2025高考数学一轮复习-7.3-直线、平面平行的判定与性质-专项训练【含解析】

7.3-直线、平面平行的判定与性质-专项训练【原卷版】1．如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是()A．平行 B．相交C．AC在此平面内 D．平行或相交2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．对于平面α和不重合的两条直线m，n，下列选项中正确的是()A．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥nB．如果m⊂α，n与α相交，那么m，n是异面直线C．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥αD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α4．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有()A．0条 B．1条C．2条 D．1条或2条5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为64，若点M∈平面A1BD，点N∈平面B1CD1，则MN的最小值为()A．eq\f(8\r(3),3) B．eq\f(4\r(3),3)C．eq\f(8,3) D．eq\f(4,3)6．(多选)α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥c,b∥c))⇒a∥b B．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,b∥γ))⇒a∥bC．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,β∥c))⇒α∥β D．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ,β∥γ))⇒α∥β7．(多选)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下说法正确的是()A．BM∥平面ADE B．CN∥平面BAFC．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF8．在三棱锥P­ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．9．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有________(填序号)．10．如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG．11．(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是()A．没有水的部分始终呈棱柱形B．水面EFGH所在四边形的面积为定值C．随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行D．当容器倾斜如图(3)所示时，AE·AH为定值12．如图，正八面体PABCDQ的棱长为2，点E，F，H分别是PA，PB，BC的中点，则过E，F，H三点的平面α截该正八面体所得截面的面积等于________．13．如图所示，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)．14．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点F在棱CC1上，过B，D1，F三点的正方体的截面α与直线AA1交于点E．(1)找到点E的位置，作出截面α(保留作图痕迹)，并说明理由；(2)已知CF＝a，求α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V2之比．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为()A．eq\r(2) B．eq\f(9,8)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(6),2)16．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是()7.3-直线、平面平行的判定与性质-专项训练【解析版】1．如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是()A．平行 B．相交C．AC在此平面内 D．平行或相交解析：A把这三条线段放在正方体内如图，显然AC∥EF，AC⊄平面EFG，∵EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG，故选A．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：Am，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂α，则“α∥β”得“m∥β且n∥β”，根据面面平行的判定定理得“m∥β且n∥β”不能得“α∥β”，所以“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．故选A．3．对于平面α和不重合的两条直线m，n，下列选项中正确的是()A．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥nB．如果m⊂α，n与α相交，那么m，n是异面直线C．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥αD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α解析：A由线面平行的性质定理，可知A正确，B选项中，n可以与m相交，C选项中，直线n可以与平面α相交，D选项中，n可以在平面α内．故选A．4．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有()A．0条 B．1条C．2条 D．1条或2条解析：C如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH．∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD．又∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD．又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH．∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条．5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为64，若点M∈平面A1BD，点N∈平面B1CD1，则MN的最小值为()A．eq\f(8\r(3),3) B．eq\f(4\r(3),3)C．eq\f(8,3) D．eq\f(4,3)解析：B由正方体特征知BD∥B1D1，又BD⊄平面B1CD1，B1D1⊂平面B1CD1，∴BD∥平面B1CD1，同理可得A1D∥平面B1CD1，又BD∩A1D＝D，BD，A1D⊂平面A1BD，∴平面A1BD∥平面B1CD1，∴MN的最小值为平面A1BD到平面B1CD1的距离，∵正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为64，设正方体棱长为a，则a3＝64，∴a＝4，∴AC1＝eq\r(3)a＝4eq\r(3)，∴MNmin＝eq\f(1,3)AC1＝eq\f(4\r(3),3)．故选B．6．(多选)α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥c,b∥c))⇒a∥b B．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,b∥γ))⇒a∥bC．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,β∥c))⇒α∥β D．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ,β∥γ))⇒α∥β解析：AD对于A，由点线面位置关系的基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行，故正确．对于B，两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线可能相交，也可能是异面直线，不一定平行，故不正确．对于C，两个平面都与同一条直线平行，则这两个平面可以平行，也可以相交，故不正确．对于D，由面面平行的传递性可知平行于同一平面的两个平面平行，故正确．故选A、D．7．(多选)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下说法正确的是()A．BM∥平面ADE B．CN∥平面BAFC．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF解析：ABCD以ABCD为下底还原正方体，如图所示，则有BM∥平面ADE，CN∥平面BAF，选项A、B正确；在正方体中，BD∥FN,FN⊂平面AFN，BD⊄平面AFN，所以BD∥平面AFN，同理BM∥平面AFN，BM∩BD＝B，BM，BD⊂平面BDM，所以平面BDM∥平面AFN，同理平面BDE∥平面NCF，选项C、D正确，故选A、B、C、D．8．在三棱锥P­ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．解析：如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝eq\f(2,3)AC＝2，FM＝EN＝eq\f(1,3)PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8．答案：89．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确．答案：①或③10．如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG．证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点．连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF．(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG．因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG．11．(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是()A．没有水的部分始终呈棱柱形B．水面EFGH所在四边形的面积为定值C．随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行D．当容器倾斜如图(3)所示时，AE·AH为定值解析：AD根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行)，结合题中图形易知A正确；由题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B错误；因为A1C1∥AC，AC⊂平面ABCD，A1C1⊄平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，A1C1不平行于水面所在平面，故C错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH­BFG的体积V为定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不变，所以S△AEH也不变，即AE·AH为定值，故D正确．12．如图，正八面体PABCDQ的棱长为2，点E，F，H分别是PA，PB，BC的中点，则过E，F，H三点的平面α截该正八面体所得截面的面积等于________．解析：∵E，F，H分别是PA，PB，BC的中点，∴EF∥AB，又EF⊄平面ABQ，AB⊂平面ABQ，∴EF∥平面ABQ．同理得FH∥平面CDP．又平面ABQ∥平面CDP，EF∩FH＝F，∴平面α∥平面ABQ∥平面CDP．设平面α与CQ相交于点M(图略)，则HM∥BQ，故M为CQ的中点．同理得平面α也过DQ，AD的中点，结合正八面体的对称性，得截面是边长为1的正六边形，其面积S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1×sin60°))×6＝eq\f(3\r(3),2)．答案：eq\f(3\r(3),2)13．如图所示，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)．解析：连接HN，FH，FN(图略)，则FH∥DD1，HN∥BD，且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1．答案：点M在线段FH上14．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点F在棱CC1上，过B，D1，F三点的正方体的截面α与直线AA1交于点E．(1)找到点E的位置，作出截面α(保留作图痕迹)，并说明理由；(2)已知CF＝a，求α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V2之比．解：(1)在正方形CDD1C1中，过F作FG∥DC，且交棱DD1于点G，连接AG，在正方形ADD1A1内过D1作D1E∥AG，且交棱AA1于点E，连接EB，则四边形BED1F就是要作的截面α(如图所示)．理由：由题意，平面α∩平面AD1＝D1E，α∩平面BC1＝BF，平面AD1∥平面BC1，应有D1E∥BF，同理，BE∥FD1，所以四边形BED1F应是平行四边形．(2)由题意，CF＝a(0<a<1)，由(1)的证明过程，可得A1E＝a，连接D1B1，则平面α将正方体分割所成的上半部分的几何体可视为四棱锥D1­A1EBB1与四棱锥D1­B1BFC1的组合体，V1＝VD1­A1EBB1＋VD1­B1BFC1＝eq\f(1,3)×eq\f(a＋1×1,2)×1＋eq\f(1,3)×eq\f([1－a＋1]×1,2)×1＝eq\f(1,2)，而该正方体的体积V＝1，V2＝V－V1＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)．所以V1∶V2＝1．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为()A．eq\r(2) B．eq\f(9,8)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(6),2)解析：B如图①，分别取B1C1，C1D1的中点E，F，连接EF，BE，DF，B1D1，ME，易知EF∥B1D1∥BD，AB∥ME，AB＝EM，所以四边形ABEM为平行四边形，则AM∥BE