新高考数学一轮复习知识清单+巩固练习专题11 等差数列与等比数列（解析版）

专题11等差数列与等比数列一、知识速览二、考点速览知识点1数列的有关概念1、数列的定义及表示（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．（2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．2、数列的分类分类标准类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列SKIPIF1<0其中n∈N*递减数列SKIPIF1<0常数列SKIPIF1<0按其他标准分类有界数列存在正数M，使SKIPIF1<0摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期数列对n∈N*，存在正整数常数k，使SKIPIF1<03、数列的通项公式：如果数列SKIPIF1<0的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4、数列的递推公式：如果已知数列SKIPIF1<0的首项(或前几项)，且任一项SKIPIF1<0与它的前一项SKIPIF1<0(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．知识点2等差数列的概念及公式1、等差数列的定义（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；（2）符号语言：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数)．2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．3、通项公式与前n项和公式（1）通项公式：SKIPIF1<0．（2）前SKIPIF1<0项和公式：SKIPIF1<0．（3）等差数列与函数的关系=1\*GB3①通项公式：当公差SKIPIF1<0时，等差数列的通项公式SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的一次函数，且一次项系数为公差SKIPIF1<0.若公差SKIPIF1<0，则为递增数列，若公差SKIPIF1<0，则为递减数列．=2\*GB3②前n项和：当公差SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的二次函数且常数项为0.知识点3等差数列的性质已知数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0项和．1、等差数列通项公式的性质：（1）通项公式的推广：SKIPIF1<0．（2）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（3）若SKIPIF1<0的公差为d，则SKIPIF1<0也是等差数列，公差为SKIPIF1<0．（4）若SKIPIF1<0是等差数列，则SKIPIF1<0也是等差数列．2、等差数列前SKIPIF1<0项和的性质（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）两个等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的关系为SKIPIF1<0.（4）数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…构成等差数列．3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质（1）若项数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）若项数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.知识点4等比数列的概念及公式1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母SKIPIF1<0表示。数学语言表达式：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为非零常数)．2、等比中项性质：如果三个数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，那么SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等比中项，其中SKIPIF1<0.注意：同号的两个数才有等比中项。3、通项公式及前n项和公式（1）通项公式：若等比数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公比是SKIPIF1<0，则其通项公式为SKIPIF1<0；通项公式的推广：SKIPIF1<0.（2）等比数列的前SKIPIF1<0项和公式：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.知识点5等比数列的性质已知SKIPIF1<0是等比数列，SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．1、等比数列的基本性质（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…仍是等比数列，公比为SKIPIF1<0.（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（项数相同）是等比数列，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0仍是等比数列．（3）若SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0口诀：下标和相等，项的积也相等推广：SKIPIF1<0（4）若SKIPIF1<0是等比数列，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列。（5）若SKIPIF1<0是等比数列，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0构成公比为SKIPIF1<0的等比数列。2、等比数列前SKIPIF1<0项和的性质（1）在公比SKIPIF1<0或SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……仍成等比数列，其公比为SKIPIF1<0；（2）对SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0；（3）若等比数列SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0项，则SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是数列SKIPIF1<0的偶数项和与奇数项和；（4）等比数列的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，且SKIPIF1<0）一、由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略1、常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.2、具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处理.【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…则该数列的第211项为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意，该数列可表示为SKIPIF1<0，该数列的通项公式为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若数列SKIPIF1<0的前四项依次是2，0，2，0，则SKIPIF1<0的通项公式不可能是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意知，SKIPIF1<0.对于A，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0符合条件，故A正确；对于B，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0符合条件，故B正确；对于C，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0符合条件，故C正确；对于D，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，不符合条件，故D错误.故选：D.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…；（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0.【解析】（1）数列SKIPIF1<0为：9，99，999，9999，…，分析可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，故SKIPIF1<0.（2）数列SKIPIF1<0为：SKIPIF1<0，分析可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，故SKIPIF1<0.（3）数列SKIPIF1<0为：SKIPIF1<0，分析可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，故SKIPIF1<0.（4）数列SKIPIF1<0为：SKIPIF1<0，分析可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，故SKIPIF1<0.二、数列周期性解题策略1、周期数列的常见形式（1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；（2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；（3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前SKIPIF1<0项的和．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A正确，SKIPIF1<0，故C正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是周期数列，周期为3．SKIPIF1<0，故B错误；SKIPIF1<0，故D正确．故选：ACD．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】4047【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，两式相减并整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此数列SKIPIF1<0是以3为周期的周期数列，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：4047【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则数列的前2009项之和为.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是以4为周期的数列，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.三、求数列最大项或最小项的方法（1）将数列视为函数SKIPIF1<0当x∈N*时所对应的一列函数值，根据SKIPIF1<0的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出SKIPIF1<0的最值，进而求出数列的最大(小)项．（2）通过通项公式SKIPIF1<0研究数列的单调性，利用SKIPIF1<0确定最大项，利用SKIPIF1<0确定最小项．（3）比较法：①若有SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0是递增数列，所以数列SKIPIF1<0的最小项为SKIPIF1<0；②若有SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0是递减数列，所以数列SKIPIF1<0的最大项为SKIPIF1<0．【典例1】（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知数列SKIPIF1<0的前n项的积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0（）．A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项【答案】A【解析】当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为最小项，SKIPIF1<0为最大项．故选：A【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项积SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值与最小值的和为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2D．3【答案】C【解析】∵数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项积SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时也适合上式，∴SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0单调递减，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0单调递减，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最大值与最小值之和为2.故选：C.【典例3】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）（多选）已知数列SKIPIF1<0的通项为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．数列SKIPIF1<0的最小项为SKIPIF1<0B．数列SKIPIF1<0的最大项为SKIPIF1<0C．数列SKIPIF1<0的最小值为－0.8D．数列SKIPIF1<0的最大值为2.4【答案】BCD【解析】SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的最大项为SKIPIF1<0，无最小项，故A错误，B正确；SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，各项为正且SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故CD正确，故选：BCD四、等差数列的基本运算的解题策略1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．【典例1】（2023秋·江西吉安·高三校考开学考试）已知SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0为其前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．36B．45C．54D．63【答案】B【解析】设公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.【典例2】（2023秋·湖南益阳·高三统考阶段练习）（多选）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0最大【答案】AB【解析】设等差数列的公差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确；SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确；SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0错误；故选：SKIPIF1<0【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则实数m的值是．【答案】SKIPIF1<0【解析】依题意SKIPIF1<0，设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0五、等差数列的判定与证明的方法：1、定义法：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差数列；2、定义变形法：验证是否满足SKIPIF1<0；3、等差中项法：SKIPIF1<0为等差数列；4、通项公式法：通项公式形如SKIPIF1<0为常数SKIPIF1<0SKIPIF1<0为等差数列；5、前n项和公式法：SKIPIF1<0为常数SKIPIF1<0SKIPIF1<0为等差数列．注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0即可；（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．【典例1】（2023·福建·校联考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的首项不为零，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】2023【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0两式相加得SKIPIF1<0.故数列SKIPIF1<0的奇数项成等差数列，公差为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是1与SKIPIF1<0的等差中项，求证：数列SKIPIF1<0是等差数列.【答案】证明见解析【解析】证明：因为SKIPIF1<0是1与SKIPIF1<0的等差中项，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，是常数，故数列SKIPIF1<0是等差数列.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．已知SKIPIF1<0．证明：SKIPIF1<0是等差数列；【答案】证明见解析【解析】证明：因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为公差的等差数列．【典例4】（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）已知公比大于1的等比数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0是等差数列．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析【解析】（1）方法1：设公比为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是等比数列，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0；方法2：设公比为SKIPIF1<0，由等比数列性质得出SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式作差可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．方程同除以SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．所以数列SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列．六、等差数列性质的应用1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝eq\f(am－an,m－n)为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.【典例1】（2023·河南·统考模拟预测）设SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前n项和，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．15B．30C．45D．60【答案】C【解析】由题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.【典例2】（2022秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）设等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：B七、等差数列的前n项和常用的性质应用1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列．3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).【典例1】（2023秋·天津河东·高三校考阶段练习）在等差数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．90B．40C．50D．60【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0为等差数列，所以SKIPIF1<0成等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，数列SKIPIF1<0为等差数列，且其公差为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例3】（2022秋·陕西榆林·高三校考阶段练习）若等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n项和分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由等差数列前SKIPIF1<0项和的性质得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.【典例4】（2022·浙江·高三专题练习）在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（）A．9B．10C．11D．12【答案】B【解析】分别设该数列奇数项和与偶数项和分别为SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴n＝10，故选:B.八、等差数列前n项和最值求法1、二次函数法：将Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．2、邻项变号法：当a1>0，d<0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))时，Sn取得最小值．特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．【典例1】（2023秋·天津武清·高三天津市武清区城关中学校考阶段练习）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0取得最大值时，SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0是等差数列，所以由SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此该数列是递减数列，显然当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，故答案为：SKIPIF1<0【典例2】（2023·四川南充·模拟预测）等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．60B．50C．SKIPIF1<0D．30【答案】D【解析】由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0为等差数列，且SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故选：D【典例3】（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）（多选）设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0最大C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则A正确.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最小，故B错误.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，对称轴为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则C错误.因为SKIPIF1<0，所以D正确.故选：AD【典例4】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0及数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）求SKIPIF1<0的最小值及对应的n的值．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，n＝8或n＝9【解析】（1）由等差数列的前n项和公式可知SKIPIF1<0，所以k＝0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．当n＝1时也符合上式，故SKIPIF1<0．（2）由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是关于n的二次函数，又SKIPIF1<0，所以当n＝8或n＝9时，SKIPIF1<0取得最小值，故SKIPIF1<0．九、已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．【典例1】（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0前三项的和为SKIPIF1<0，前三项的积为8.（1）求等差数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，求数列SKIPIF1<0的前10项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）105【解析】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，不成等比数列；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0成等比数列，满足条件.故SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故数列SKIPIF1<0的前10项和为SKIPIF1<0.【典例2】（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）设等差数列的公差为SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（2）因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0；综上所述：SKIPIF1<0.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项；（2）求数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，综上所述：SKIPIF1<0.十、求解等比数列的基本量常用的思想方法1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：SKIPIF1<0，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键．2、分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；在判断等比数列单调性时，也必须对SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分类讨论．【典例1】（2023秋·湖南岳阳·高三校考开学考试）设等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．3【答案】A【解析】设等比数列的公比为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A【典例2】（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）设SKIPIF1<0为等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【解析】设公比为SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：C.【典例3】（2023秋·山东济南·高三统考开学考试）记SKIPIF1<0为等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．85D．120【答案】C【解析】根据题意，设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，变形可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.十一、等比数列的性质及应用1、等比数列性质应用问题的解题突破口等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．2、应用等比数列性质解题时的2个注意点（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．3B．6C．9D．18【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故选：B【典例2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）记等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：C.【典例3】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三校考期中）在正项等比数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】在正项等比数列SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例4】（2023秋·云南·高三校考阶段练习）已知等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．90B．135C．150D．180【答案】C【解析】由题意，在等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由等比数列前n项和的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，∴有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：C.【典例5】（2022秋·广东佛山·高三校考阶段练习）已知等比数列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】120【解析】因为在等比数列中，若项数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：120十二、等比数列的判定与证明常用的方法：1、定义法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0为常数且SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是等比数列．2、等比中项法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是等比数列．3、通项公式法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0数列SK