2025年高考数学一轮复习-6.3-平面向量的数量积及应用-专项训练【含解析】

6.3-平面向量的数量积及应用-专项训练【原卷版】1．向量a＝(1,2)，b＝(x,1)．若(a＋b)⊥(a－b)，则x＝()A．－2 B．±eq\r(2)C．±2 D．22．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则|2a＋b|＝()A．3 B．eq\r(3)C．7 D．eq\r(7)3．在水流速度10km/h的自西向东的河中，如果要使船以10eq\r(3)km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为()A．北偏西30°，20km/hB．北偏西60°，10eq\r(2)km/hC．北偏东30°，10eq\r(2)km/hD．北偏东60°，20km/h4．在平面直角坐标系xOy中，已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))与eq\o(OB,\s\up7(→))关于y轴对称，向量a＝(1,0)，则满足不等式eq\o(OA,\s\up7(→))2＋a·eq\o(AB,\s\up7(→))≤0的点A(x，y)构成的集合用阴影表示为()5．(多选)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是()A．(a·b)c－(c·a)b＝0B．|a|－|b|<|a－b|C．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|26．(多选)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，c＝(2，t)，下列说法正确的是()A．若(a＋b)∥c，则t＝6B．若(a＋b)⊥c，则t＝eq\f(2,3)C．若t＝1，则cos〈a，c〉＝eq\f(4,5)D．|a＋c|<37．在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(3，－1)，eq\o(BD,\s\up7(→))＝(2，m)，eq\o(AC,\s\up7(→))⊥eq\o(BD,\s\up7(→))，则该四边形的面积是________．8．已知向量a，b，其中|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．9．已知平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠BAD＝eq\f(π,3)，平面内动点E，满足|ED|＝2|EC|，则(eq\o(DB,\s\up7(→))－eq\o(DA,\s\up7(→)))·eq\o(AE,\s\up7(→))的取值范围为________．10．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．(1)若θ＝eq\f(3π,4)，设点D为线段OA上的动点，求|eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))|的最小值；(2)若θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，向量m＝eq\o(BC,\s\up7(→))，n＝(1－cosθ，sinθ－2cosθ)，求m·n的最小值及对应的θ值．11．(多选)引入平面向量之间的一种新运算“⊗”如下：对任意的向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，规定m⊗n＝x1x2－y1y2，则对于任意的向量a，b，c，下列说法正确的有()A．a⊗b＝b⊗a B．(λa)⊗b＝λ(a⊗b)C．a·(b⊗c)＝(a⊗b)·c D．|a|·|b|≥|a⊗b|12．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为eq\r(3)，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BP,\s\up7(→))的最大值为()A．8 B．2eq\r(3)C．4eq\r(3) D．413．已知平面向量a＝(eq\r(3)，eq\r(3))，则与a夹角为45°的一个非零向量b的坐标可以为________．(写出满足条件的一个向量即可)14．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2CD＝3，AD＝2，若EF在线段AB上运动，且EF＝1，则eq\o(CE,\s\up7(→))·eq\o(CF,\s\up7(→))的最小值为________．15．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，分别将边BC与DC等分成8份，并将等分点自下而上依次记作E1，E2，…，E7，自左到右依次记作F1，F2，…，F7，满足eq\o(AEi,\s\up7(→))·eq\o(AFj,\s\up7(→))≤2(其中i，j∈N*,1≤i，j≤7)的有序数对(i，j)共有________对．16．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(PC,\s\up7(→))＋\f(1,2)eq\o(PQ,\s\up7(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(PC,\s\up7(→))－\f(1,2)eq\o(PQ,\s\up7(→))))＝0．(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求eq\o(PE,\s\up7(→))·eq\o(PF,\s\up7(→))的最值．6.3-平面向量的数量积及应用-专项训练【解析版】1．向量a＝(1,2)，b＝(x,1)．若(a＋b)⊥(a－b)，则x＝()A．－2 B．±eq\r(2)C．±2 D．2解析：C法一：a＋b＝(1＋x,3)，a－b＝(1－x,1)，因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，即(1＋x)(1－x)＋3＝0，解得x＝±2．法二：因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，所以a2－b2＝0，所以|a|＝|b|，所以x＝±2．故选C．2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则|2a＋b|＝()A．3 B．eq\r(3)C．7 D．eq\r(7)解析：D由已知可得|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝1，则a·b＝eq\f(1,2)，因此，|2a＋b|＝eq\r(2a＋b2)＝eq\r(4a2＋4a·b＋b2)＝eq\r(7)．故选D．3．在水流速度10km/h的自西向东的河中，如果要使船以10eq\r(3)km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为()A．北偏西30°，20km/hB．北偏西60°，10eq\r(2)km/hC．北偏东30°，10eq\r(2)km/hD．北偏东60°，20km/h解析：A如图，船从点O出发，沿eq\o(OC,\s\up7(→))方向行驶才能垂直到达对岸，|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝10，|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝10eq\r(3)，则|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝eq\r(|OA|2＋|OB|2)＝20，则cos∠BOC＝eq\f(|eq\o(OB,\s\up7(→))|,|eq\o(OC,\s\up7(→))|)＝eq\f(\r(3),2)，因为∠BOC为锐角，故∠BOC＝30°，故船以20km/h的速度，以北偏西30°的方向行驶，才能垂直到达对岸．故选A．4．在平面直角坐标系xOy中，已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))与eq\o(OB,\s\up7(→))关于y轴对称，向量a＝(1,0)，则满足不等式eq\o(OA,\s\up7(→))2＋a·eq\o(AB,\s\up7(→))≤0的点A(x，y)构成的集合用阴影表示为()解析：B∵A(x，y)，向量eq\o(OA,\s\up7(→))与eq\o(OB,\s\up7(→))关于y轴对称，∴B(－x，y)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－2x,0)．∵eq\o(OA,\s\up7(→))2＋a·eq\o(AB,\s\up7(→))≤0，∴x2＋y2－2x＝(x－1)2＋y2－1≤0，故满足要求的点A(x，y)在以(1,0)为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部．故选B．5．(多选)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是()A．(a·b)c－(c·a)b＝0B．|a|－|b|<|a－b|C．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2解析：BD由于b，c是不共线的向量，因此(a·b)c与(c·a)b相减的结果应为向量，故A错误；由于a，b不共线，故a，b，a－b构成三角形，因此B正确；由于[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，故C中两向量垂直，故C错误；根据向量数量积的运算可以得出D是正确的．故选B、D．6．(多选)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，c＝(2，t)，下列说法正确的是()A．若(a＋b)∥c，则t＝6B．若(a＋b)⊥c，则t＝eq\f(2,3)C．若t＝1，则cos〈a，c〉＝eq\f(4,5)D．|a＋c|<3解析：BCa＋b＝(－1,3)，若(a＋b)∥c，则－t－6＝0，所以t＝－6，故A错误；若(a＋b)⊥c，则－2＋3t＝0，所以t＝eq\f(2,3)，故B正确；若t＝1，则cos〈a，c〉＝eq\f(a·c,|a|·|c|)＝eq\f(4,\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5)，故C正确；a＋c＝(3，t＋2)，则|a＋c|＝eq\r(9＋t＋22)≥3，故D错误．故选B、C．7．在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(3，－1)，eq\o(BD,\s\up7(→))＝(2，m)，eq\o(AC,\s\up7(→))⊥eq\o(BD,\s\up7(→))，则该四边形的面积是________．解析：由题意，向量eq\o(AC,\s\up7(→))＝(3，－1)，eq\o(BD,\s\up7(→))＝(2，m)，由eq\o(AC,\s\up7(→))⊥eq\o(BD,\s\up7(→))，可得eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(BD,\s\up7(→))＝3×2＋(－1)×m＝0，解得m＝6，所以四边形的面积为eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up7(→))|·|eq\o(BD,\s\up7(→))|＝eq\f(1,2)eq\r(32＋－12)·eq\r(22＋62)＝10．答案：108．已知向量a，b，其中|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cosθ＝3－2eq\r(3)·cosθ＝0，解得cosθ＝eq\f(\r(3),2)．又因为0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(π,6)，则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cosθ＝3＋2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝6．答案：eq\f(π,6)69．已知平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠BAD＝eq\f(π,3)，平面内动点E，满足|ED|＝2|EC|，则(eq\o(DB,\s\up7(→))－eq\o(DA,\s\up7(→)))·eq\o(AE,\s\up7(→))的取值范围为________．解析：∵平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠BAD＝eq\f(π,3)，∴建立如图所示的坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C(5，2eq\r(3))，D(2,2eq\r(3))，设E(x，y)，∵平面内动点E满足|ED|＝2|EC|，∴(x－2)2＋(y－2eq\r(3))2＝4[(x－5)2＋(y－2eq\r(3))2]，即(x－6)2＋(y－2eq\r(3))2＝4，∴(x－6)2≤4⇒4≤x≤8，∴(eq\o(DB,\s\up7(→))－eq\o(DA,\s\up7(→)))·eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AE,\s\up7(→))＝(3,0)·(x，y)＝3x∈[12,24]．答案：[12,24]10．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．(1)若θ＝eq\f(3π,4)，设点D为线段OA上的动点，求|eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))|的最小值；(2)若θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，向量m＝eq\o(BC,\s\up7(→))，n＝(1－cosθ，sinθ－2cosθ)，求m·n的最小值及对应的θ值．解：(1)设D(t,0)(0≤t≤1)，由题意知Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，所以eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)＋t，\f(\r(2),2)))，所以|eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(\r(2),2)))2＋eq\f(1,2)(0≤t≤1)，所以当t＝eq\f(\r(2),2)时，|eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))|最小，最小值为eq\f(\r(2),2)．(2)由题意得C(cosθ，sinθ)，m＝eq\o(BC,\s\up7(→))＝(cosθ＋1，sinθ)，则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sinθcosθ＝1－cos2θ－sin2θ＝1－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))，因为θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以eq\f(π,4)≤2θ＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，所以当2θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即θ＝eq\f(π,8)时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))取得最大值1，即m·n取得最小值1－eq\r(2)．所以m·n的最小值为1－eq\r(2)，此时θ＝eq\f(π,8)．11．(多选)引入平面向量之间的一种新运算“⊗”如下：对任意的向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，规定m⊗n＝x1x2－y1y2，则对于任意的向量a，b，c，下列说法正确的有()A．a⊗b＝b⊗a B．(λa)⊗b＝λ(a⊗b)C．a·(b⊗c)＝(a⊗b)·c D．|a|·|b|≥|a⊗b|解析：ABD设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)．A项，因为a⊗b＝x1x2－y1y2，b⊗a＝x2x1－y2y1，所以a⊗b＝b⊗a，故正确；B项，因为(λa)⊗b＝(λx1)x2－(λy1)y2＝λ(x1x2－y1y2)＝λ(a⊗b)，故正确；C项，a·(b⊗c)＝(x2x3－y2y3)a，(a⊗b)·c＝(x1x2－y1y2)c，此时a·(b⊗c)＝(a⊗b)·c不恒成立，故错误；D项，因为(|a|·|b|)2＝(eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))2＝xeq\o\al(2,1)xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,2)yeq\o\al(2,1)，|a⊗b|2＝xeq\o\al(2,1)xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)－2x1x2y1y2，所以(|a|·|b|)2－|a⊗b|2＝xeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,2)yeq\o\al(2,1)＋2x1x2y1y2＝(x1y2＋x2y1)2≥0，所以(|a|·|b|)2－|a⊗b|2≥0，且|a|·|b|≥0，|a⊗b|≥0，所以|a|·|b|≥|a⊗b|，故正确，故选A、B、D．12．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为eq\r(3)，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BP,\s\up7(→))的最大值为()A．8 B．2eq\r(3)C．4eq\r(3) D．4解析：C以D为坐标原点，AD为x轴，过D作AD的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－8,0)，B(－6,2eq\r(3))，C(－2,2eq\r(3))．圆D的方程为x2＋y2＝3，可设P(eq\r(3)cosα，eq\r(3)sinα)，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,2eq\r(3))，eq\o(BP,\s\up7(→))＝(eq\r(3)cosα＋6，eq\r(3)sinα－2eq\r(3))．故eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BP,\s\up7(→))＝2eq\r(3)cosα＋12＋6sinα－12＝4eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))≤4eq\r(3)．故选C．13．已知平面向量a＝(eq\r(3)，eq\r(3))，则与a夹角为45°的一个非零向量b的坐标可以为________．(写出满足条件的一个向量即可)解析：设b＝(x，y)，∴a·b＝eq\r(3)x＋eq\r(3)y＝eq\r(6)·eq\r(x2＋y2)·eq\f(\r(2),2)，∴eq\r(x2＋y2)＝x＋y，∴xy＝0，且b为非零向量，∴x＝1，y＝0满足题意，∴b＝(1,0)．答案：(1,0)(答案不唯一，满足b＝(x，y)，xy＝0且x2＋y2≠0的任意一个均可)14．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2CD＝3，AD＝2，若EF在线段AB上运动，且EF＝1，则eq\o(CE,\s\up7(→))·eq\o(CF,\s\up7(→))的最小值为________．解析：如图所示，以A为原点，eq\o(AB,\s\up7(→))为x轴正方向，eq\o(AD,\s\up7(→))为y轴正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))，D(0,2)，不妨设E(t,0)，F(t＋1,0)(0≤t≤2)，则eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)，－2))，eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)，－2))，∴eq\o(CE,\s\up7(→))·eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)，－2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)，－2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))＋4＝(t－1)2＋eq\f(15,4)(t∈[0,2])，∴eq\o(CE,\s\up7(→))·eq\o(CF,\s\up7(→))的最小值为eq\f(15,4)，当且仅当t＝1时取得．答案：eq\f(15,4)15．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，分别将边BC与DC等分成8份，并将等分点自下而上依次记作E1，E2，…，E7，自左到右依次记作F1，F2，…，F7，满足eq\o(AEi,\s\up7(→))·eq\o(AFj,\s\up7(→))≤2(其中i，j∈N*,1≤i，j≤7)的有序数对(i，j)共有________对．解析：以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则Eieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(i,8)))，Fjeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(j,4)，1))(其中i，j∈N*,1≤i，j≤7)，由eq\o(AEi,\s\up7(→))·eq\o(AFj,\s\up7(→))≤2得eq\f(i,8)＋eq\f(j,2)≤2，即i＋4j≤16．当j＝1,2时，i＝1,2，…，7，共2×7＝14对；当j＝3时，i＝1,2,3,4，共4对，故满足题意的有序数对(i，j)共有18对．答案：1816．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(PC,\s\up7(→))＋\f(1,2)eq\o(PQ,\s\up7(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(PC,\s\up7(→))－\f(1,2)eq\o(PQ,\s\up7(→))))＝0．(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求eq\o(PE,\s\up7(→))·eq\o(PF,\s\up7(→))的最值．解：(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．由eq\b\lc\(\rc\)(\a