2024年甘肃省兰州市安宁区西北师大二附中中考数学四模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年甘肃省兰州市安宁区西北师大二附中中考数学四模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2−1的相反数是A.2 B.−2 C.12 D.2.把多项式a2+2a分解因式得(

)A.a(a+2) B.a(a−2) C.(a+2)2 3.用配方法解方程x2−2x=2时，配方后正确的是(

)A.(x+1)2=3 B.(x+1)2=64.如图，直线l1//l2，AB=AC，∠BAC=40°，则∠1+∠2的度数是

(

)

A.60° B.70° C.80° D.90°5.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是(

)A.(2,1) B.(−1,−2)

C.(2,1)或(−2,−1) D.(1,2)或(−1,−2)6.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为(

)A.2mm B.22mm C.27.如图，一条公路(公路的宽度忽略不计)的转弯处是一段圆弧(AB)，点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，则这段弯路(AB)的长度为A.20πm

B.30πm

C.40πm

D.50πm8.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是(

)A.8x+3=y7x−4=y

B.8x−3=y7x+4=y

C.8x+3=y7x+4=y9.不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是(

)A.49 B.29 C.2310.如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就.其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”.为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC=50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC=(

)A.60° B.70° C.80° D.85°11.如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，∠C=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为(

)A.52

B.3

C.2212.如图，等边△ABC、等边△DEF的边长分别为3和2.开始时点A与点D重合，DE在AB上，DF在AC上，△DEF沿AB向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设△ABC、△DEF重合部分的面积为y，△DEF移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为(

)A. B.

C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。13.若二次根式2−x有意义，则x的取值范围是______．14.若一元二次方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为______．15.如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度ℎ(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：ℎ=−5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t=______s.

16.如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠得到对应的△BFE，且点C的对应点F落在AD上．若tan∠DFE=512，BC=3，则CE=______．三、解答题：本题共11小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题4分)

计算：2×(318.(本小题4分)

解不等式组：3(x+2)≥2x+5①x2−1<19.(本小题4分)

解分式方程：1x−1+1=20.(本小题6分)

古希腊数学家欧几里得(约公元前325−公元前265)，被称为“几何学之父”，在其所著的《几何原本》中第3卷给出其中一个命题：如果从圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线为边所构成的正方形的面积.命题解读：直线AP为⊙O的切线，直线AC为圆的割线，以AP为边构造正方形APDE，以AB，AC为边构造矩形ACGF，可得正方形APDE的面积等于矩形ACGF的面积，由此可得AP2=AB⋅AC．

根据以上问题，完成尺规作图并计算．

(1)尺规作图步骤如下：①以点B为圆心，小于OB的长为半径作弧，交射线OB于P，Q两点；②分别以P，Q为圆心，大于12PQ的长为半径作弧，两弧交于点E；③作射线BE，射线BE与射线DC交于点A；④可得直线AB为⊙O的切线.请按描述完成作图；

(2)依据所作图形，若以AB为边的正方形的面积为24，AC：CD=3：5，则以AC21.(本小题6分)

某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题．课题探究物理实验装置中的几何测量问题成员组长：×××组员：×××，×××，×××实验工具测角仪，皮尺，摄像机等方案一方案二测量方案示意图

(已知PC⊥AC)

(已知PB⊥AC)说明点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到达水平面的位置，点C为木块的位置．测量数据AB=4米，∠PBC=40°，∠PAB=15°AC=5.9米，∠PCB=40°，∠PAB=22°．请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线AB的竖直距离.(结果精确到0.1米，参考数据tan40°≈0.84，tan15°≈0.27，tan22°≈0.40)22.(本小题6分)

如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．

(1)求证AF⊥EF；

(2)若AF=3，AB=4，求BE的长．23.(本小题6分)

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A(−3,n)，B(2,3)．

(1)求反比例函数与一次函数的解析式；

(2)请结合图象直接写出不等式kx+b≤mx的解集；

(3)若点P为x轴上一点，△ABP的面积为10，求点24.(本小题6分)

小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a(x−ℎ)2+k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度．

(1)求抛物线的表达式．

(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m.身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．25.(本小题7分)

如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，EF与AC相交于点O，BE=DF，AC=EF．

(1)求证：四边形AECF是矩形；

(2)若AE=BE，AB=2，sin∠ACB=23，求四边形26.(本小题8分)

问题情境：

在综合实践课上，同学们以“正方形的旋转”为主题开展活动.如图①，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，边长分别是12和13，将顶点A与顶点E重合，正方形EFGH绕点A逆时针方向旋转，连接BF，DH．

初步探究：

(1)试猜想线段BF与DH的关系，并加以证明；

问题解决：

(2)如图②，在正方形EFGH的旋转过程中，当点F恰好落在BC边上时，连接CG，求线段CG的长；

(3)在图②中，若FG与DC交于点M，请直接写出线段MG的长．

27.(本小题9分)

【概念学习】

对于平面直角坐标系xOy中的图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作d(T,W).例如，如图①，点P(1,2)与x轴之间的“关联距离”d(P,x轴)=2．

【理解概念】

(1)如图②，已知点P(1,2)在边长为3的正方形OABC内，则d(P，正方形OABC)=______．

【深入探索】

(2)如图③，在等边△ABC中，点A的坐标是(0,3)，点B，C在x轴上，点Q是y轴上一点，若d(Q,△ABC)=1，求点Q的坐标．

【拓展延伸】

(3)已知D(m,−2)，E(m+2,−4)，当−5≤m≤2时，对于每一个m，若线段DE和一次函数y=kx−k(k是常数，k≠0)的图象之间的“关联距离”d(DE，直线y=kx−k)>0，则k的取值范围是______．

参考答案1.D

2.A

3.C

4.B

5.C

6.D

7.C

8.B

9.A

10.B

11.A

12.C

13.x≤2

14.1

15.2

16.2

17.解：2×(36−8)−1218.解：解不等式①得：x≥−1，

解不等式②得：x<2，

则不等式组的解集为−1≤x<2．

19.解：去分母得：2+2x−2=3，

移项得：2x=3−2+2，

合并同类项得：2x=3，

解得：x=32，

检验：把x=32代入得：2(x−1)≠0，

∴【答案】(1)如图所示；

(2)令AC=3x，则CD=5x，

∴AD=AC+CD=8x，

∵以AB为边的正方形的面积为24，

∴AB2=24，

∵AB2=AC⋅AD，

∴3x×8x=24，

∴x=1(舍去负值)，

∴AC=3x=3，AD=8x=8，

∴以21.解：选择方案一：设BC=x(米)，则AC=(x+4)米，

在Rt△PAC中，PC=AC⋅tan15°≈0.27(x+4)，

在Rt△PBC中，PC=BC⋅tan40°≈0.84x，

∴0.27(x+4)=0.84x，

解得：x=3619，

∴PC=3619×0.84≈1.6(米)，22.解：(1)证明：连接OD，

∵EF切⊙O于D，

∴OD⊥EF，

∵AD平分∠EAF，

∴∠FAD=∠EAD，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠ODA=∠EAD，

∴OD//AF，

∴AF⊥EF；

(2)解：∵OD//AF，

∴△EOD∽△EAF，

∴OD：AF=EO：EA，

∵AB=4，

∴OD=OB=12AB=2，

∴OE=2+BE，AE=4+BE，

∵AF=3，

∴2：3=(2+BE)：(4+BE)，

∴BE=223.解：(1)∵一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A(−3,n)，B(2,3)．

∴m=−3×n=2×3，

∴m=6，n=−2，

∴反比例函数解析式为y=6x，

∵点A(−3,−2)，B(2,3)在一次函数y=kx+b的图象上，

−3k+b=−22k+b=3，解得k=1b=1，

∴一次函数解析式为y=x+1．

(2)根据函数图象及列函数图象的交点坐标可知，不等式kx+b≤mx的解集为：0<x≤2或x≤−3．

(3)在一次函数y=x+1中，当y=0时，x=−1，

∴C(−1,0)，

设点P坐标为(t,0)，则PC=丨t+1丨，

∴S△ABP=S△APC24.解：(1)由题意知，抛物线顶点为(5,3.2)，

设抛物线的表达式为y=a(x−5)2+3.2，将(0,0.7)代入得：

0.7=25a+3.2，

解得：a=−110，

∴y=−110(x−5)2+3.2=−110x2+x+710，

答：抛物线的表达式为y=−110x2+x+710；

(2)25.(1)证明：在▱ABCD中，AD//BC，AD=BC，

∵BE=DF，

∴AD−DF=BC−BE，

即AF=EC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC=EF，

∴四边形AECF是矩形；

(2)解：∵四边形AECF是矩形，

∴∠AEB=∠AEC=90°，OA=OC；

∵AE=BE，AB=2

∴勾股定理得AE=BE=22AB=2；

在Rt△AEC中，sin∠ACB=AEAC=23，

∴AC=32AE=32226.解：(1)BF=DH，BF⊥DH，

证明：如图1，

∵四边形ABCD和四边形EFGH是正方形，

∴AB=AD，EF=EH，∠EHG=∠EFG=∠G=∠BAD=∠FEH=90°，

∴∠BAD−∠DAF=∠FEH−∠DAF，

∴∠BAF=∠DEH，

∴△ABF≌△ADH(SAS)，

∴BF=DH，∠AFB=∠EHD，

延长BF，HD相交于点P，HD的延长线交FG于N，

∵∠AFB+∠PFN=∠EHD+∠GHN=90°，

∴∠PFN=∠GHN，

∵∠PNF=∠HNG，

∴∠P=∠G=90°，

∴BF⊥DH，

即BF=DH，BF⊥DH；

(2)在Rt△ABF中，AB=12，AF=13，

根据勾股定理得，BF=AF2−AB2=5，

如图2，过点G作GQ⊥BC，交BC的延长线于Q，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠B=90°=∠Q，

∴∠BEF+∠BFE=90°，

∵四边形EFGH是正方形，

∴EF=FG，∠EFG=90°，

∴∠BFE+∠QFG=90°，

∴∠BEF=∠QFG，

∴△EBF≌△FQG(AAS)，

∴GQ=BF=5，FQ=AB，

∵AB=BC=BF+CF，FQ=CQ+CF，

∴CQ=BF=5，

∴CG=2CQ=52；

(3)如图2，由(2)知，∠Q=9