2023人教版新教材高中数学B选择性必修第一册同步练习-11空间向量及其运算

2023人教版新教材高中数学B选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何

1.1空间向量及其运算

1.1.1空间向量及其运算

基础过关练

题组一空间向量概念的理解

1.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,下列说法正确的是（）

AR

A.A^=CB

B.\AA\=\AD\

C.向量而与而共线

D.向量而与而共面

2.下列关于空间向量的命题中,正确的个数是（）

①在同一条直线上的单位向量都相等;②只有零向量的模等于0；③在正方体

ABCD-ABCD中,福与国是相等向量;④在空间四边形ABCD中,而与方是相反

向量;⑤在三棱柱ABC-AiBC中,与同的模一定相等的向量一共有3个.

A.2B.3

C.4D.5

3.（2020辽宁东北育才中学月考）给出下列命题:①若将空间中所有单位向量的起

点移到同一个点,则它们的终点构成一个圆;②若空间向量”,匕满足I〃I=，则

44；③若空间向量八,p满足144=八,八=?,则3=?；④空间中任意两个单位向

量必相等；⑤零向量没有方向.其中真命题为（填序号）.

题组二空间向量的线性运算

4.（多选）（2020山东聊城模拟）已知正方体ABCD-ABCD,则下列各式运算结果是

褊的为（）

A.AB+AD+AA^B.力力;+&8；+力道；

C.AB+BC+CCiD.AB+AC+CC1

5.(2021福建厦门海沧实验中学期中)如图,在平行六面体ABCD-ABCD中,M为

AC与BD的父点,右力/1=4,A-^D-^-b,4]A=c,则B]M=()

A.-1+为+cB.ga+gb+c

C.^a-^b+cD.

6.(2021江苏南京期中)在平行六面体ABCD-ABCD中,AA^=a,AB=b,而=。，点P

在A.C上,且A.P：PC=2:3,则而=()

A.|4+|b+|cB.|〃+|b+|c

c-|〃+l以|cD-

7.化简:1S+2b-3c)+5(|*b+1c>3(a-22)=.

8.如图,ISE六棱柱ABCDEF—ABCDEE中：(1)化简研一加一曲+配+5+初,

并在图中标出化简结果对应的向量；

⑵化简反+瓦耳+丽+西+无瓦,并在图中标出化简结果对应的向量.

9.如图,在长方体ABCD-ABCD中,0为AC的中点.

⑴化简:时-观弓而；

⑵设E是棱DDi上的点且屁=|DD；,^'Ed=xAB+yAD+zAAi，试求实数x,y,z的

值.

题组三空间向量的数量积

10.(2022河北石家庄一中期末)在空间四边形ABCD

AB•W+AC-DB+AD•BC=()

A.-lB.0

C.1D.不确定

11.（2020河南郑州外国语学校模拟）如图,空间四边形ABCD的每条边和对角线长

都等于1,F,G分别是AD,CD的中点,则丽•荏=（）

A11

B.4-2-

12.（2020吉林一中阶段测试）在平行六面体ABCD-ABCD中,向量荏,AD,痂两

两的夹角均为60。，且|荏|=1,|而|=2,|丽|=3,则|斯|等于（）

A.5B.6

C.4D.8

13.（2022北京理工大附中开学考试）已知空间向量红若㈤=1,Ib|=2,c=a+b,

且〃，则向量〃与S的夹角为（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

14.（2020山西大同高级中学模拟）在长方体ABCD-ABCD中，下列计算结果一定

不等于。的是（）

A.河.瓦弓B.西・AC

C.DC・河D.丽;・瓦工；

能力提升练

题组一空间向量的线性运算

1.在空间四边形ABCD中,连接AC,BD,若4BCD是正三角形,且E为其重心,则

AB+^BC-l尻-血的化简结果是（）

A.ABB.2BD

C.0D.2DE

2.在正三棱柱ABC-ABG中，M为△ABC的重心,若荏=〃,AC=b,AA^=c,则

CM=.

题组二空间向量的数量积

3.（2020江西宜春期末）如图,空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为

a,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点，则下列向量的数量积等于a?的是（）

A.2BA•XCB.2而•DB

C.2FG•AC\）.iEF・CB

4.（多选）（2022湖北黄石二中月考）在正方体ABCD-ABCD中，有下列结论，其中

正确的有（）

A.（国+而+南尸=3荏2

B.碇•（A^-A^A）=0

C.画与砸的夹角为60°

D.正方体的体积为\AB-AA[-AD\

5.已知a|=3V2,|^|=4,m=<a+fe,八=〃+入b,<a,b>=135°,若M_1_八，则

X=.

6.如图,在AABC和4AEF中,B是EF的中点,AB=2,EF=4,CA=CB=3.若

AB•AE+AC♦AF=7,则前与玩的夹角的余弦值为

c

E

7.(2021山东德州检测)已知在平行六面体ABCD-ABCD中,AB=2,AA尸3,AD=1,且

ZDAB=ZBAA1=ZDAAI=^.

⑴求B。的长；

(2)求E与瓦5夹角的余弦值.

答案与分层梯度式解析

第一章空间向量与立体几何

1.1空间向量及其运算

1.1.1空间向量及其运算

基础过关练

1.P布与方长度相等,方向相反,故和=-函A错误;无法确定而，|刀的大小,

故B错误;而与会不是共线向量，但可以平移到同一平面上,是共面向量,故C错

误,D正确.

2.A①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它们不

一定相等;②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;③正确,何与

西的模相等，方向相同;④错误,空间四边形ABCD中,荏与万的模不一定相等,方

向一定不相反；⑤错误,在三棱柱ABC-ABG中,与可的模一定相等的向量有

基,西,瓦西,*，共5个.故选A.

3.答案③

瓦法①假命题.若将空间中所有单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点

将构成一个球面,而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义,要保证两个向

量相等，不仅模要相等,而且方向还要相同，但②中向量〃与。的方向不一定相

同.③真命题.向量的相等具有传递性.④假命题.空间中任意两个单位向量的模

均为1,但方向不一定相同，所以不一定相等.⑤假命题.零向量的方向是任意的.

4.ABC选项A中,AB+AD+AA^=AC+AA[=AC[;

选项B中,AA[+A1B[+A1D[=AA[+=可+年；=肃;

选项c中,AB+BC+CCI=AC+CC[=AC^;

选项D中,AB+AC+CCI=AB+(7c+cq)=版+肃H曲.故选ABC.

5.A~B^M=B1A[+A^A+AM=B1A[+A^A+^AC

=BM；+市(AB+AD)=~a+c+^(a+b)

=一例+伊+c.

6.

B如图,因为AiP:PC=2:3,所以下三砒，所以第=初+南=可+|审讨+|(力

初)=|痂+.=|可+|(而+砌=|可+|荏+|福又可=4,AB-b,AD=C,所以

不=|〃+|S+|c.故选B.

7.答案出步+真

解析原式=6+5X|-3)"+6X2-5XT+6)0+RX(-3)+5X|-3X(-1)]片〃+沙+%.

8.解析(1)布，萨瓦+荷+次+帝下方+靛+漏+西+方+虎=族+何+0=标+西=石.

而如图所示.

（2）反+£\F；+而+函+&E；=旗+前+而+西+B]D；=赤+而+西=0+西=西.

西如图所示.

H

9.解析(1)\'AB+AD=AC,

AB~^AD=A^O-^(JB+AD')=*一次=乖一而=承

(2)'.'EO^+DO—D^+I'DB—D^D+^CDA+AB)~A^A+^DA+^AB-AB-^AD-IAA^,

•112

••xjy=-?z=-y

10.B令布=4,AC=b,AD=C,贝！]同・CD+AC・'DB+AD.~BC=a,(c—b)+b.(“一

c)+c,(b-a)=a•c-a•b+b•a-b•c+c•b-c•4=0.

11.13由题意得而带前，所以记,盛带前•同三义1X1Xcos60°三.故选B.

12.A

I幅12=(AB+AD+AA1)2=\AB\2+\AD\2+\AA[\2+2AB•AD+2AB*初+2初•^B=l+4+9+2+3

+6=25,.,.扁|=5,故选A.

13.C设向量〃与S的夹角为9.'：c±a,：.c•4=S+b)-4=0,则

|n|2+|a|："cos9=0,Acos9=-p9=120°.

14.P如图所示：

AR

对于A,当长方体为正方体时,ADi_LBC此时可•季=0,故选项A不符合；

对于B,当长方体的底面ABCD是正方形时,AC±BD,可以推出ACJ_平面BBDD,则

BD」AC,此时西­就=0,故选项B不符合；

对于C,易知DC_LADi,所以反•可=0,故选项C不符合；

对于D,因为B£〃AD,BDi与AD分别是直角三角形BAD的斜边和直角边,二者

不可能垂直，所以Be与BDi不可能垂直,所以西•瓦百W0.故选D.

解题指导判断两个向量的数量积的结果与0的关系可转化为应用立体几何中相

关定理判断两直线是否垂直的问题.

能力提升练

1.C如图所示,取BC的中点F,则耳=就又E为正三角形BCD的重心,即DF上

靠近F的三等分点,所以|屁=赤,则同+^就一|反一方二潮+方一而一而二不+而一而=前一

AD=0.

2.答案叫子

解析如图，连接GM并延长，交AB于点D.

R

•••在正三棱柱ABC-ABG中,M为△ABG的重

心,AB=a,AC=b,AA[=C,CM=CC\+C\M=C+|C\D=C+1XI(Ci&'+CiB；)=C+g(-b+AB-

AC)=C+i“+〃-勿=C+沙.

3.C由题意可知,＜就就＞=＜而,据＞=(丽方＞=120。，.，.2威•就=2国|宿cos

120°=-a2,2AD-DB=2\AD\\DB\COS120°=-a?.=E,F,G分另!]是AB,AD,DC的中

点...FG〃AC且FG=|AC,EF〃BD且

EF=|BD,/.2rc•^c=xc2=a2,2EF,~CB=BD,CB=|BD||CB|COS120°=-ja2.故选C.

4.AB(JAI+AD+AB')2=(初+4—；+。3；)2=AC^=3AB2,故A正确;

年・(4/；-而)=^c・画=(^B+BC),诟了碰•AB[+BC•画=0,故B正确;

可与砧的夹角是“与用夹角的补角,而AACD为正三角形,所以乖与小的夹角

为60°，故石与下的夹角是120。，故C错误；

正方体的体积为I同II丽II前I,故D错误.

5.答案-|

解析

Va\=3V2,|^|=4,i^\=a+b,in=a+Ab,＜a,b＞=135°,'.w\•n.=(a+b)•(〃+入。)=

储+(入+1)。•S+入，=(3⑸2+(入+i)*3或X4cos135°+XX42=0,BP4X+6=0,

解得人=-j.

6.答案!

解析由题意得就2=9=(就-砌2=#+/一2就•AB=9+4-2AC•AB,所以无,AB=2.由

AB,AE+AC•AF=7,可得

AB.(而+前)+AC・(AB+JF)=AB2+AB•~BE+AC•AB+AC•BF=4+AB・(-

BF)+2+AC・BF=6+FF,(AC-AB)=6+1EF・BC=7.所以说.BC=2,BP

4X3XCOS<EF,BC>=2,所以COS<FF,BC>~.