2023年人教A版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线的方程 章末综合检测含答案解析

第3章圆锥曲线的方程

考试时间：120分钟满分：150分

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.双曲线直一工1=1的焦点坐标是（）

32

A.（0,±1）B.（±1,0）C.（0,土代）D.(±V5,0)

【分析】利用双曲线的标准方程，求解c,即可得到选项.

【解答】解：双曲线31_工1=1,可得。=、而,

32

所以双曲线/_工!_=1的焦点坐标是（土“，0）.

32

2.椭圆式+工1=1的离心率是（）

49

A.返B.遮C.

323

【分析】根据椭圆的标准方程求出a,。的值，根据椭圆中。2=/-必就可求出,,再利用

离心率e=£得到离心率.

a

【解答】解：由椭圆方程为三一+上一=1可知，J=9,Z?2=4,.,.c2=a2-b2=5,/.c=>/5

49

椭圆的离心率

a3

3.抛物线«=-2x的准线方程为（）

A.x--1B.x—1C.V=_AD.

22

【分析】先根据抛物线方程求得p,进而根据抛物线的性质，求得准线方程.

【解答】解：•••抛物线V=-2x,

抛物线的焦点在x轴上，开口向左，且p=l,

准线方程是尤=工

2

4.已知平面a和两条异面直线a,Z?满足aua,b±a,平面a内的动点M到两条直线a,b

的距离相等，则点M的轨迹是（）

A.两条直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【分析】b，a,设垂足为8,则M到直线6的距离即为M到定点3的距离，然后根据抛物

线的定义进行判定即可.

【解答】解：bLa,设垂足为8,则M到直线方的距离即为M到定点B的距离，

即动点M在平面a内到一定直线距离与一定点的距离相等，

符合抛物线性质，则M的轨迹是抛物线，

22

5.设厂是双曲线C：三__2_=］的右焦点，/是双曲线C的一条渐近线，过尸作一条直线垂

169

直于/,垂足为P,则sin/。"的值为()

A.3B.Ac.AD.

5543

22

【分析】双曲线c：2一一工_=1的右焦点，F(5,0),双曲线C的一条渐近线/的方程为

169

4x+3y=0.利用点到直线的距离公式，求出|尸引，由此能求出sinZOFP.

22

【解答】解：••/是双曲线C：幺一匚=i的右焦点，

169

：.F(5,0),

•.•/是双曲线C的一条渐近线，

；./的方程可以为3x+4y=0.

利用点到直线的距离公式，知|尸川=里21=3,

49+16

V|OF|=5,

a

A.AB.3C.AD.3

334

【分析】由双曲线方程求得渐近线方程，结合已知得答案.

22

【解答】解：双曲线弓_?_=l（a>0）的渐近线方程为丫=±2乂，化为2无±0=。，

a24a

又2x+3y=0是双曲线的一条渐近线，，a=3.

2

7.已知双曲线C与椭圆工+>2=1有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1,

5

则双曲线C的方程为（)

A._2=1B./一直=1C.工—JnD.y1-——=]

3Y35x5

【分析】根据椭圆的方程可得双曲线的焦点在y轴上，且c=2,然后设双曲线的方程，并

求出渐近线方程，最后由焦点到该双曲线渐近线的距离等于b及双曲线中a2+b2=c2即可求

解.

2

【解答】解：因为椭圆的方程为工+乂2=1，所以椭圆的焦点坐标为（0,±2）,

5

由题意，双曲线C的焦点在y轴上，且c=2,

22

设双曲线C的方程为工5_2彳=1（a〉0,b〉0），则有/+d=02=4,

其渐近线方程为丫=土包X，即办土力=0,

b

又焦点到该双曲线渐近线的距离等于1,则有」beI

1=b=l，所以〃2=。2-y=3,

47^2

2

所以双曲线C的方程为工--乂2=1-

3

22

8.已知为，乃是椭圆号三=1的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则△AF1F2的内

切圆的半径的最大值是（）

A.1B.Ac.AD.近

233

【分析】找出为P2内切圆半径与A点纵坐标的关系，要使△4为政内切圆半径最大可得

A点的纵坐标最大，由此求得△AF1F2内切圆半径的最大值.

22

【解答】解：由椭圆2—J—=],得屋=4,b2=3,.,.c2=a2-b2=l,则c=l,

43

如图,

,时尸・尸/（尸尸附），

SAAFF2||yaIAHI+H2|+|1•,

.,.2c,\yA\—（2a+2c）*r,则r=A|yx|,

3'

要使△尸四放内切圆半径最大，则需|小|最大，

：|小忘6=«,

.-.△PF1F2内切圆半径的最大值为近.

3

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或

者多项是符合题目要求的.

9.下列有关双曲线2W-y2=8的性质说法正确的是（）

A.离心率为«B.顶点坐标为（0,±2）

C.实轴长为4D.虚轴长为4加

【分析】化简双曲线方程为标准方程，求出a,b,c求解离心率，顶点坐标，实轴长，虚

轴长，即可推出结果.

【解答】解：曲线2f-V=&的标准方程为：xl_yl=

48

所以。=2,6=2我，c=2我，

所以离心率为：e=J5,顶点坐标（±2,0）实轴长为4,虚轴长为46.

10.在平面直角坐标系xOy中，抛物线，=6x的焦点为R准线为/,尸为抛物线上一点，PA

n,A为垂足.若直线AE的斜率k=-J5,则下列结论正确的是（）

A.准线方程为x=-3B.焦点坐标F*,0）

C.点P的坐标为弓，3V3）D.PF的长为3

【分析】根据抛物线的性质，即可判断A、B选项,直线AF的方程为>=小巧（x£），

将A的横坐标*=二代入直线Ab方程中，可得A点的纵坐标，再结合条件B4JJ,即可判

2

断C选项，根据抛物线的性质，即可判断。选项.

【解答】解：由抛物线方程为F=6x,

，焦点坐标卜,，0），准线方程为x=-1，故A选项错误，8选项正确，

:直线AF的斜率为H5，

，直线转的方程为尸《（x-|-）,

当x=V时，了=3娟，3«），

'：PAll,A为垂足，

，点尸的纵坐标为3«，可得点尸的坐标为（3，诉）,故C选项正确，

根据抛物线的定义可知|PF|=|PA|号_（得）=6,故。选项错误，

22

11.已知椭圆C：三狂—=］内一点M（1,2）,直线/与椭圆C交于A,B两点，且M为线

48

段A8的中点，则下列结论正确的是（）

A.椭圆的焦点坐标为（2,0）、（-2,0）

B.椭圆C的长轴长为4加

C.直线/的方程为x+y-3=0

D.四|=生巨

3

【分析】由题意方程求得“c判断A与以利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方

程判断C;联立直线方程与椭圆方程，由弦长公式求弦长判断D

22

【解答】解：由C：江上=［得椭圆焦点在y轴上，且/=8,庐=4,

48

贝1Ja=2加，b=2,c=｛软2_匕2=2.

椭圆的焦点坐标为（0,2）,（0,-2）,长轴长为2a=4加,故A错误，2正确；

设A（xi,yi）,B（冗2,”），

两式作差可得：（x「2）⑸+*2）…72）小产2）,

48

'：M（1,2）为线段AB的中点，.•.尤1+以=2,yi+y2=4,

则"I1=2（X|+X2）=笆2=_>

xl-x2丫1+了24

...直线/的方程为厂2=-1义（x-1）,即龙+厂3=0,故C正确;

22

x.y

联立<48得3/-6X+1=0.

x+y-3=0

2-=

***IA3I=J1+(-1)**AJ(X1+X2)4X1X2y/~2•J4V=4当，故Q正确,

12.定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轨双曲线.以下关

于共钝双曲线的结论正确的是()

2222

A.与2b4>二](软>0,b>0)共辆的双曲线是(4>0,b>0)

abab

B.互为共轨的双曲线渐近线不相同

C.互为共辗的双曲线的离心率为ei,e2,则eie222

D.互为共朝的双曲线的4个焦点在同一圆上

【分析】根据所给定义得到两双曲线的方程，进而可得其渐近线方程，离心率，焦点坐标

等，即可进行判断.

22

【解答】解：对4根据所给定义可得与¥_q=i(a>O,b〉0)共辗的双曲线是

工1_/>=1(a>0,6>0),故A错误;

,22

ba

2222

对8：由双曲线方程%_J=i(a>O,b>0)与七-%=1Q>。，b>。)，可得其渐

abba

近线方程均为y=土2x，故2错误;

a

2222

对C：由双曲线方程程0-J=i(a>O,b>0)与4-3=1(a>。，6>0)，可得

abba

2-22.,2

e『=a+b近一+b

22

ab

2b2

则—2

+.—=1,即+^2=e/4，

2八222

a+ba+b

因为即，62均大于1,

所以d2忿2=e『+e2222eie2,则eie222,当且仅当ei=e2时取“="，故C正确；

对D：与__工^=](a>0,b>0)的焦点坐标为(土｛42+匕2,o),2-y-^y=l(〃>。，

abba

b>0）的焦点坐标为（0,±7a2+b2^，

这四个焦点在以原点为圆心，以好彳为半径的圆上，故。正确.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

22

13.已知。为坐标原点，双曲线2一工=1（a>0,b>0）的左焦点为R左顶点为A,过

2,2

ab

点尸向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P,且4用+|尸尸|=|0尸则该双曲线的离心率为

近

【分析】根据已知条件，结合点到直线距离，可得|FP|=b,由|4尸|+|五尸|=|0月，可推得。=

b,再结合双曲线的离心率公式，即可求解.

【解答】解：设尸（-C,0）渐近线方程为y=士且X，

a

c1=a2+b2,

点尸（-c,0）到渐近线距离|二尸，be」-二b，

Va2+b2

V\AF\+\FP\=\OF\,

••c~〃+Z?=c,艮Pa=b,

c2=c^+b2=2a2,BPc=V2a，

・•・双曲线的离心率为e=-^=V2-

a

22

14.若关于x,y的方程工_二_=1表示的是曲线C,给出下列四个命题：

3-tt-l

①若C为椭圆，则1<Y3；

②若C为双曲线，贝h>3或,<1；

③曲线C不可能是圆；

④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则

其中正确的命题是②④.（把所有正确命题的序号都填在横线上）

【分析】根据方程表示的曲线特征，列式求解f的取值范围.

3-t>0

【解答】解：①若C为椭圆，贝t-l>0，解得：l<f<2或2</<3,故①不正确；

,3-t#t-l

②若C为双曲线，贝I」（37）（/-1）<0,解得：>3或yi,故②正确；

③当f=2时，方程表示/+y2=l,表示圆，故③不正确；

3-t>0

④若C为椭圆，且长轴在X轴上，贝小t-l>0，解得：故④正确.

3-t>t-l

22

15.已知双曲线C：幺工=1Q>0,6>0）的左、右焦点分别为乃，F2,左、右顶点分

2,2

ab

别为Ai,A2,点尸是双曲

线C上不同于4,上的任意一点，若△PF。与△B41A2的面积之比为正：1,则双曲线C

的离心率为_我_.

【分析】利用已知条件，把三角形的面积转化为c与。的比，然后求解离心率.

【解答】解：设双曲线的半焦距为c,△P/LF2与△P41A2的面积之比为近：1,

可得尸汨2|=&|442|,即2c=2&a，

所以e=--^2,

a

16.如图所示，等边三角形048的边长为8%,且其三个顶点均在抛物线C：/=2py（p>0）

上.则抛物线C的方程为『=4丫.

【分析】由已知得A（-4疝12）,B（4/3，12）,0（0,0）,从而（±473）2=

24p,由此能求出抛物线C的方程.

【解答】解：如图，•••等边三角形的边长为8F，

且其三个顶点均在抛物线C：x2=2py（p>0）上.

（-4愿，12）,B（4次,12）,O（0,0）,

，（±4a）2=24。

解得p=2.

；.抛物线C的方程为f=4y.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.求适合下列条件的椭圆标准方程：

2°□

（1）与椭圆2+y2=l有相同的焦点，且经过点（1,士）；

2-2

（2）经过A（2,-返）,B（-'叵,-近）两点.

22

【分析】（I）先求出已知椭圆的焦点坐标（±1,0）,则可设出所求椭圆方程，代入己知

点即可求解，（2）待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解.

【解答】解：（1）由已知椭圆方程可得焦点坐标为（±1,0）,则可设所求的椭圆方程为:

=1

代入点（1,—）,解得加=4或工（舍），

24

22

所以所求椭圆方程为：幺二二1，

43

（2）设所求的椭圆方程为:n>0,m卉n），

mn

代入已知两点可得：o,解得机=8,n=l,

0

mn

28

故所求的椭圆方程为：工+丫2二1.

8

18.求适合下列条件的双曲线的标准方程.

（1）焦点在x轴上，虚轴长为8,离心率为S；

3

（2）与双曲线式_』=1有共同的渐近线，且过点（-3,2A/3）.

916

【分析】（1）由己知结合隐含条件求得。与。的值，则双曲线的标准方程可求；

（2）设与双曲线式一工1=1有共同的渐近线的双曲线方程为/_工：=入，代入己知点的

916916

坐标求得入值，则双曲线方程可求.

【解答】解：（1）由已知可得，26=8,b=4,

•Ia3,解得〃2=9,02=25.

a2+1c6_-c2

又焦点在X轴上，...双曲线的方程为式_式=1；

916

2222

（2）设与双曲线—=1有共同的渐近线的双曲线方程为壬_匚=入（）=0）,

916916

把点（-3,2«）代入，可得（⑶2_（2⑨2即入=工，

9164

所求双曲线方程为晨-2T=1.

94

19.已知抛物线C的顶点是坐标原点0,而焦点是双曲线4?-y2=l的右顶点.

（1）求抛物线C的方程;

（2）若直线/：>=彳-2与抛物线相交于4、8两点.

①求弦长|A郎

②求证：OA1OB.

【分析】（1）将双曲线的方程化为标准形式，求得右顶点坐标，根据抛物线的焦点与双曲

线的右顶点重合得到抛物线的方程；

（2）①联立方程，利用弦长公式，结合韦达定理求得弦长；

②利用向量的数量积为零求证垂直关系.

2

【解答】（1）解：4/化为标准形式：A__y^=1,

T

a?3，a^'右顶点0），

设抛物线的方程为V=2px,焦点坐标为F0,0），

由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以p=l,

抛物线C的方程y=2%；

'2_

（2）解：y=2x,消去X,得y-2厂4=0,

ty=x-2

设A（xi,yi）,B（拉，”），贝！Jyiy2=-4,yi+》2=2,

=,

|y1-y21=｛（了[+了2）2-4丫1丫2V20=2>/5

2222

丫1y2Yly2

y「X[-2,y2=x2-2.x1-x2=y1-y2>亍x2=^-.xlx2=^-=^

22

①IABI（xj-x2）+（yj-V2^=2A/1U-

证明：②0A-0B=Xi乂2+了1丫2=4-4=0，

：.OA±OB.

20.如图，椭圆C：/+3y2=q2Q>o）.

（I）求椭圆C的离心率；

（II）若a=\[i，M,N是椭圆C上两点，且|MN|=2j§,求△MON面积的最大值.

【分析】（/）化成标准方程，代入离心率公式计算即可；

（〃）对直线MN的斜率讨论，设方程为丫=丘+乩联立方程组，根据弦长公式匕》的关系,

利用A>0得出左的范围，求出。到直线MN的距离d的范围即可得出结论.

22

【解答】解：（I）由椭圆的标准方程：¥吃=1,

aa_

V

.".c1=a2-=2a,即c=V^_q,

333

椭圆C的离心率e=q=逅.

a3

_22

（II）a=巡时，椭圆方程为三且_=1,

62

显然直线MN的斜率存在.

（1）当％=0时，把x=«代入椭圆方程得y=l,

，。到直线MN的距离为1,

S/\MON~1X2V3X1=如'

2

（2）当直线MN斜率不为零时，设直线的方程为〉=履+。,

y=kx+b

联立方程组J22，得（1+3后）^+6kbx+3b1-6=0,

—+^—=1

62

A=360伊-4（1+3武）（3b2-6）>0,解得出+2,

设M(xi,yi)，N(X2,y2)，贝ij无i+x2=-—更^—，xix2—,

l+3k21+3k2

22

6k2b2_12仔-21=7u7>2V18k-3b+6

V(l+3k2)2l+3k2l+3k2

7l+k2V6k2-b2+2=1+3次

42

整理得z>2=-3k+2k+l)

1+k2

42解得必

-3k+2k+l<6^2+2；NO.

2

l+k

VO到直线MN的距离d=JbI

...屋=b?3k4+2k2+]=]4

：.d2<l,即d<l,

：.S^MON^^-x2/3Xd<E.

综上，△MON面积的最大值为我.

22_

21.如图，椭圆C：2_，L=1Q>6>0）的离心率是上，短轴长为2\/§,椭圆的左、右顶

2,29

ab"

点为4、42.过椭圆与抛物线的公共焦点尸的直线/与椭圆相交于A,B两点，与抛物线E

相交于P,。两点，点M为尸。的中点.

（1）求椭圆C和抛物线E的方程；

（2）记△AB4的面积为Si,XMMQ的面积为S2,若S1N3S,求直线/在y轴上截距的

范围.

•41Z°、

【分析】（1）依题意得到方程组，求出a,b的值，即可求出椭圆方程，再根据抛物线的

焦点求出抛物线方程；

（2）设/：x—ty+1,A（xi,yi）,B（x2,y2）,P（尤3,>3）,Q（尤4,>4）,联立/与椭

圆，利用韦达定理及弦长公式，点到直线的距离，求出三角形的面积Si,S2,再根据SI》3S2

得到不等式，解得即可.

，2b=2V3

【解答】解：（1）根据题意得：,解得a=2,b=V3,c=l,抛物线焦点F

aN

(1,0),

22

因此椭圆c：工-4=1，抛物线E：丁=4元;

43

(2)设：x=ty+\G#0),A(xi,ji),B(x2,>2),P(x3,A),Q(%4,y4),

x=ty+l

联立/与椭圆C：,22

xy1

-----h----=1

43

整理得：(3尸+4)/+6h-9=0,判别式：△=(6r)2-4(3?+4)(-9)=144(?+1),

弦长公式：’所以

cl-318Vl+t2

Si=yIAB|i=------5------'

2V1+t23t/+4

'2_

联立/与抛物线E：y=4x,整理得：/_协_4=0,判别式：△=(-4力2—4(-4)

x=ty+l

=16(?+1),

222

弦长公式：|pQ|=Vl+t|y3-y4|=Vl+t716(l+t)，

所以S2蒋s△田IPQ।7已不，

因为Si>3s2,因此18vp>3^?，解得：上代巫,

3t2+433

在y轴上截距上造或工运

t2t2

因此在y轴上截距取值范围是(-8,-亨］(J［喙，枇°>

22.已知双曲线C：式工=1(。>0,b>0),焦距为2«,渐近线方程为y=士亚x.

J2

(1)求双曲线C的方程;

(2)已知M,N是双曲线C上关于x轴对称的两点，点尸是C上异于M,N的任意一点,

直线PM、PN分别交x轴于点7、S,试问：10sl•|。7］是否为定值，若不是定值，说明理由,

若是定值，请求出定值(其中。是坐标原点).

【分析】(1)利用已知条件求解c,a,b,得到双曲线方程.

(2)是定值，定值为2,法一：设直线MP的方程为(f=0),S(xo,0),T(m,

2

0),代入缶_y2=i得(尸-2)y+ltmy+m1-2=0,设点M(xi,yi),P(x2,>2),则

N(xi,-yi),利用韦达定理，结合三点共线转化求解IOSIIO7］为定值.

法二：设点M(