新高考数学一轮复习讲义 第52讲 随机事件的概率与古典概型（含解析）

第52讲随机事件的概率与古典概型（精讲）题型目录一览①随机事件关系与运算②频率与概率③互斥事件与对立事件④古典概型Ⅰ-简单的古典概型问题⑤古典概型Ⅱ-与排列组合结合一、知识点梳理一、知识点梳理一、随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母SKIPIF1<0表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：1.试验可以在相同条件下重复进行；2.试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；3.每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．二、样本空间我们把随机试验SKIPIF1<0的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验SKIPIF1<0的样本空间，一般地，用．SKIPIF1<0．表示样本空间，用SKIPIF1<0表示样本点，如果一个随机试验有SKIPIF1<0个可能结果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，则称样本空间SKIPIF1<0为有限样本空间．三、随机事件和确定事件1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间SKIPIF1<0的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当SKIPIF1<0中某个样本点出现时，称为事件SKIPIF1<0发生．2.SKIPIF1<0作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以SKIPIF1<0总会发生，我们称SKIPIF1<0为必然事件．3.空集SKIPIF1<0不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为SKIPIF1<0为不可能事件．4.确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件．四、事件的关系与运算①包含关系：一般地，对于事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0，如果事件SKIPIF1<0发生，则事件SKIPIF1<0一定发生，这时称事件SKIPIF1<0包含事件SKIPIF1<0（或者称事件SKIPIF1<0包含于事件SKIPIF1<0），记作SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：不可能事件记作SKIPIF1<0，任何事件都包含不可能事件．②相等关系：一般地，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，称事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示：③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件SKIPIF1<0发生或事件SKIPIF1<0发生，则称此事件为事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0的并事件（或和事件），记作SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）．与两个集合的并集类比，可用下图表示：④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件SKIPIF1<0发生且事件SKIPIF1<0发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）．与两个集合的交集类比，可用下图表示：五、互斥事件与对立事件1.互斥事件：在一次试验中，事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0不能同时发生，即SKIPIF1<0，则称事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0互斥，可用下图表示：如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件SKIPIF1<0，．SKIPIF1<0．，…，SKIPIF1<0彼此互斥．2.对立事件：若事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0在任何一次实验中有且只有一个发生，即SKIPIF1<0不发生，SKIPIF1<0则称事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0互为对立事件，事件SKIPIF1<0的对立事件记为SKIPIF1<0．3.互斥事件与对立事件的关系①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．六、概率与频率1.频率：在SKIPIF1<0次重复试验中，事件SKIPIF1<0发生的次数SKIPIF1<0称为事件SKIPIF1<0发生的频数，频数SKIPIF1<0与总次数SKIPIF1<0的比值SKIPIF1<0，叫做事件SKIPIF1<0发生的频率．2.概率：在大量重复尽心同一试验时，事件SKIPIF1<0发生的频率SKIPIF1<0总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件SKIPIF1<0的概率，记作SKIPIF1<0．3.概率与频率的关系：对于给定的随机事件SKIPIF1<0，由于事件SKIPIF1<0发生的频率SKIPIF1<0随着试验次数的增加稳定于概率SKIPIF1<0，因此可以用频率SKIPIF1<0来估计概率SKIPIF1<0．七、随机事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件SKIPIF1<0的概率用SKIPIF1<0表示.八、古典概型1.定义：一般地，若试验SKIPIF1<0具有以下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.2.古典概型的概率公式一般地，设试验SKIPIF1<0是古典概型，样本空间SKIPIF1<0包含SKIPIF1<0个样本点，事件SKIPIF1<0包含其中的SKIPIF1<0个样本点，则定义事件SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0.注：（1）解决古典概型的问题要注意清楚以下三个方面①本试验是否具有等可能性；②本试验的基本事件有多少个；③事件SKIPIF1<0是什么．（2）一般解题步骤：①仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；②判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件SKIPIF1<0；③分别求出基本事件的个数SKIPIF1<0与所求事件SKIPIF1<0中所包含的基本事件个数SKIPIF1<0；④利用公式SKIPIF1<0求出事件SKIPIF1<0的概率．九、概率的基本性质1.对于任意事件SKIPIF1<0都有：SKIPIF1<0．2.必然事件的概率为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；不可能事概率为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．3.概率的加法公式：若事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0互斥，则SKIPIF1<0．推广：一般地，若事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0彼此互斥，则事件发生（即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0中有一个发生）的概率等于这SKIPIF1<0个事件分别发生的概率之和，即：SKIPIF1<0．4.对立事件的概率：若事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0互为对立事件，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．5.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是一次随机实验中的两个事件，则SKIPIF1<0．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一随机事件关系与运算【典例1】连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件SKIPIF1<0{两次出现的点数相同}，事件SKIPIF1<0{两次出现的点数之和为4}，事件SKIPIF1<0{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件SKIPIF1<0{两次出现的点数之和为6}.(1)用样本点表示事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)若事件SKIPIF1<0，则事件E与已知事件是什么运算关系？【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由随机事件，求出样本点，然后求解即可；（2）由事件E，结合已知事件A、B、C、D求解即可.【详解】（1）由题意得，事件SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由（1）知，事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【题型训练】一、单选题1．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（

）A．0.18 B．0.42 C．0.6 D．0.7【答案】C【分析】结合事件的包含关系以及概率的知识求得答案.【详解】由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.2．从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.3，是不可能事件的概率为0.1，则这10个事件中具有随机性的事件的个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】计算出必然事件和不可能事件的个数，用事件总数减去它们之和即得答案.【详解】这10个事件中必然事件的个数为SKIPIF1<0，不可能事件的个数为SKIPIF1<0，所以具有随机性的事件的个数为SKIPIF1<0．故选：B3．同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件SKIPIF1<0，“向上的面至少有一枚是正面”为事件SKIPIF1<0，则有()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间没有关系【答案】C【分析】根据题意，结合列举法求得事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0，进而得到两事件的关系，得到答案.【详解】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为SKIPIF1<0{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，其中事件SKIPIF1<0{（正，正）}，事件SKIPIF1<0{（正，正），（正，反），（反，正）}，所以SKIPIF1<0.故选：C.4．抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件SKIPIF1<0“点数为大于2小于5”，SKIPIF1<0“点数为偶数”，则SKIPIF1<0表示的事件为（

）A．“点数为4” B．“点数为3或4”C．“点数为偶数” D．“点数为大于2小于5”【答案】A【分析】先分别求得事件SKIPIF1<0所包含的基本事件，进而求得SKIPIF1<0表示的事件.【详解】SKIPIF1<0“点数为大于2小于SKIPIF1<0”SKIPIF1<0,SKIPIF1<0“点数为偶数”SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0表示的事件为“点数为4”.故选：A5．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A＋B和AB包含的样本点数分别为（

）A．1；6 B．4；2 C．5；1 D．6；1【答案】C【分析】先求出试验E的样本空间，事件A＋B和AB中所含的样本点，即可求出答案.【详解】试验E的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}．其中事件A中所含的样本点为（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个；事件B中所含的样本点为（1，3），（2，4），共2个．所以事件A＋B中所含的样本点为（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个；事件AB中所含的样本点为（2，4），共1个．故选：C．6．若某群体中的成员会用现金支付的概率为0.60，会用非现金支付的概率为0.55，则用现金支付也用非现金支付的概率为（

）A．0.10 B．0.15 C．0.40 D．0.45【答案】B【分析】设成员会用现金支付为是事件A，会用非现金支付为事件B，则SKIPIF1<0为即用现金支付也用非现金支付，SKIPIF1<0.【详解】设成员会用现金支付为是事件A，会用非现金支付为事件B，则SKIPIF1<0为即用现金支付也用非现金支付，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B.7．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据事件之间的关系与运算分别判断选项即可.【详解】用SKIPIF1<0表示试验的射击情况，其中SKIPIF1<0表示第1次射击的情况，SKIPIF1<0表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中，则样本空间SKIPIF1<0.由题意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.即ABC都正确；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.故D不正确.故选：D.8．A,B两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件SKIPIF1<0“SKIPIF1<0元件正常”，SKIPIF1<0“B元件正常”，用SKIPIF1<0分别表示A,B两个元件的状态，用SKIPIF1<0表示这个串联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效.下列说法正确的个数是（

）①样本空间SKIPIF1<0；

②事件SKIPIF1<0；③事件“电路是断路”可以用SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）表示；④事件“电路是通路”可以用SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）表示，共包含3样本点.A．0 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据事件的定义确定样本点，判断各个命题．【详解】因为SKIPIF1<0分别取值0和1，因此SKIPIF1<0的取值为SKIPIF1<0，①正确；事件SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0任取，因此②正确；事件“电路是断路”中，SKIPIF1<0至少有一个取0，因此事件“电路是断路”SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而“电路是断路”可表示为SKIPIF1<0，③错；事件“电路是通路”中，SKIPIF1<0两个都取1，因此事件“电路是通路”SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而“电路是通路”可表示为SKIPIF1<0，其中只有一个样本点，④错．正确的个数是2，故选：B．二、填空题9．从装有SKIPIF1<0个红球和SKIPIF1<0个白球的口袋内任取SKIPIF1<0个球观察颜色．设事件SKIPIF1<0为“所取两个球至少有一个白球”，事件SKIPIF1<0为“所取两个恰有一个红球”，则SKIPIF1<0表示的事件为．【答案】恰有一个红球【分析】用列举法列出样本空间SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0.【详解】因为从装有SKIPIF1<0个红球和SKIPIF1<0个白球的口袋内任取SKIPIF1<0个球，这一随机试验的样本空间SKIPIF1<0SKIPIF1<0白、白SKIPIF1<0，SKIPIF1<0白、红SKIPIF1<0，SKIPIF1<0红、红SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0白、红SKIPIF1<0，SKIPIF1<0白、白SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0白，红SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0白、红SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0表示的事件为恰有一个红球．故答案为：恰有一个红球10．打靶3次，事件SKIPIF1<0“击中SKIPIF1<0发”，其中SKIPIF1<0．那么SKIPIF1<0表示．【答案】至少击中1发【分析】根据和事件的定义判断.【详解】根据并事件的定义可知，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0至少有一个发生，所以SKIPIF1<0表示至少击中1发.故答案为：至少击中1发.11．已知在一次随机试验E中，定义两个随机事件A，B，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】0.8【分析】利用概率的基本性质及事件的运算求概率即可.【详解】由SKIPIF1<0.故答案为：0.812．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件SKIPIF1<0“SKIPIF1<0元件正常”，SKIPIF1<0“SKIPIF1<0元件正常”，用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别表示SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两个元件的状态，用SKIPIF1<0表示这个串联电路的状态.以SKIPIF1<0表示元件正常，SKIPIF1<0表示元件失效.下列说法正确的是.①样本空间SKIPIF1<0；②事件SKIPIF1<0；③事件“电路是断路”可以用SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）表示；④事件“电路是通路”可以用SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）表示，共包含SKIPIF1<0个样本点.

【答案】①②【分析】列举出所有的基本事件，可判断①；列举出事件SKIPIF1<0包含的基本事件，可判断②；分析事件“电路是断路”，然后用事件加以表示，可判断③；分析事件“电路是通路”，然后用事件加以表示，可判断④.【详解】对于①，样本空间SKIPIF1<0，①对；对于②，事件SKIPIF1<0包含两种情况，SKIPIF1<0元件不正常且SKIPIF1<0元件正常，SKIPIF1<0元件正常且SKIPIF1<0元件正常，故事件SKIPIF1<0，②对；对于③，“电路是断路”，说明SKIPIF1<0元件和SKIPIF1<0元件至少有一个不正常，即事件“电路是断路”可以用SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）表示，③错；对于④，“电路是通路”，说明两个元件都正常，所以，事件“电路是通路”可以用SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）表示，④错.故答案为：①②.13．根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8，数学成绩及格的概率为0.9，语文和数学同时及格的概率为0.75，则至少有一科及格的概率为.【答案】0.95【分析】根据概率的基本性质中和事件的概率公式代入数据即可.【详解】设SKIPIF1<0“小张语文成绩及格”，SKIPIF1<0“小张数学成绩及格”，则SKIPIF1<0“语文和数学同时及格”，SKIPIF1<0“语文数学两科至少有一科及格”，由已知得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入和事件概率公式SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0.故答案为：0.95.题型二频率与概率策略方法1．概率与频率的关系频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．【典例1】（单选题）手机支付已经成为人们常用的付费方式，某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下，顾客年龄（岁）20岁以下SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<070岁及以上手机支付人数312149520其他支付方式人数0021327121从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在SKIPIF1<0内且未使用手机支付的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据题意求相应的频率，用频率估计概率.【详解】由题意可知：该顾客年龄在SKIPIF1<0内且未使用手机支付的频率为SKIPIF1<0，用频率估计概率，估计该顾客年龄在SKIPIF1<0内且未使用手机支付的概率为SKIPIF1<0.故选：C.【题型训练】一、单选题1．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59人，体重不变的21人，体重增加的20人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意结合频率与概率之间的关系运算求解.【详解】由题意可知：体重减轻的频率为SKIPIF1<0，用频率估计概率可知：体重减轻的概率为SKIPIF1<0.故选：A.2．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为SKIPIF1<0，经调查，某市市场上的食用油大约有SKIPIF1<0个品牌，则不合格的食用油品牌大约有（

）A．SKIPIF1<0个 B．SKIPIF1<0个C．SKIPIF1<0个 D．SKIPIF1<0个【答案】C【分析】先求出市场上食用油不合格率，再根据频数SKIPIF1<0样本容量SKIPIF1<0频率可得结果.【详解】因为市场上食用油合格率为SKIPIF1<0，所以市场上食用油不合格率为SKIPIF1<0，又市场上的食用油大约有SKIPIF1<0个品牌，所以不合格的食用油品牌大约有SKIPIF1<0个.故选：C3．天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用频率和概率的关系得到答案.【详解】10组数据中，恰有两天下雨的有417，386，196，206，共4个，故此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为SKIPIF1<0.故选：B4．某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：第一组第二组第三组合计投篮次数100200300600命中的次数68124174366命中的频率0.680.620.580.61根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是（

）A．0.58 B．0.61 C．0.62 D．0.68【答案】B【分析】利用频率和概率的关系求解即可.【详解】由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大，所以合计列对应的频率最为合适.故选：B.5．对敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．为调查学生是否有在校使用手机的情况时，某校设计如下调查方案：调查者在没有旁人的情况下，独自从一个箱子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题SKIPIF1<0：抽到红球，则回答问题SKIPIF1<0，且箱子中只有白球和红球．问题SKIPIF1<0：你的生日的月份是否为偶数?（假设生日的月份为偶数的概率为SKIPIF1<0）问题SKIPIF1<0：你是否有在校使用手机?已知该校在一次实际调查中，箱子中放有白球SKIPIF1<0个，红球SKIPIF1<0个，调查结束后共收到SKIPIF1<0张有效答卷，其中有SKIPIF1<0张回答“是”，如果以频率估计概率，估计该校学生有在校使用手机的概率是（精确到SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】计算出回答问题SKIPIF1<0的学生人数，以及回答问题SKIPIF1<0回答“是”的学生人数，进而可求得该校学生有在校使用手机的概率.【详解】由题意可知，回答问题SKIPIF1<0的学生人数为SKIPIF1<0，其中回答问题SKIPIF1<0回答“是”的人数为SKIPIF1<0，回答问题SKIPIF1<0的学生人数为SKIPIF1<0，其中回答问题SKIPIF1<0回答“是”的人数为SKIPIF1<0，因此，估计该校学生有在校使用手机的概率是SKIPIF1<0.故选：B.6．手机支付已经成为人们几乎最常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，记录结果整理如下表.从这100名顾客中随机抽取1人，则该顾客年龄在SKIPIF1<0内且未使用手机支付的概率为（

）.顾客年龄（岁）20岁以下SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<070岁及以上手机支付人数31214132790其他支付方式人数0029551A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由题意，算出100名顾客中，顾客年龄在SKIPIF1<0且未使用手机支付的的人数，结合古典概型的概率公式，进而可以得到未使用手机支付的概率.【详解】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在SKIPIF1<0内且未使用手机支付的共有SKIPIF1<0（人），所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为SKIPIF1<0.故选：D.7．给出下列四个命题：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是SKIPIF1<0；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是SKIPIF1<0.其中正确命题有（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】根据频率与概率的区别，概率的定义和性质进行判断．【详解】对于①，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，并不是一个确定的值，一批产品次品率为0.05，则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，①错误；对于②，100次并不是无穷多次，只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为SKIPIF1<0，故②错误；对于③，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，③错误；对于④，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值，抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是SKIPIF1<0，④正确.故选：D.8．一个袋中装有大小与质地相同的3个白球和若干个红球，某班分成20个小组进行随机摸球试验，每组各做50次，每次有放回地摸1个球并记录颜色．统计共摸到红球619次，则袋中红球的个数最有可能为（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】根据频率与概率之间的关系即可列式子求解.【详解】设红球的个数为SKIPIF1<0，由题意可知：SKIPIF1<0，所以红球的个数最可能是5个，故选：B9．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数（如下表）．下列说法正确的是（

）四面体的面1234频数44364278A．该四面体一定不是均匀的 B．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72C．再抛掷一次，标记4的面落地 D．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2【答案】D【分析】根据频率和概率的关系分析每个选项.【详解】A选项，就算四面体是均匀的，理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样，在均匀的条件下，随着试验次数的增多，每个面落地的次数将会变得越来越接近，换句话说，即使是均匀的四面体，仅仅在200次试验下，得到落地的面的统计结果也可能不一样，A选项错误；BCD选项，由于这200次实验2，3，4落在底面的频率分别为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，B选项中所估计的概率SKIPIF1<0和频率SKIPIF1<0差别过大，C选项认为标记4的面必定落地，是必然事件，概率为SKIPIF1<0，但频率只有SKIPIF1<0，因此不能认为必然发生，BC选项错误；D选项，标记3的面落地概率估计是SKIPIF1<0，和实验频率SKIPIF1<0非常接近，D选项正确.故选：D二、多选题10．利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数分别为20，100，500时各做5组试验，得到事件“一枚正面朝上，一枚反面朝上”发生的频数和频率情况如下表：序号SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0频数频率频数频率频数频率1120.6560.562610.522290.45500.52410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506根据以上信息，下面说法正确的有（

）A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好C．随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近D．我们要想得到某事件发生的概率，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率【答案】ABC【分析】根据题中统计数表中的数据变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可.【详解】对于A选项：根据表中数据得到试验次数相同时，频率可能不同，则说明随机事件发生的频率具有随机性，所以A选项正确；对于B选项：分别对比每个序号重复试验次数分别为20，100，500的频率可得试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，则试验次数越多越好，所以B选项正确；对于C选项：根据表中数据得到随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近，所以C选项正确；对于D选项：我们要想得到某事件发生的概率，需要进行多次重复试验才能得到概率的估计值，所以D选项错误；故选：ABC.11．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下面的统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××根据表中数据，下列结论中正确的有（

）A．顾客购买乙商品的概率最大B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2C．顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.2【答案】BCD【分析】根据统计表逐项分析可得答案.【详解】对于A，由于购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，故A错误；对于B，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为SKIPIF1<0，故B正确；对于C，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为SKIPIF1<0，故C正确；对于D，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，所以顾客仅购买1种商品的概率可以估计为SKIPIF1<0，故D正确．故选：BCD．12．小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了SKIPIF1<0次，每次朝上的点数都是SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．朝上的点数是SKIPIF1<0的概率和频率均为SKIPIF1<0B．若抛掷SKIPIF1<0次，则朝上的点数是SKIPIF1<0的频率约为SKIPIF1<0C．抛掷第SKIPIF1<0次，朝上的点数一定不是SKIPIF1<0D．抛掷SKIPIF1<0次，朝上的点数为SKIPIF1<0的次数大约为SKIPIF1<0次【答案】BD【分析】根据频率和概率的定义，一次判断选项即可．【详解】对选项A，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是SKIPIF1<0的概率为SKIPIF1<0，故A错误；对选项B，因为频率随着实验的次数的不同而不同，随着试验次数的增大，频率逐渐趋向于概率的值，而抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是SKIPIF1<0的概率为SKIPIF1<0，故B正确；对选项C，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是SKIPIF1<0的概率为SKIPIF1<0，所以抛掷第SKIPIF1<0次，朝上点数可能是SKIPIF1<0，也可能不是SKIPIF1<0，故C错误；对选项D，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是SKIPIF1<0的概率为SKIPIF1<0，抛掷SKIPIF1<0次，频率接近SKIPIF1<0，频数大约为SKIPIF1<0次，故D正确.故选：BD三、填空题13．某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表所示．第一组第二组第三组合计投篮次数100200300600命中的次数68125176369命中的频率0.680.6250.5870.615根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么使误差较小的可能性大的估计值是．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据试验中频率与概率的关系，即可求解.【详解】由题意知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差就越小.所以使误差较小的可能性大的估计值是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.14．在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟产生了如下20组随机数：334221433551454452315142331423212541121451231414312552324115据此估计甲获得冠军的概率为.【答案】SKIPIF1<0【分析】由13组数据表示甲获得冠军，从而估计出概率.【详解】20组数据中，SKIPIF1<0共13组数据表示甲获得冠军，故估计甲获得冠军的概率为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<015．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有人．【答案】SKIPIF1<0【分析】求出在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人，即可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的人数.【详解】由题意，在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人，故可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的约有SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.16．某事件SKIPIF1<0的概率是SKIPIF1<0，下列说法正确的是．（1）SKIPIF1<0发生的可能性是SKIPIF1<0；（2）在10000个试验中，事件SKIPIF1<0发生9700次；（3）随着试验次数的不断增大，SKIPIF1<0发生的频率逐渐稳定到SKIPIF1<0，且在它附近摆动．【答案】（1）（3）【分析】根据频率和概率的定义，依次判断即可．【详解】事件SKIPIF1<0的概率是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0发生的可能性是SKIPIF1<0，（1）正确；通过概率定义可以分析出，出现的事件是在一个固定值波动，并不是一个确定的值，则在10000个试验中，应该事件SKIPIF1<0发生9700次左右，不一定发生9700次，（2）错误；因为频率随着实验的次数的不同而不同，随着试验次数的增大，频率逐渐趋向于概率的值，随着试验次数的不断增大，SKIPIF1<0发生的频率逐渐稳定到SKIPIF1<0，且在它附近摆动．（3）正确；故答案为：（1）（3）.17．某制造商今年SKIPIF1<0月份生产了一批乒乓球，随机抽取SKIPIF1<0个进行检查，测得每个乒乓球的直径（单位：mm），将数据分组如下：分组频数频率SKIPIF1<0100.10SKIPIF1<0200.20SKIPIF1<0500.50SKIPIF1<0200.20合计1001.00若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为SKIPIF1<0，则这批乒乓球的直径误差不超过SKIPIF1<0的概率是．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据表格提供数据以及概率、频率的知识求得正确答案.【详解】标准尺寸是SKIPIF1<0，并且误差不超过SKIPIF1<0，即直径需落在[39.97，40.03]范围内．由频率分布表知，频率为SKIPIF1<0，所以直径误差不超过SKIPIF1<0的概率约为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<018．为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗?（2）在过路口时你是否闯过红灯?要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答.结果被调查的1200人（学号从1至1200）中有366人回答了“是”.由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是.【答案】132【分析】在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，由此可知第一个问题被问到600次，在被问到的600人中300人学号是奇数，比300人多出来的人数就是闯过红灯的人数，可以求出该组样本的频率，最后利用样本频率估计总体的方法即可求解.【详解】被调查的1200人中，在准备回答的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，所以第一个问题可能被问600次，因为被问的600人中有300人学号是奇数，而有366人回答了“是”，所以估计有66人闯过红灯，在600人中有66人闯过红灯，频率为SKIPIF1<0，用样本频率估计总体，从而估计这1200人中闯过红灯的人数为SKIPIF1<0人.故答案为：132.题型三互斥事件与对立事件策略方法1.判断互斥、对立事件的两种方法(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．2.复杂事件的概率的两种求法(1)直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算．(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)求解(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便．【典例1】（单选题）2022年12月20日，联合国世界旅游组织公布2022年“最佳旅游乡村”名单，中国广西大寨村和重庆荆竹村成功入选．辽宁绿江村也以景色别致的油菜花海吸引了众多游客．小明准备利用假期从中选一个乡村游玩，记事件SKIPIF1<0：小明选大寨村，事件SKIPIF1<0：小明选荆竹村，事件SKIPIF1<0：小明选绿江村．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝（

）A．0.12 B．0.18 C．0.7 D．0.9【答案】C【分析】利用互斥事件与对立事件的概率公式即可得解.【详解】由题意，得事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为互斥事件，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：C．【题型训练】一、单选题1．在试验“抛掷两枚质地均匀的硬币”中，事件A=“至少有一枚硬币正面朝上”，事件SKIPIF1<0“两枚硬币正面均朝上”，事件SKIPIF1<0“两枚硬币正面均朝下”，则（

）A．A与B互斥 B．A与C对立C．B与C不互斥 D．B与C对立【答案】B【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可判断.【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，其中朝上的情况共有正反；正正；反正；反反，共4种情况，其中满足事件SKIPIF1<0的共有正反，反正和正正；满足事件SKIPIF1<0的是正正一种情况，满足事件SKIPIF1<0的是反反一种情况，对A，则显然事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0可能同时发生，即正正这种情况，故A错误；对B，事件SKIPIF1<0为事件SKIPIF1<0为互斥事件，且两者构成了所有的发生情况，即SKIPIF1<0必有一个发生，则A与C对立，故B正确；对C，事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0显然不可能同时发生，则它们为互斥事件，故C错误；对D，事件B与C互斥，但是不对立，比如可能发生正反或反正的情况，故D错误.故选：B.2．某超市举行有奖促销活动，活动中设置一等奖、二等奖、幸运奖三个奖项，其中中幸运奖的概率为0.3，中二等奖的概率为0.2，不中奖的概率为0.38，则中一等奖的概率为（

）A．0.16 B．0.22 C．0.12 D．0.1【答案】C【分析】根据事件间的关系，利用概率公式，可得答案.【详解】由于奖项一等奖、二等奖，幸运奖和不中奖四个事件是相互互斥的，且构成事件为必然事件，故中一等奖的概率为SKIPIF1<0．故选：C.3．在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（

）①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”；②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”；③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】根据互斥事件的定义即可得到结果.【详解】在10件产品中有3件次品，从中选3件，∵所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，∴①中的两个事件不是互斥事件．∵所取3件中有一件为次品与所取3件中有二件为次品是互斥事件，∴②中的两个事件是互斥事件．∵所取3件中全是正品与所取3件中至少有一件为次品是不能同时发生的，∴③中的两个事件是互斥事件，∵所取3件中至多有2件次品与所取3件中至少有一件是正品都包含2件次品一件正品，以及1件次品两件正品，以及三件正品，所以④不是互斥事件，故选：B．4．下列叙述正确的是（

）A．随着试验次数的增加，频率一定越来越接近一个确定数值B．若随机事件A发生的概率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若事件A与事件B互斥，则SKIPIF1<0D．若事件A与事件B对立，则SKIPIF1<0【答案】D【分析】选项A，事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，并非越来越接近；选项B，SKIPIF1<0；选项C.事件A与事件B互斥，SKIPIF1<0；选项D，对立事件的概率和为1.【详解】选项A，随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，并不一定越来越接近这个确定数值，故A不正确；选项B，样本空间Ω的子集称为随机事件，必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，即SKIPIF1<0，故B不正确；选项C.若事件A与事件B互斥，则它们不可能同时发生，即SKIPIF1<0发生则SKIPIF1<0一定不发生，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，不一定与SKIPIF1<0相等，故C不正确；选项D.若事件A与事件B对立，则SKIPIF1<0为必然事件，且事件A与事件B互斥，则SKIPIF1<0，故D正确.故选：D.5．在一个不透明的盒子中，放有除颜色外完全相同的2个白球和3个红球，摇匀后，从中任意取出两个球，下列说法与“取出的两个球都是白球”是互斥但不是对立的事件是（

）A．取出两球同色 B．取出的两球异色C．取出的两球至少有一个红球 D．取出的两球至少一个白球【答案】B【分析】根据互斥事件、对立事件的定义逐项判断即可得解.【详解】记事件SKIPIF1<0“取出的两个球都是白球”，事件SKIPIF1<0“取出的两个球是1个白球和1个红球”，事件SKIPIF1<0“取出的两个球都是红球”，可知事件SKIPIF1<0两两互斥，且样本空间SKIPIF1<0，对于选项A：因为SKIPIF1<0“取出两球同色”，即事件“取出两球同色”与“取出的两个球都是白球”不互斥，故A错误；对于选项B：因为SKIPIF1<0“取出的两球异色”，即事件SKIPIF1<0互斥且不对立，故B正确；对于选项C：因为SKIPIF1<0“取出的两球至少有一个红球”，可知事件A与事件SKIPIF1<0为对立事件，故C错误；对于选项D：因为SKIPIF1<0“取出的两球至少一个白球”，即事件“取出的两球至少一个白球”与“取出的两个球都是白球”不互斥，故D错误；故选：B.6．已知随机事件A和B互斥，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．0.8 B．0.7 C．0.5 D．0.2【答案】C【分析】利用互斥事件加法公式和对立事件概率公式计算即可.【详解】因为随机事件A和B互斥，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.7．已知随机事件SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互斥，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0对立，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5【答案】B【分析】利用互斥事件性质以及已知数据代入公式计算即可求得SKIPIF1<0，再由对立事件性质可得SKIPIF1<0.【详解】由随机事件SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互斥可知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入计算可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0和SKIPIF1<0对立，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B8．从一批产品中随机抽取SKIPIF1<0件产品进行质量检测，记“SKIPIF1<0件产品都是次品”为事件SKIPIF1<0，“SKIPIF1<0件产品都不是次品”为事件SKIPIF1<0，“SKIPIF1<0件产品不都是次品”为事件SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．任意两个事件均互斥B．任意两个事件均不互斥C．事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0对立D．事件SKIPIF1<0与事件SKIPIF1<0对立【答案】C【分析】根据互斥事件、对立事件的概念判断即可.【详解】从一批产品中随机抽取SKIPIF1<0件产品进行质量检测，则可能情况有：SKIPIF1