家过节相互之间没有影响，那么至少有一人回

老家过节的概率为（）

A.gC.|D.白

602560

2.（2020山东枣庄期末）一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9

中任选一个，某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字,若任意

按最后一位数字，则不超过2次就按对的概率为（）

A.|B.2C.1D.-i-

510510

3.（2021江苏南京金陵中学段测）甲、乙两名同学参加一项射击游戏，游戏规定每

击中一次目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为|和

P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为弟假设甲、乙两人射击互不

影响，则P的值为（）

A.1B.C，2D）

5544

4.（2021辽宁葫芦岛期末）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一

人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均

为3各局比赛的结果相互独立，第一局甲当裁判,在前三局中乙恰好当1次裁判的

概率为.

5.如图为竖直平面内的一些通道，图中线条均表示通道,一钢珠从入口E处自上而

下沿通道自由落下，钢珠在每个分岔口落向两侧的概率相等，则其落到B处的概率

是•

6.体育课上定点投篮项目测试规则:每位同学有3次投篮机会,一旦投中很！J停止投

篮，并视为合格，否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立，某同学每次投篮投

中的概率均为P，若该同学本次测试合格的概率为0.784厕p=.

7.如图所示，用A,B,C,D四种不同的元件分别连接成系统M,N.当元件A,B都正常

工作或元件C正常工作或元件D正常工作时，系统M正常工作;当元件A,B都正

常工作或元件B,D都正常工作或元件C正常工作时，系统N正常工作.已知

A,B,C,D四种元件正常工作的概率分别为0509070.8,且各元件是否正常工作

是相互独立的.试从能否正常工作的角度判断两个系统中哪一个的连接方式更为

合理.

系四:£5系统N：

答案与分层梯度式解析

第七章概率

§4事件的独立性

基础过关练

1.C根据题意，两个事件可以同时发生，也可以都不发生，事件A发生与否对事件

B没有影响，是相互独立事件，故选C.

2.A由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，

故A与B,A与C均相互独立，而A与B,A与C均能同时发生，从而不互斥.

3.C当事件A,B的关系如图1所示时,A与B互斥，但A与否不互斥,A错误；

当事件A与B不相互独立时,A与B也不一定是互斥事件,B错误；

如果事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A>P(B),依题意得P(A)P(B)>0,因此

P(AB)WO,即事件A与事件B一定能同时发生,故它们一定不是互斥事件,C正确；

当事件A,B的关系如图2所示时,A+B是必然事件，但A,B不是对立事件,D错误.

故选C.

图1图2

4c•.•P(A)=1-P⑷=iqW，「.P(AB)=P(A>P(B)〃.事件A与B相互独立.又

•.P(AB)WP(A)+P(B)〃.事件A与B并不互斥.

5.A.AB是相互独立事件,；A与亘也是相互独立事件，

•.P(A)=1P(B)=|,

・•・P(A后)=P(A>P⑻得x(i-|)胃.故选A.

6.A"左边转盘指针落在奇数区域"记为事件A厕P(A).=|,"右边转盘指针

落在奇数区域"记为事件B,则P(B)3二|,因为事件A、B相互独立,所以两个指针

同时落在奇数区域的概率为和|力故选A.

7.A设"甲投球一次命中"为事件A,"乙投球一次命中"为事件B,"甲、乙

两人各投一次，其中恰好命中一次"为事件C则c=(Ans)uwnB),且An后与xnB

互斥很!J

P(C)=P[(A呵uqnB)]=p(An句+p(znB)=p(A)p®+p(i)p(B)w>4+L.

A.

8.P任取一件产品，取得次品的概率是0.1x0.5+0.2x0.3+0.3x0.2=0.17.

9.A记”三个元件T1,T213正常工作"分别为事件A1,A2,A3厕

P(AI)=1P(A2)=|,P(A3)=|.

记"电路不发生故障"为事件M,则

M=(A2UA3)nAi,.-.P(M)=P[(A2UA3)nAi]=[l-P(42)P(^)]-P(Ai)=(i-lxl)xl=l|.

故选A.

10.答案0.88

解析由题意知，甲、乙两射手同时未击中目标的概率为Q-0.7)X(1-0.6)=0.12,

所以目标被击中的概率为1-0.12=0.88.

11.答案0.46

解析设"同学甲答对第i个题"为事件Ai(i=l,2,3)厕

P(AI)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5,且AiAA相互独立，同学甲得分不低于300

分对应于事件(AinA2nA3)u(Ain^nAs)u0nA2nA3)发生故所求概率

P=P[(A1AA2nA3)U(Ainx2nA3)U0AA2nA3)]

=p(AmA2nA3)+p(Airu2nA3)+p(%nA2nA3)

=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(42)P(A3)+PC41)-P(A2)P(A3)

=0.8x0.6x0.5+0.8x0.4x0.5+0.2x0.6x0.5

=0.46.

12.解析Q)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为gx|x(i一

只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为十(1\"|=总

只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为(1Y)x|x|得

・••恰有两个项目成功的概率为计得+户卷

(2)三个项目全部失败的概率为(16)X(1—|)X(1—|)=表

.•至少有一个项目成功的概率为1喘=器

13.解析将从A手机店售出的新款手机中随机抽取的1部手机记为甲，从B手

机店售出的新款手机中随机抽取的1部手机记为乙，设"甲手机为T型号手机"

为事件Mi,"乙手机为T型号手机"为事件Mz

依题意，有P(Mi)=蔡二|,P(M2)=篇=|,且事件Mi、M2相互独立.

设"抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机"为事件M,

则P(M)=1-P(MIM2)=1-|X|=|,

即抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率为!.

能力提升练

1.C设甲、乙、丙三人回老家过节分别为事件A、B、C,至少有一人回老家过

节为事件D,则P(D)=1-P(ZBf)=l-P⑷P⑻P©=l-|x沁=|.故选C.

2c由题意知，若任意按最后一位数字，则不超过2次就按对的概率

P=#公1•故选C

3c设"甲射击一次，击中目标”为事件A,"乙射击一次，击中目标"为事件B,

则"甲射击一次沫击中目标"为事件a"乙射击一次,未击中目标"为事件瓦则

P(A)=|,P(H=l-|=|,P(B)=p,P@)=l-p,依题意得|x(l-p)+|xp吗解得p弓故选

C.

4.答案］

解析在前三局中乙恰好当1次裁判，有两种情况:①第一局乙、丙比赛时乙负，

第二局乙当裁判，甲、丙比赛无论胜负第三局乙均不当裁判；

②第一局乙、丙比赛时乙胜，第二局乙、甲比赛时甲胜，第三局丙、甲比赛，乙当裁

判.

••在前三局中乙恰好当1次裁判的概率P=j+jxj=1.

5.答案|

解析钢珠从E处落下，①有2的概率落到EF,经FH后有g的概率落到HJ,经JM

后有g的概率落到MN,最后落到B处，即钢珠从E处落下，沿此路径落到B处的概

率力得反吗得；

②有g的概率落到EF,经