东北三省四市教研联合体2025届高三数学模拟考试试题二文含解析

PAGE21-东北三省四市教研联合体2025届高三数学模拟考试试题（二）文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据集合的交运算，即可简洁求得结果.【详解】故可得故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.2.已知复数z满意（1+i）2z＝1﹣i，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案.【详解】由（1+i）2z＝1﹣i，得z，∴z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.3.已知向量满意（2，1），（1，y），且，则＝（）A. B. C.5 D.4【答案】C【解析】【分析】依据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得，依据向量模的坐标表示求得正确答案.【详解】依据题意，（2，1），（1，y），且，则有2+y＝0，解可得y＝﹣2，即（1，﹣2），则（4，﹣3），故5；故选：C【点睛】本小题主要考查向量垂直和模的坐标表示，属于基础题.4.为了从甲乙两人中选一人参与校篮球队，教练将二人最近6次篮球竞赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是、，则下列说法正确的是（）A.，乙比甲稳定，应选乙参与竞赛 B.，甲比乙稳定，应选甲参与竞赛C.，甲比乙稳定，应选甲参与竞赛 D.，乙比甲稳定，应选乙参与竞赛【答案】B【解析】【分析】先计算出甲乙两个学生平均得分，再分析得解.【详解】由题得，，所以.从茎叶图可以看出甲的成果较稳定，所以要派甲参与.故选B【点睛】本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.5.等比数列{an}中，a5、a7是函数f（x）＝x2﹣4x+3的两个零点，则a3•a9等于（）A.﹣3 B.3 C.﹣4 D.4【答案】B【解析】【分析】依据根与系数关系关系列方程，结合等比数列的性质求得的值.【详解】∵a5、a7是函数f（x）＝x2﹣4x+3的两个零点，∴a5、a7是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，∴a5•a7＝3，由等比数列的性质可得：a3•a9＝a5•a7＝3．故选：B【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查根与系数关系，属于基础题.6.高校生主动响应“高校生志愿服务西部安排”.某高校学生小刘、小李、小孟、分别去西部某地一中、二中、三中3所学校中的一所学校支教，每校安排一名高校生，他们三人支教的学科分别是数学，语文，英语，且每学科一名高校生.现知道：（1）教语文的没有安排到一中，（2）教语文的不是小孟，（3）教英语的没有安排到三中，（4）小刘安排到一中.（5）小盂没有安排到二中，据此推断.数学学科支教的是谁？分到哪所学校？（）A.小刘三中 B.小李一中 C.小盂三中 D.小刘二中【答案】C【解析】【分析】由于小刘安排到一中，小盂没有安排到二中，教英语的没有安排到三中，则可知小盂安排到三中，问题得以解决.【详解】由于小刘安排到一中，小盂没有安排到二中，教英语的没有安排到三中，则可知小盂安排到三中，且教数学，故选：C.【点睛】本题考查了合情推理的实际应用问题，其中解答中数练应用合理推理，结合题意求解是解答额关键，着重考查了分析问题和解答问题的实力．7.设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据充分条件的推断，即从选项中找出能推出成立的即可，由空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一推断，即可得出答案.【详解】A.由，还可能得到，如图（1），所以不正确.B.由，还可能得到，如图（2），所以不正确.C.由，可得，又所以有，所以正确.D.由，如图（3），所以不正确.故选：C【点睛】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，考查充分条件的推断和空间想象实力，属于基础题.8.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且f（﹣4）＝0，则使得xf（x）＞0成立的x的取值范围是（）A.（﹣4，4） B.（﹣4，0）∪（0，4）C.（0，4）∪（4，+∞） D.（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【答案】D【解析】【分析】依据函数的单调性和奇偶性，求得不等式的解集.【详解】∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴函数f（x）是在（﹣∞，0）上是增函数，又f（﹣4）＝0，∴f（4）＝0，由xf（x）＞0，得或，∴x＞4或x＜﹣4．∴x的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）．故选：D【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.9.已知直线y＝﹣2与函数，（其中w＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f（x）的单调递增区间为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据周期求得，再依据单调区间的求法，求得的单调区间.【详解】∵y＝﹣2与函数，（其中w＞0）的相邻两交点间的距离为π，∴函数的周期T＝π，即π，得ω＝2，则f（x）＝2sin（2x），由2kπ2x2kπ，k∈Z，得kπx≤kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z，故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，考查三角函数的周期性，属于基础题.10.若函数有且只有一个零点，则a的取值范围是（）A（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B.（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C.[﹣1，0） D.[0，+∞）【答案】B【解析】【分析】依据在没有零点列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】当x＞0时，因为log21＝0，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当x≤0时，函数f（x）没有零点即可，当x≤0时，0＜2x≤1，∴﹣1≤﹣2x＜0，∴﹣1﹣a≤﹣2x﹣a＜﹣a，所以﹣a≤0或﹣1﹣a＞0，即a≥0或a＜﹣1.故选：B【点睛】本小题主要考查分段函数零点，属于基础题.11.已知与椭圆1焦点相同的双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为12，N为MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于（）A. B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】依据题意，可得|NO||MF1|6﹣a，再由椭圆1与双曲线1焦点相同，离心率为e，可得a即可.【详解】如图所示，可得|NO||MF1|（|MF2|﹣2a）＝6﹣a，因为双曲线1的离心率为e，所以.因为椭圆1与双曲线1焦点相同，所以c4，所以a＝3，所以|NO|6﹣a＝3，故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的定义，以及双曲线、椭圆的方程及其简洁点几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆和双曲线的定义、标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算实力．12.众所周知的“太极图”，其形态如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是②当时，直线y＝ax+2a与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则x+y的最大值为2；④设点P（﹣2，b），点Q在此太极图上，使得∠OPQ＝45°，b的范围是[﹣2，2]．其中全部正确结论的序号是（）A.①④ B.①③ C.②④ D.①②【答案】A【解析】分析】依据几何概型概率计算，推断①的周期性.依据直线和圆的位置关系，推断②的正确性.依据线性规划的学问求得的最大值，由此推断③的正确性.将转化为过的两条切线所成的角大于等于，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围，从而推断出④的正确性.【详解】对于①，将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，依据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，正确；对于②，当时，直线,过点，所以直线与白色部分在第I和第IV象限部分没有公共点.圆的圆心为，半径为，圆心到直线，即直线的距离为，所以直线与白色部分在第III象限的部分没有公共点.综上所述，直线y＝ax+2a与白色部分没有公共点，②错误；对于③，设l：z＝x+y，由线性规划学问可知，当直线l与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，z最大，由解得z（舍去），③错误；对于④，要使得∠OPQ＝45°，即须要过点P的两条切线所成角大于等于，所以，即OP≤2，于是22+b2≤8，解得．故选：A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查几何概型概率计算，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，满意约束条件，则的最大值是______.【答案】8【解析】【分析】在平面直角坐标系内，画出约束条件所表示的可行解域，在可行解域内平移直线，找到一点使得直线在纵轴上的截距最大，把点的坐标代入目标函数中即可.【详解】约束条件所示的可行解域如下图所示：在可行解域内平移直线，当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最大，点的坐标是方程组的解，解得，所以的最大值是.故答案：8【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想和数学运算实力.14.袋子中有四张卡片，分别写有“国”、“富”、“民”、“强”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“国”“富”两个字都取到记为事务A，用随机模拟的方法估计事务A发生的概率，利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“国”、“富”、“民”、“强”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：231232210023122021321220031231103133132001320123130233由此可以估计事务A发生的概率为_____.【答案】【解析】【分析】经随机模拟产生了以下18组随机数，利用列举法求出其中事务A发生的随机数有6个，由此能估计事务A发生的概率.【详解】由题意，袋子中有四张卡片，分别写有“国”、“富”、“民”、“强”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“国”“富”两个字都取到记为事务A，用随机模拟的方法估计事务A发生的概率，利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“国”、“富”、“民”、“强”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数，其中事务A发生的随机数有：210，021，031，103，001，130，共6个，所以估计事务A发生的概率为P.故答案为：.【点睛】本题考查概率的求法，以及古典概型的概率计算公式的应用，其中解答中仔细审题，利用列举法求得基本领件的总数是解答的关键，着重考查了运算求解实力.15.长方、堑堵、阳马、鱉臑这些名词出自中国古代数学名著《九章算术•商功》.其中阳马和鱉臑是我国古代对一些特别锥体的称呼.取一长方，如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1，按平面ABC1D1斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱.称该三梭柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四梭锥D1﹣ABCD称为阳马，余下的三棱锥D1﹣BCC1是由四个直角三角形组成的四面体称为鱉臑.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，AA1＝3，按以上操作得到阳马.则该阳马的最长棱长为_____.【答案】【解析】【分析】由几何体的结构特征，依据已知线段长度利用勾股定理求得阳马的全部棱长，即可求解，得到答案.【详解】如图所示，在阳马D1﹣ABCD中，底面ABCD为长方形，侧棱D1D⊥底面ABCD，且AB＝DC＝5，AD＝BC＝4，D1D＝AA1＝3，则，，.所以该阳马的最长棱长为.故答案为：.【点睛】本题考查棱柱与棱锥的结构特征，以及空间中线段长度的计算，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算实力．16.已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满意4Sn＝an2+2an，n∈N*.设bn＝（﹣1）n•anan+1，Tn为数列{bn}的前n项和，则T2n＝_____.【答案】8n（n+1）【解析】【分析】由数列的递推式：当n＝1时，a1＝S1；n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，结合等差数列的通项公式和求和公式，化简整理可得所求和.【详解】数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满意4Sn＝a2an，n∈N*.可得n＝1时，4a1＝4S1＝a12+2a1，解得a1＝2，n≥2时，4Sn﹣1＝an﹣12+2an﹣1，又4Sn＝an2+2an，相减可得4an＝an2+2an﹣an﹣12﹣2an﹣1，化为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，由an＞0，可得an﹣an﹣1＝2，则an＝2+2（n﹣1）＝2n，bn＝（﹣1）n•anan+1＝（﹣1）n•4n（n+1），可得T2n＝4[﹣1×2+2×3﹣3×4+4×5﹣5×6+6×7﹣…﹣（2n﹣1）（2n）+（2n）（2n+1）]＝4（2×2+2×4+2×6+…+2×2n）＝8n（2+2n）＝8n（n+1）.故答案为：8n（n+1）.【点睛】本题考查数列的递推式的运用，等差数列的通项公式和求和公式的运用，其中解答中熟记和的关系式，以及等差数列的通项公式和求和公式，精确运算是解答额关键，着重考查化简运算实力.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a＝2bcosC+csinB．（Ⅰ）求tanB；（Ⅱ）若C，△ABC的面积为6，求BC．【答案】（Ⅰ）tanB＝2；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）利用正弦定理化简已知条件，求得的值.（II）由的值求得的值，从而求得的值，利用正弦定理以及三角形的面积公式列方程，由此求得也即的值.【详解】（Ⅰ）∵2a＝2bcosC+csinB，利用正弦定理可得：2sinA＝2sinBcosC+sinCsinB，又sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，化为：2cosB＝sinB≠0，∴tanB＝2．（Ⅱ）∵tanB＝2，B∈（0，π），可得sinB，cosB．∴sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC．∴，可得：a．又absin6，可得b．∴a，即，解得＝．【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.18.随着新高考改革的不断深化，中学学生生涯规划越来越受到社会的关注.一些中学已经起先尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了肯定的成果.如表为某中学为了调查学生成果与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据.成果优秀成果不够优秀总计选修生涯规划课151025不选修生涯规划课61925总计212950（1）依据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成果是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由；（2）现用分层抽样的方法在选修生涯规划课的成果优秀和成果不够优秀的学生中随机抽取5名学生作为代表，从5名学生代表中再任选2名学生接着调查，求这2名学生成果至少有1人优秀的概率.参考附表：P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828参考公式，其中n＝a+b+c+d.【答案】（1）有99%的把握认为“学生的成果是否优秀与选修生涯规划课有关”，详见解析（2）【解析】【分析】（1）由列联表中的数据结合公式求得得K2的观测值k，结合临界值表得结论；（2）利用枚举法写出从5名学生中任选2名学生的全部基本领件，再求出所选2人至少有1人成果优秀的事务数，由古典概型概率公式求解．【详解】（1）由已知表格中的数据，可得K2的观测值k6.650＞6.635.所以有99%的把握认为“学生的成果是否优秀与选修生涯规划课有关”；（2）由题意得，在成果优秀的学生中抽取153（人），分别记为A，B，C，在成果不够优秀的学生中抽取5﹣3＝2（人），分别记为a，b.则从5名学生中任选2名学生的全部基本领件为：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共有10种，其中所选2人至少有1人成果优秀的事务为：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，共有9种.∴这2名学生中至少有1人优秀的概率为P.【点睛】本题考查独立性检验，以及古典概型概率的求法，其中解答中利用列举法求得基本领件的总数，利用独立性检验的公式，精确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的实力．19.四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥底面ABCD，E在PB上.（1）证明：AC⊥PD；（2）若PE＝2BE，求三棱锥P﹣ACE的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）过A作AF⊥DC于F，推导出AC⊥DA，AC⊥PA，从而AC⊥平面PAD，由此能求出AC⊥PD．（2）由VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC，能求出三棱锥P﹣ACE的体积．【详解】（1）过A作AF⊥DC于F，因为AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，所以CF＝DF＝AF＝1，所以∠DAC＝90°，所以AC⊥DA，又PA⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PA，又PA，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，所以AC⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AC⊥PD.（2）由PE＝2BE，可得VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC，所以，，所以三棱锥P﹣ACE的体积VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查运算求解实力，是中档题.20.已知点A（0，2），B为抛物线x2＝2y﹣2上随意一点，且B为AC的中点，设动点C的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l交曲线E于M、N两点，使得△MAN为以MN为底边的等腰三角形？若存在，恳求出l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）x2＝4y（2）直线l不存在，详见解析【解析】【分析】（1）设C（x，y），B（m，n），利用中点坐标公式得到，代入抛物线方程，即可求出点C轨迹方程，即曲线E的方程；（2）设直线l的方程为：y＝x+t，与曲线E的方程联立，得到△＞0，利用韦达定理求出MN的中点P的坐标，再利用KAP•Kl＝﹣1求出t的值，经检验不满意△＞0，从而直线l不存在.【详解】（1）设C（x，y），B（m，n），由B是AC的中点，则，因为B在抛物线x2＝2y﹣2上，所以m2＝2n﹣2，所以，化简得：x2＝4y，所以曲线E的方程为：x2＝4y．（2）设直线l的方程为：y＝x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程，消去y得：x2﹣4x﹣4t＝0，所以△＝16+16t＞0，x1+x2＝4，x1x2＝﹣4t，可得MN的中点P（2，2+t），因为KAP•Kl＝﹣1，所以，解得，将代入，不符合，所以直线l不存在.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是困难式子的变形实力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维实力、运算求解实力、分析问题解决问题的实力等．21.已知函数f（x）＝axex，g（x）＝x2+2x+b，若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）都过点P（1，c）．且在点P处有相同的切线l．（Ⅰ）求切线l的方程；（Ⅱ）若关于x的不等式k[ef（x）]≥g（x）对随意x∈[﹣1，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（Ⅰ）4x﹣y﹣2＝0；（Ⅱ）k≤e【解析】【分析】（I）依据切点和斜率列方程，解方程组求得的值，进而求得切线方程.（II）构造函数，利用导数探讨的单调性，对进行分类探讨，结合恒成立，由此求得的取值范围.【详解】（Ⅰ）∵f′（x）＝aex（x+1），g′（x）＝2x+2，由已知可得，即，解得a，b＝﹣1，c＝2，∴切线的斜率g′（1）＝4，∴切线l的方程为y﹣2＝4（x﹣1），即4x﹣y﹣2＝0，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）＝2xex﹣1，g（x）＝x2+2x﹣1，设h（x）＝k[ef（x）]﹣g（x）＝2kxex﹣（x2+2x﹣1），即h（x）≥0，对随意x∈[﹣1，+∞）恒成立，从而h（x）min≥0，∴h′（x）＝2k（x+1）ex﹣2（x+1）＝2（x+1）（kex﹣1），①当k≤0时，h′（x）≤0，h（x）在[﹣1，+∞）上单调递减，又h（1）＝2ke﹣2＜0，明显h（x）≥0不恒成立，②当k＞0时，h′（x）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣lnk，（i）当﹣lnk＜﹣1时，即k＞e时，h′（x）≥0，h（x）单调递增，又h（x）min＝h（﹣1）20，明显h（x）≥0不恒成立，（ii）当﹣lnk＝﹣1时，即k＝e时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min＝h（﹣1）20，即h（x）≥0恒成立，（iii