新高考数学一轮复习讲义 第13讲 函数的应用和函数模型（含解析）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第13讲函数的应用和函数模型（精讲）题型目录一览①求函数的零点和判断零点所在区间②与零点有关的参数问题③二分法的应用④常见函数模型Ⅰ-二次和分段函数⑤常见函数模型Ⅱ-指对幂函数【★文末附录-函数的应用思维导图】一、知识点梳理一、知识点梳理1.函数的零点对于函数SKIPIF1<0，我们把使SKIPIF1<0的实数SKIPIF1<0叫做函数SKIPIF1<0的零点.2.方程的根与函数零点的关系方程SKIPIF1<0有实数根SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的图像与SKIPIF1<0轴有公共点SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0有零点.3.零点存在性定理如果函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图像是连续不断的一条曲线，并且有SKIPIF1<0，那么函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内有零点，即存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0也就是方程SKIPIF1<0的根.4.二分法对于区间SKIPIF1<0上连续不断且SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0，通过不断地把函数SKIPIF1<0的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程SKIPIF1<0的近似解就是求函数SKIPIF1<0零点的近似值.5.用二分法求函数SKIPIF1<0零点近似值的步骤（1）确定区间SKIPIF1<0，验证SKIPIF1<0，给定精度SKIPIF1<0.（2）求区间SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0.（3）计算SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0就是函数SKIPIF1<0的零点；若SKIPIF1<0，则令SKIPIF1<0（此时零点SKIPIF1<0）.若SKIPIF1<0，则令SKIPIF1<0（此时零点SKIPIF1<0）（4）判断是否达到精确度SKIPIF1<0，即若SKIPIF1<0，则函数零点的近似值为SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）；否则重复第（2）~（4）步.（用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.）6.几种常见的函数模型：函数模型函数解析式一次函数模型SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数且SKIPIF1<0反比例函数模型SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数且SKIPIF1<0二次函数模型SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数且SKIPIF1<0指数函数模型SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对数函数模型SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0幂函数模型SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<07.解函数应用问题的步骤：(1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型;(3)解模：求解数学模型，得出结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．【常用结论】函数的零点相关技巧:①若连续不断的函数SKIPIF1<0在定义域上是单调函数，则SKIPIF1<0至多有一个零点.②连续不断的函数SKIPIF1<0，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.③连续不断的函数SKIPIF1<0通过零点时，函数值不一定变号.④连续不断的函数SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0上有零点，不一定能推出SKIPIF1<0.二、题型分类精讲二、题型分类精讲刷真题明导向刷真题明导向一、单选题1．（2020·全国·统考高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（

）A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故至少需要志愿者SKIPIF1<0名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.2．（2020·海南·统考高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：SKIPIF1<0描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（

）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【答案】B【分析】根据题意可得SKIPIF1<0，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为SKIPIF1<0天，根据SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0即可得结果.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为SKIPIF1<0天，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0天.故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.3．（2020·天津·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0若函数SKIPIF1<0恰有4个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由SKIPIF1<0，结合已知，将问题转化为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个不同交点，分SKIPIF1<0三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到SKIPIF1<0，所以要使SKIPIF1<0恰有4个零点，只需方程SKIPIF1<0恰有3个实根即可，令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有SKIPIF1<0个不同交点.因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，此时SKIPIF1<0，如图1，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个不同交点，不满足题意；当SKIPIF1<0时，如图2，此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0个不同交点，满足题意；当SKIPIF1<0时，如图3，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切时，联立方程得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负值舍去），所以SKIPIF1<0.综上，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：D.4．（2021·天津·统考高考真题）设SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内恰有6个零点，则a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由SKIPIF1<0最多有2个根，可得SKIPIF1<0至少有4个根，分别讨论当SKIPIF1<0和SKIPIF1<0时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】SKIPIF1<0最多有2个根，所以SKIPIF1<0至少有4个根，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，（1）SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有4个零点，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有5个零点，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有6个零点，即SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0无零点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有1个零点；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0有2个零点；所以若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有1个零点.综上，要使SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内恰有6个零点，则应满足SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则可解得a的取值范围是SKIPIF1<0.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.二、填空题5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0，给出下列四个结论：①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恰有2个零点；②存在负数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有1个零点；③存在负数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3个零点；④存在正数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是_______．【答案】①②④【分析】由SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，考查直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，①正确；对于②，考查直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，对函数SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0只有一个零点，②正确；对于③，当直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有两个交点，若函数SKIPIF1<0有三个零点，则直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有两个交点，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有一个交点，所以，SKIPIF1<0，此不等式无解，因此，不存在SKIPIF1<0，使得函数SKIPIF1<0有三个零点，③错误；对于④，考查直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，对函数SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．6．（2022·天津·统考高考真题）设SKIPIF1<0，对任意实数x，记SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0至少有3个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围为______.【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分析可知函数SKIPIF1<0至少有一个零点，可得出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的取值范围，然后对实数SKIPIF1<0的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数SKIPIF1<0的不等式，综合可求得实数SKIPIF1<0的取值范围.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.要使得函数SKIPIF1<0至少有SKIPIF1<0个零点，则函数SKIPIF1<0至少有一个零点，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的图象如下图所示：此时函数SKIPIF1<0只有两个零点，不合乎题意；②当SKIPIF1<0时，设函数SKIPIF1<0的两个零点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，要使得函数SKIPIF1<0至少有SKIPIF1<0个零点，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的图象如下图所示：由图可知，函数SKIPIF1<0的零点个数为SKIPIF1<0，合乎题意；④当SKIPIF1<0时，设函数SKIPIF1<0的两个零点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，要使得函数SKIPIF1<0至少有SKIPIF1<0个零点，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.综上所述，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.题型一求函数的零点和判断零点所在区间策略方法1.确定函数零点个数的方法2.判断函数零点所在区间的方法【典例1】已知函数SKIPIF1<0是奇函数，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一个零点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】根据给定条件，利用奇函数、函数零点的定义，列式求解作答.【详解】因为SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一个零点，则SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而函数SKIPIF1<0是奇函数，则有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D【典例2】设方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的实数根分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用零点存在性定理分别求出根的范围即可判断．【详解】构建SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0在定义域内单调递增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的实数根SKIPIF1<0，构建SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0在定义域内单调递增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的实数根SKIPIF1<0，构建SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0在定义域内单调递增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的实数根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：A.【点睛】本题考查了指数函数对数函数的性质以及方程根的问题，属于基础题【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知方程SKIPIF1<0的解在SKIPIF1<0内，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析运算.【详解】构建SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在定义域内单调递增，故SKIPIF1<0在定义域内至多有一个零点，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0仅在SKIPIF1<0内存在零点，即方程SKIPIF1<0的解仅在SKIPIF1<0内，故SKIPIF1<0.故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0的零点依次为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】分别讨论SKIPIF1<0的零点所在的区间，然后比较大小.【详解】对于SKIPIF1<0，显然是增函数，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的唯一零点SKIPIF1<0；对于SKIPIF1<0，显然也是增函数，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的唯一零点SKIPIF1<0；对于SKIPIF1<0，显然也是增函数，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的唯一零点SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；故选：A.3．（2023·全国·高三专题练习）用二分法求方程SKIPIF1<0近似解时，所取的第一个区间可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】SKIPIF1<0，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案.【详解】令SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上都是增函数，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有唯一零点，所以用二分法求方程SKIPIF1<0近似解时，所取的第一个区间可以是SKIPIF1<0.故选：B.二、填空题4．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的零点是_________．【答案】1和3【分析】直接利用对数函数的性质与零点的定义，令SKIPIF1<0即可求解【详解】依题意，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案为：1和3.5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0则函数SKIPIF1<0的所有零点之和为___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数SKIPIF1<0的所有零点，从而得解．【详解】解：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的所有零点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以所有零点的和为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0．6．（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的零点个数为________．【答案】1【分析】解法一，将函数SKIPIF1<0的零点转化为函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象的交点问题，作出函数图象，数形结合，可得答案；解法二，利用零点存在定理结合函数的单调性，可得答案.【详解】解法一：令SKIPIF1<0，可得方程SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故原函数的零点个数即为函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象的交点个数．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．由图可知，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象只有一个交点，故函数SKIPIF1<0只有一个零点，故答案为：1解法二：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0上是不间断的，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上必有零点，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调递增的，∴函数SKIPIF1<0的零点有且只有一个，故答案为：17．（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0为实数，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围为________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由零点的存在性定理求解即可【详解】因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，且有零点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0题型二与零点有关的参数问题策略方法已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围【典例1】．若函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0恰有2个零点，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】分类讨论SKIPIF1<0或SKIPIF1<0三种情况，然后根据函数判断【详解】①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0只有一个零点0，不符合题意；②当SKIPIF1<0时，作出函数SKIPIF1<0的大致图象，如图1，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上各有一个零点，符合题意；③当SKIPIF1<0时，作出函数SKIPIF1<0的大致图象，如图2，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上没有零点．则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个零点，此时必须满足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．综上，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故选：A【题型训练】一、单选题1．（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023届高三下学期5月模拟联考数学试题）设SKIPIF1<0表示m，n中的较小数．若函数SKIPIF1<0至少有3个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】分析可知函数SKIPIF1<0至少有一个零点，可得出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的取值范围，然后对实数SKIPIF1<0的取值范围进行分类讨论，即可得出实数SKIPIF1<0的取值范围.【详解】由题意可得SKIPIF1<0有解，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，必有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，必有SKIPIF1<0，不等式组无解，综上所述，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）若方程SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0有两个不同实数根，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据指数函数的性质及函数的图象，再结合函数的零点与方程的根的关系即可求解.【详解】由题意可知，方程SKIPIF1<0有两个不同实数根，等价于函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有两个不同的交点，当SKIPIF1<0时，如图所示，由图可知，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有两个不同的交点，满足题意当SKIPIF1<0时，如图所示由图可知，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有且仅有一个交点，不满足题意,综上所示，实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．故选：D．3．（河北省2023届高三适应性考试数学试题）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恰有两个零点，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】将问题转化为SKIPIF1<0恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函数图象即可确定SKIPIF1<0的取值.【详解】SKIPIF1<0恰有两个零点,即SKIPIF1<0恰有两个实数根，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恰有两个实数根等价于SKIPIF1<0恰有两个实数根，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0此时SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0单调递减，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取极小值也是最小值，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0单调递增，在直角坐标系中画出SKIPIF1<0的大致图象如图：要使SKIPIF1<0有两个交点，则SKIPIF1<0，故选：D4．（天津市和平区2021-2022学年高一上学期期末质量调查数学试题）已知函数SKIPIF1<0有零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】转化为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有交点，再根据SKIPIF1<0值域求解即可.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0有零点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有交点，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：C二、多选题5．（2023·山西晋中·统考三模）已知函数SKIPIF1<0，关于x的方程SKIPIF1<0，下列结论正确的是（

）A．存在SKIPIF1<0使方程恰有2个不相等的实根B．存在SKIPIF1<0使方程恰有4个不相等的实根C．存在SKIPIF1<0使方程恰有5个不相等的实根D．存在SKIPIF1<0使方程恰有6个不相等的实根【答案】AB【分析】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，利用导数研究函数SKIPIF1<0的单调性，由此确定方程SKIPIF1<0的解的个数及范围，再结合二次函数性质确定结论.【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0的大致图象如下：所以当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0没有实根；当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有1个实根；当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有2个实根；当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有3个实根.因为方程SKIPIF1<0的判别式SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0没有实根，故方程SKIPIF1<0无实根；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故方程SKIPIF1<0有2个不等实根；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0有2个不等实根t1，t2，不妨取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则必有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0没有实根，SKIPIF1<0有1个实根，所以方程SKIPIF1<0有1个实根；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有1个实根，SKIPIF1<0有1个实根，所以方程SKIPIF1<0有2个实根；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有3个实根，SKIPIF1<0有1个实根，所以方程SKIPIF1<0有4个实根，综上所述：当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有1个实根；当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有2个实根；当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有4个实根；当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0没有实根.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过换元，将问题转化为方程组的解的问题，再利用数形结合方法及二次函数性质研究方程的解.三、填空题6．（北京市昌平区2022届高三二模数学试题）若函数SKIPIF1<0有且仅有两个零点，则实数SKIPIF1<0的一个取值为______.【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【分析】由零点的概念求解【详解】令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的一个零点，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有一解，得SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0（答案不唯一）7．（天津市河西区2023届高三一模数学试题）已知SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0个不同的零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是______．【答案】SKIPIF1<0【分析】当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，可转化为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0个不同的零点，利用根的分布可得答案.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0个不同的零点，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时恰有SKIPIF1<0个不同的零点，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.题型三二分法的应用【典例1】人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用．例如求方程SKIPIF1<0的近似解，先用函数零点存在定理，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0上存在零点，取SKIPIF1<0，牛顿用公式SKIPIF1<0反复迭代，以SKIPIF1<0作为SKIPIF1<0的近似解，迭代两次后计算得到的近似解为______；以SKIPIF1<0为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为______．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【分析】第一空，理解消楚“迭代”的含义，实际上是一个递推数列，反复代入给定的表达式，计算即可；第二空，根据二分法依次取区间中点值计算即可.【详解】已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．迭代1次后，SKIPIF1<0；选代2次后，SKIPIF1<0；用二分法计算第1次，区间SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以近似解在区间SKIPIF1<0上；用二分法计算第2次，区间SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以近似解在区间SKIPIF1<0上，取其中点值SKIPIF1<0，故所求近似解为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）用二分法研究函数SKIPIF1<0的零点时，第一次经过计算得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点SKIPIF1<0，结合对二分法的理解即可得出结果.【详解】因为SKIPIF1<0，由零点存在性知：零点SKIPIF1<0，根据二分法，第二次应计算SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：D.2．（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【答案】C【分析】根据二分法的定义和精确度的要求分析判断即可【详解】由所给数据可知，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内有一个根，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以根在SKIPIF1<0内，因为SKIPIF1<0，所以不满足精确度，继续取区间中点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以根在区间SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以不满足精确度，继续取区间中点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以根在区间SKIPIF1<0内，因为SKIPIF1<0满足精确度，因为SKIPIF1<0，所以根在SKIPIF1<0内，所以方程的一个近似解为SKIPIF1<0，故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0不是单调函数，SKIPIF1<0，不能用二分法求零点；SKIPIF1<0是单调函数，SKIPIF1<0，能用二分法求零点；SKIPIF1<0不是单调函数，SKIPIF1<0，不能用二分法求零点；SKIPIF1<0不是单调函数，SKIPIF1<0，不能用二分法求零点.故选：B二、填空题4．（2023·全国·高三专题练习）已知方程SKIPIF1<0的根在区间SKIPIF1<0上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意构造函数SKIPIF1<0，求方程的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，分析函数值的符号是否异号即可．【详解】解：令SKIPIF1<0，其在定义域上单调递增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由f（2.5）f（3）＜0知根所在区间为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．题型四常见函数模型Ⅰ-二次和分段函数【典例1】在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度SKIPIF1<0（单位：毫克/立方米）随着时间SKIPIF1<0（单位：天）变化的函数关系式近似为SKIPIF1<0，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒SKIPIF1<0个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持续有效去污，求SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)7天(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据空气中去污剂的浓度不低于4，直接列出不等式，然后解出不等式即可（2）根据题意，列出空气中去污剂的浓度关于时间的关系式，然后利用基本不等式放缩，并解出不等式即可【详解】（1）释放的去污剂浓度为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天.（2）设从第一次喷洒起，经SKIPIF1<0天，则浓度SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0等号成立.所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产SKIPIF1<0万件该产品，需另投入成本SKIPIF1<0万元.其中SKIPIF1<0，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为（

）A．720万元 B．800万元C．875万元 D．900万元【答案】C【分析】先求得该企业每年利润的解析式，再利用分段函数求最值的方法即可求得该企业每年利润的最大值.【详解】该企业每年利润为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时等号成立），即在SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，可得该企业每年利润的最大值为SKIPIF1<0.故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距