2021-2022学年甘肃省天水市太京中学高三六校第一次联考数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则“m⊥n”是“m⊥l”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．执行程序框图，则输出的数值为（）A． B． C． D．3．已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组则的取值范围为（）A． B．C． D．4．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）A． B．C． D．5．若,,,则下列结论正确的是()A． B． C． D．6．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上之间.用表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为，小张离开家的时间为，看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件的概率等于（）A． B． C． D．7．已知复数满足，则的值为（）A． B． C． D．28．函数（其中，，）的图象如图，则此函数表达式为（）A． B．C． D．9．设为自然对数的底数，函数，若，则()A． B． C． D．10．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（）A． B． C．8 D．611．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（）A． B． C． D．12．的展开式中，项的系数为（）A．－23 B．17 C．20 D．63二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数有两个极值点、，则的取值范围为_________.14．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为_____．15．平面向量与的夹角为，，，则__________．16．若,则=______,=______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，为定点，点为的中点，动点满足，且，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线交曲线于，两点，为曲线上异于，的任意一点，直线，分别交直线于，两点.问是否为定值？若是，求的值；若不是，请说明理由.18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.19．（12分）已知椭圆，上顶点为，离心率为，直线交轴于点，交椭圆于，两点，直线，分别交轴于点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：为定值．20．（12分）已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若满足，，，求.21．（12分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为.（1）求的分布列及数学期望；（2）在概率(=0，1，2，3)中,若的值最大,求实数的取值范围.22．（10分）已知函数．（1）若不等式有解，求实数的取值范围；（2）函数的最小值为，若正实数，，满足，证明：．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

构造长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m，n即可进行判断．【详解】如图，取长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，直线=直线。若令AD1＝m，AB＝n，则m⊥n，但m不垂直于若m⊥，由平面平面可知，直线m垂直于平面β，所以m垂直于平面β内的任意一条直线∴m⊥n是m⊥的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考点有两个：①考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从m⊥n⇒m⊥？和m⊥⇒m⊥n？两方面进行判断；②是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析．2．C【解析】

由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案.【详解】，，，，，满足条件，，，，，满足条件，，，，，满足条件，，，，，满足条件，，，，，不满足条件，输出.故选：C【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.3．D【解析】

首先将转化为，只需求出的取值范围即可，而表示可行域内的点与圆心距离，数形结合即可得到答案.【详解】作出可行域如图所示设圆心为，则,过作直线的垂线，垂足为B，显然，又易得，所以，，故.故选：D.【点睛】本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.4．D【解析】因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为，所以球心到截面的距离，而截面到球体最低点距离为，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为.点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.5．D【解析】

根据指数函数的性质，取得的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由指数函数的性质，可得，即，又由，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.6．D【解析】

这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解.【详解】解：事件发生，需满足，即事件应位于五边形内，作图如下：故选：D【点睛】考查几何概型，是基础题.7．C【解析】

由复数的除法运算整理已知求得复数z，进而求得其模.【详解】因为，所以故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.8．B【解析】

由图象的顶点坐标求出，由周期求出，通过图象经过点，求出，从而得出函数解析式.【详解】解：由图象知，，则，图中的点应对应正弦曲线中的点，所以，解得，故函数表达式为．故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.9．D【解析】

利用与的关系，求得的值.【详解】依题意，所以故选：D【点睛】本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.10．C【解析】

由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简，结合基本不等式即可求解.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，半焦距为，则，，设由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：，则当且仅当时，取等号.故选：C．【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.11．D【解析】

利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为，其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为．故选D．【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.12．B【解析】

根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数.【详解】的展开式的通项公式为.则①出，则出，该项为：；②出，则出，该项为：；③出，则出，该项为：；综上所述：合并后的项的系数为17.故选：B【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

确定函数的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求的取值范围．【详解】函数的定义域为，，依题意，方程有两个不等的正根、（其中），则，由韦达定理得，，所以，令，则，，当时，，则函数在上单调递减，则，所以，函数在上单调递减，所以，.因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将的取值范围转化为以为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.14．【解析】

利用复数的乘法求解再根据纯虚数的定义求解即可.【详解】解：复数为纯虚数,解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.15．【解析】

由平面向量模的计算公式，直接计算即可.【详解】因为平面向量与的夹角为，所以，所以;故答案为【点睛】本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型.16．10【解析】

①根据换底公式计算即可得解；②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解.【详解】①由题：,则；②由①可得：.故答案为：①1，②0【点睛】此题考查对数的基本运算，涉及换底公式和同底对数加法运算，属于基础题目.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）是定值，.【解析】

（1）设出M的坐标为，采用直接法求曲线的方程；（2）设AB的方程为，，,，求出AT方程，联立直线方程得D点的坐标，同理可得E点的坐标，最后利用向量数量积算即可.【详解】（1）设动点M的坐标为，由知∥，又在直线上，所以P点坐标为，又，点为的中点，所以，，，由得，即；（2）设直线AB的方程为，代入得，设，，则，，设，则，所以AT的直线方程为即，令，则，所以D点的坐标为，同理E点的坐标为，于是，，所以，从而，所以是定值.【点睛】本题考查了直接法求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线位置关系中的定值问题，在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系，本题思路简单，但计算量比较大，是一道有一定难度的题.18．（Ⅰ）（为参数）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）设点，，则，代入化简得到答案.（Ⅱ）分别计算，的极坐标方程为，，取代入计算得到答案.【详解】（Ⅰ）设点，，，故，故的参数方程为：（为参数）.（Ⅱ），故，极坐标方程为：；，故，极坐标方程为：.，故，，故.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.19．（Ⅰ）；（Ⅱ），证明见解析．【解析】

（Ⅰ）根据题意列出关于，，的方程组，解出，，的值，即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）设点，，点，，易求直线的方程为：，令得，，同理可得，所以，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理代入上式，化简即可得到．【详解】（Ⅰ）解：由题意可知：，解得，椭圆的方程为：；（Ⅱ）证：设点，，点，，联立方程，消去得：，，①，点，，，直线的方程为：，令得，，，，同理可得，，，把①式代入上式得：，为定值．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、定值问题的求解；关键是能够通过直线与椭圆联立得到韦达定理的形式，利用韦达定理化简三角形面积得到定值；考查计算能力与推理能力，属于中档题．20．（1）；（2）【解析】

（1）化简得到，取，解得答案.（2），解得，根据余弦定理得到，再用一次余弦定理解得答案.【详解】（1）.取，解得.（2）,因为，故，.根据余弦定理：，..【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.21．（1），ξ的分布列为ξ

0

1

2

3

P

(1－a)2

(1－a2)

(2a－a2)

（2）【解析】(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ＝0)＝(1－a)2＝(1－a)2；P(ξ＝1)＝·(1－a)2＋a(1－a)＝(1－a2)；P(ξ＝2)＝·a(1－a)＋a2＝(2a－a2)；P(ξ＝3)＝·a2＝.所以ξ的分布列为ξ

0

1

2

3

P

(1－a)2

(1－a2)

(2a－a2)

ξ的数学期望为E(ξ)＝0×(1－a)2＋1×(1－a2)＋2×(2a－a2)＋3×＝.(2