中考数学满分之路【05】瓜豆原理

中考数学满分之路（5）：瓜豆原理【引例】在平面直角坐标系中，，，过点作直线//轴，点是直线上的一个动点，以为边在右侧作，使，且，连接，，则的周长的最小值为______．当我们对本题进行初步分析后，能较容易将“求周长的最小值”转化为求“的最小值”*，其中，为定点，为动点”，进而联想到“将军饮马”模型，从而问题的关键转化为“求点如何运动”．*注：有同学已经知道，此处可将打包转换出去，容易求解，后面会进一步说明．所谓“瓜豆原理”，是我们在考虑一个动点如何运动时的一种思考方向．观察下列图形中动点如何运动？并尝试推广（比如：点在线段上且，点如何运动？点在的延长线上，，点如何运动？）．①点为定点，点在定直线上运动，点为线段的中点，点如何运动？②点为定点，点在定圆⊙上运动，点为线段的中点，点如何运动？以下讨论的均为在绕点顺时针旋转的方向．③点为定点，点在定直线（定圆⊙）上运动，，且，则点如何运动？④点为定点，，且，若点的运动路径为英文单词，则点的运动路径什么？⑤点为定点，且，点在定直线（定圆⊙）上运动，，则点如何运动？【瓜豆原理】若点为定点，为定角，为定值，则点与点的运动路径相同．需注意的是始终在绕点顺时针旋转的方向上（或始终在绕点顺时针旋转的方向上），即线段是由旋转放缩得来的．【引例】在平面直角坐标系中，，，过点作直线//轴，点是直线上的一个动点，以为边在右侧作，使，且，连接，，则的周长的最小值为______．当我们对本题进行初步分析后，能较容易将“求周长的最小值”转化为求“的最小值”*，其中，为定点，为动点”，进而联想到“将军饮马”模型，从而问题的关键转化为“求点如何运动”．*注：有同学已经知道，此处可将打包转换出去，容易求解，后面会进一步说明．当点在定直线上运动时，点如何运动呢？点为定点，，，点在定直线上运动，则点在某条直线上运动．至于在哪条直线上运动，需要抓住题目中不变的信息，即点到直线的距离不变．具体的处理方式如下：如图，过作于点，作，在绕点顺时针旋转60°的方向上，射线交直线于点，有∽，进而∽，所以，所以点在过点且与垂直的直线上运动．【方法小结】作出垂线段，构造旋转相似．到此，会发现其实原题早已经给我们做好了一组旋转相似，连接，根据∽，将整体转化为，容易求解．【反思】思路要灵活，不要固守于某个方法．平时也要多积累各种作法．那么，点在定圆上运动时，我们又该如何确定点在哪个定圆上运动呢？解决问题的关键仍然在于：抓住题目中不变的信息，具体如下：①如图，点为定点，点在定圆⊙上运动，点为线段的中点，点如何运动？②如图，点为定点，点在定圆⊙上运动，且，点如何运动？这两个问题中，始终不变的是两个定点间的距离即的长度以及⊙的半径即的长度．对于①，连接，，取的中点，连接，有，∴点在以为圆心，为半径的圆上运动．对于②，如图，连接，，过作的垂线，在垂线上取，有∽，相似比为，∴，∴点在以为圆心，为半径的圆上运动．注意，若在绕点顺时针旋转90°方向上，则在绕点顺时针旋转90°方向上．【方法小结】连接定点，定半径，构造中位线或旋转相似．核心为“抓住不变的信息”．【同步练习】1、在中，边上的高为1，点为的中点，则的最小值为______．2、如图，在中，，对角线，，点是线段上的一动点，连接，过点作，在射线上取点，使得，连接，则周长的最小值为______．3、如图，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点．当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是______．4、如图，在中，，，，点是以为圆心，4为半径的圆上的一动点，连接，为的中点，则线段长度的最大值为______．5、如图，在中，为坐标原点，，，若点在反比例函数（）的图象上运动，则点在某个函数的图象上运动，这个函数的解析式为______．（请写出自变量的取值范围）6、如图，点在线段上，点，在同侧，，，，，点为线段上的动点，连接，作，交直线与点，当点从点运动到的中点时，线段的中点所经过的路径（线段）长为______．7、正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为______．8、