2024届陕西省安康市中考一模数学试题含解析

2024届陕西省安康市名校中考一模数学试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.三个等边三角形的摆放位置如图，若N3=60。，则N1+/2的度数为（）

C.270°D.360°

V2D.这

V2

3.如果3。2+5“一1=0,那么代数式5a（3a+2）-（3a+2）（3a—2）的值是（）

A.6B.2C.-2D.-6

4.如图，直线a〃b,直线c分别交a,b于点A,C,NBAC的平分线交直线b于点D,若Nl=50。，则N2的度数是

（）

A.50°B.70°C.80°D.110°

5.。邦，函数y=@与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）

X

6.如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC,AE,则——的值是（）

AC

A.1B.72C.2D.6

7.如图，OO与直线h相离，圆心O到直线h的距离OB=26,OA=4,将直线h绕点A逆时针旋转30。后得到

D.4

8.多项式ax?-4ax-12a因式分解正确的是()

A.a(x-6)(x+2)B.a(x-3)(x+4)C.a(x2-4x-12)D.a(x+6)(x-2)

9.甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好都是L6米，方差分别是，，则在

本次测试中，成绩更稳定的同学是（）

A.甲B.乙C.甲乙同样稳定D.无法确定

10.如图，AB〃CD,直线EF与AB、CD分别相交于E、F,AM_LEF于点M,若NEAM=10。，那么NCFE等于（）

B

cIFD

A.80°B.85°C.100°D.170°

11.下列计算正确的是（）

A.a3*a3=a9B.（a+b）2=a2+b2C.a24-a2=0D.（a2）3=a6

12.如图，CD是。O的弦，O是圆心，把。O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，NCAD=1（）（）。，则NB

A.100°B.80°C.60°D.50°

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，在。中，AB为直径，点C在一：0上，NACB的平分线交00于D,则NABD=

14.一个n边形的每个内角都为144。，则边数n为.

15.有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点..6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现

的点数是素数的概率是.

16.因式分解4X—X3=.

17.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点，点A的坐标是（3,0）,点C的坐标是（0,

-3）,动点尸在抛物线上.b=点8的坐标为;（直接填写结果）是否存在

点尸，使得AACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，说明理由；

过动点尸作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点O,过点。作x轴的垂线.垂足为尸，连接EF,当线段EF的长度

最短时，求出点尸的坐标.

18.1017年11月7日，山西省人民政府批准发布的《山西省第一次全国地理国情普查公报》显示，山西省国土面积

约为156700kml该数据用科学记数法表示为km1.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m,200m,4（）（）m（分别用A1、A2,

A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用当、B?表示）.

（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为；

（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个

径赛项目的概率.

20.（6分）平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax?+bx+3与y轴相交于点C,与x轴正半轴相交于点A,

OA=OC,与x轴的另一个交点为B,对称轴是」直线x=L顶点为P.

（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；

（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点M,求NPMC的正切值一；

（3）点Q在y轴上，且ABCQ与△CMP相似，求点Q的坐标.

21.（6分）我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表

队和高中代表队参加学校决赛.两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示.

卜分数

□

100……初中部

90■.口部根据图示填写下表；

80

70

b1」丁左手编号

平均数（分）中位数（分）众数（分）

初中部85

高中部85100

（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选

手成绩较为稳定.

22.（8分）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60。后得

至！JCE,连接AE.求证：AE〃BC.

23.（8分）阅读下列材料，解答下列问题:

材料1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式.如果把整式的乘法看成一

个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程.

公式法(平方差公式、完全平方公式)是因式分解的一种基本方法.如对于二次三项式。2+2谛+/，可以逆用乘法公式

将它分解成(。+方)2的形式，我们称。2+2成+加为完全平方式.但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平

方了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：

x2+2ax-3a2

=x1+2ax+a2-a2-3a2

=(x+a)2-(2a)2

=(x+3a)(x-a)

材料2.因式分解：(X+J)2+2(x+y)+1

解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A,则

原式=42+24+1=(A+1)2

再将“A”还原，得：原式=(x+j+1)2.

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：

(1)根据材料1,把c2-6c+8分解因式；

(2)结合材料1和材料2完成下面小题：

①分解因式：(a-b)2+2(a-b)+1；

②分解因式：(tn+n)(.m+n-4)+3.

24.(10分)如图，经过原点的抛物线y=-x2+2mx(m>0)与x轴的另一个交点为A,过点P(l,m)作直线PA_Lx

轴于点M,交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(点B、C不重合)，连接CB、CP.

(I)当m=3时，求点A的坐标及BC的长；

(II)当m>l时，连接CA,若CAJ_CP,求m的值；

(III)过点P作PELPC,且PE=PC,当点E落在坐标轴上时，求m的值，并确定相对应的点E的坐标.

25.(10分)如图，AABC的顶点坐标分别为A(1,3)、B(4,1)、C(1,1).在图中以点O为位似中心在原点的

另一侧画出△ABC放大1倍后得到的△AIBICB并写出Ai的坐标；请在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90。后得

到的△AiBiCi.

%

26.（12分）如图，在△ABC中，ZC=90°,NBAC的平分线交BC于点D,点O在AB上，以点O为圆心，OA为

半径的圆恰好经过点D,分别交AC、AB于点E.F.试判断直线BC与。O的位置关系，并说明理由；若BD=2.不

BF=2,求。。的半径.

C

27.（12分）有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由

甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解析】

先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60。，用NLN2,N3表示出△ABC各角的度数，再根据三角

形内角和定理即可得出结论.

【详解】

,图中是三个等边三角形，Z3=60°,

:.NABC=180°-60°-60°=60°,ZACB=180°-60°-Z2=120°-Z2,

ZBAC=180°-60°-Zl=120°-Zl,

VZABC+ZACB+ZBAC=180°,

360°+(120°-Z2)+(12O°-Z1)=180°,

.•.Zl+Z2=120°.

故选B.

【点睛】

考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60。是解答此题的关键.

2、C

【解析】

根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案.

【详解】

I-逑|=逑，A错误；

22

|一1|=立，B错误；|迪|=£1,D错误；

3322

|—|=—,故选C.

33

【点睛】

本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的概念进行解题.

3、A

【解析】

【分析】将所求代数式先利用单项式乘多项式法则、平方差公式进行展开，然后合并同类项，最后利用整体代入思想

进行求值即可.

【详解】V3a2+5a-l=0,

:.3a2+5a=l,

:.5a(3a+2)-(3a+2)(3a-2)=15a2+10a-9a2+4=6a2+10a+4=2(3a2+5a)+4=6,

故选A.

【点睛】本题考查了代数式求值，涉及到单项式乘多项式、平方差公式、合并同类项等，利用整体代入思想进行解题

是关键.

4、C

【解析】

根据平行线的性质可得NBAD=NL再根据AD是NBAC的平分线，进而可得NBAC的度数，再根据补角定义可得

答案.

【详解】

因为a〃b,

所以Nl=NBAD=50°,

因为AD是NBAC的平分线，

所以NBAC=2NBAD=100°,

所以N2=180°-NBAC=180°-100°=80°.

故本题正确答案为C.

【点睛】

本题考查的知识点是平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等.

5、D

【解析】

分a>0和a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项

【详解】

当a>0时，函数y=2的图象位于一、三象限，y=-ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，

X

当aVO时，函数丫=巴的图象位于二、四象限，y=-ax?+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；

x

故选D.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度

不大.

6,B

【解析】

连接AG、GE、EC,易知四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质即可求解.

【详解】

解：连接AG、GE、EC,

则四边形ACEG为正方形，故一1=血.

AC

故选：B.

【点睛】

本题考查了正多边形的性质，正确作出辅助线是关键.

7、B

【解析】

先利用三角函数计算出NOAB=60。,再根据旋转的性质得NCAB=30。,根据切线的性质得OC_LAC,从而得到NOAC

=30。，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可得到OC的长.

【详解】

解：在RtAABO中，sinZOAB=—=,

OA42

.".ZOAB=60°,

•••直线h绕点A逆时针旋转30。后得到的直线h刚好与。O相切于点C,

...NCAB=30。，OC±AC,

o

.".ZOAC=60°-30=30°>

*aI

在RtAOAC中，OC=-OA=1.

2

故选B.

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系：设OO的半径为r,圆心O到直线1的距离为d,则直线I和。。相交ud<r；直线

1和。O相切ud=r；直线1和。O相离5>r.也考查了旋转的性质.

8,A

【解析】

试题分析：首先提取公因式a,进而利用十字相乘法分解因式得出即可.

解：ax2-4ax-12a

=a(x2-4x-12)

=a(x-6)(x+2).

故答案为a(x-6)(x+2).

点评：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键.

9、A

【解析】

根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数

据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

【详解】

TS单2=1.4,Sz,2=2.5,

.♦.S单2Vsz2,

二甲、乙两名同学成绩更稳定的是甲；

故选A.

【点睛】

本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越

大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳

定.

10、C

【解析】

根据题意，求出NAEM,再根据AB〃CD,得出NAEM与NCFE互补，求出NCFE.

【详解】

VAM1EF,ZEAM=10°

:.ZAEM=80°

又TAB〃CD

:.ZAEM+ZCFE=180°

.•.ZCFE=100°.

故选C.

【点睛】

本题考查三角形内角和与两条直线平行内错角相等.

11、D.

【解析】

试题分析：A、原式=a3不符合题意；B、原式=a?+2ab+b2,不符合题意；

C、原式=1,不符合题意；D、原式=a6,符合题意，

故选D

考点：整式的混合运算

12、B

【解析】

试题分析：如图，翻折AACD,点A落在A，处，可知NA=NA，=100。，然后由圆内接四边形可知NA，+NB=180。，解

得NB=80。.

故选：B

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1

【解析】

由AB为直径，得到NACB=90，由因为CD平分NACB,所以/ACD=45，这样就可求出/ABD.

【详解】

解：AB为直径，

.•./ACB=90,

又CD平分/ACB,

.•2ACD=45，

.•./ABD=/ACD=45.

故答案为L

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的

一半•同时考查了直径所对的圆周角为90度.

14、10

【解析】

解：因为正多边形的每个内角都相等，每个外角都相等，根据相邻两个内角和外角关系互补，可以求出这个多边形的

每个外角等于36。，因为多边形的外角和是360。，所以这个多边形的边数等于360。+36。=10,

故答案为：10

【解析】

先判断掷一次骰子，向上的一面的点数为素数的情况，再利用概率公式求解即可.

【详解】

解：•••掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为素数的有2,3,5共3种情况，

掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为素数的概率是：43=-1.

62

故答案为：—.

2

【点睛】

本题考查了求简单事件的概率，根据题意判断出素数的个数是解题的关键.

16、-x(x+2)(x-2)

【解析】

试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再

观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式.因此，

先提取公因式-X后继续应用平方差公式分解即可：4x—x3=-X卜2—4)=-x(x+2)(x—2).

17、(1)-2,一3,(-1,0)；(2)存在P的坐标是(1，-4)或G2,5)；(1)当EF最短时，点P的坐标是：(竺叵，

2

32-V103

222

【解析】

(1)将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得。、c的值，然后令尸0可求得点5的坐标；

(2)分别过点C和点4作AC的垂线，将抛物线与P2两点先求得AC的解析式，然后可求得PC和的解析

式，最后再求得P1C和PM与抛物线的交点坐标即可；

(1)连接先证明四边形OEQF为矩形，从而得到。。=ER然后根据垂线段最短可求得点。的纵坐标，从而得

到点尸的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点尸的坐标.

【详解】

c=-3

解：（1）•.•将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：c°,C

9+3/?+c=0

解得：h=-2,c=-1,

二抛物线的解析式为y=x2-2x-3.

,•,令》2一2%一3=0,解得：*=-1,%=3,

•••点8的坐标为（-1,0）.

故答案为-2：-1；（-1,0）.

（2）存在.理由：如图所示：

①当NACPi=90。.由（1）可知点4的坐标为（1,0）.

设AC的解析式为尸质-1.

••,将点A的坐标代入得1k-1=0,解得k=l,

•••直线AC的解析式为片x-L

•••直线CP的解析式为产7-1.

•.•将y=-x-l与y=f—2x—3联立解得芭=1,%=°（舍去），

.,.点Pi的坐标为（1,-4）.

②当NPMC=90。时.设APi的解析式为y=-x+b.

•将x=Ly=0代入得：-1+^=0,解得。=1,

二直线AP2的解析式为y=-x+l.

,将y=-x+1与y=f—2x-3联立解得再=-2,x2=i（舍去）,

二点尸2的坐标为（-2,5）.

综上所述，尸的坐标是（1,-4）或（-2,5）.

（1）如图2所示：连接00.

由题意可知，四边形。五。E是矩形，则0〃=EF.根据垂线段最短，可得当0D_LAC时，0。最短，即Ef最短.

由（1）可知，在R/A40c中，'：OC=OA=\,ODLAC,

••.O是AC的中点.

5L,：DF//OC,

13

：.DF=-OC=-,

22

.•.点尸的纵坐标是-巳3，

2

/.X2-2X-3=--,解得:x=2土回,

22

...当Ef■最短时，点尸的坐标是：（2+匹,一3）或（2二叵,_2）.

2222

18、1.267X102

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中iw|a|V10,n为整数.确定n的值是易错点，由于126700有6位，所以

可以确定n=6-1=2.

【详解】

解：126700=1.267x102.

故答案为1.267x1（）2.

【点睛】

此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

23

19、(1)-;(2)-.

【解析】

(1)由5个项目中田赛项目有2个，直接利用概率公式求解即可求得答案；

(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的情况,

再利用概率公式即可求得答案.

【详解】

2

(1)..七个项目中田赛项目有2个，，该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：y.

2

故答案为二；

(2)画树状图得：

开始

A.4As

A；A]A?8-A,A2A3B：

A24B,B2A：4B.

•••共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的有12种情况，.•.恰好是一个田赛项目和一个径赛

123

项目的概率为：—=7-

205

【点睛】

本题考查了用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适

合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

20、(1)(1,4)(2)(0,1)或(0,-1)

2

【解析】

试题分析：(1)先求得点C的坐标，再由OA=OC得到点A的坐标，再根据抛物线的对称性得到点B的坐标，利用

待定系数法求得解析式后再进行配方即可得到顶点坐标；

(2)由OC〃PM,可得NPMC=NMCO,求tanNMCO即可；

(3)分情况进行讨论即可得.

试题解析：(1)当x=0时，抛物线y=ax?+bx+3=3,所以点C坐标为(0,3),.*.OC=3,

VOA=OC,，OA=3,.,.A(3,0),

,:A、B关于x=l对称,AB(-1,0),

■:A、B在抛物线y=ax?+bx+3上，

9“+3Z?+3=0\a=—1

・•・、।f•・•s,

a—b+3=0\b-1

•••抛物线解析式为：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

二顶点P(b4)；

(2)由(1)可知P(1,4),C(0,3),所以M(1,0),，OC=3,OM=L

VOC//PM,.,.ZPMC=ZMCO,

.，,OM1

/.tanZPMC=tanZMCO=——=-；

OC3

(3)Q在C点的下方，NBCQ=NCMP,

CM=Vl(j,PM=4,BC=V10,

--B-C-=-C--M--B--C=--C-M-

"CQPMCQPM，

5一

，CQ=一或4,

2

.,•Qi(0,-),Q(0,-1).

22

21、(1)

平均数（分）中位数（分）众数（分）

初中部858585

高中部8580100

(2)初中部成绩好些(3)初中代表队选手成绩较为稳定

【解析】

解：(1)填表如下：

平均数(分)中位数(分)众数(分)

初中部858585

高中部8580100

(2)初中部成绩好些.

•••两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，

二在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些.

(3)v：=(-5-85):+(80-85):-(85-85):+(85-85):-(100-85):=.0,

S,冲以2=-85¥+(100-85¥+Q00-85)2+(75-85>+(80-85>=160,

问中队(70

.•.S初中队2Vs高中队2,因此，初中代表队选手成绩较为稳定.

(1)根据成绩表加以计算可补全统计表.根据平均数、众数、中位数的统计意义回答.

(2)根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可.

(3)分别求出初中、高中部的方差比较即可.

22、见解析

【解析】

试题分析:根据等边三角形的性质得出AC=BC,NB=NACB=60。,根据旋转的性质得出CZ)=CE,NOCE=60。,求出

NBC0=NACE,根据SAS推出ABCDgA4CE,根据全等得出NE4C=N8=60。,求出NEAC=NAC8,根据平行线的判定

得出即可.

试题解析:•••△ABC是等边三角形，

：.AC=BC,ZB=ZACB=60°,

•.,线段CD绕点C顺时针旋转60。得到CE,

：.CD=CE,NDCE=60。,

:.NOCE=NAC3,即ZBCD+ZDCA=ZDCA+ZACE,

:.NBCD=NACE,

在4BCD与△ACE中,

BC^AC

</BCD=NACE,

DC=EC

:.4BCD义AACE,

.：/AC=4=60。,

.".^EAC=^ACB,

•：AE〃BC.

23、(1)(c-4)(c-2)；(2)①(a-b+1)2；②(m+n-1)(m+n-3).

【解析】

(1)根据材料1,可以对c2-6c+8分解因式；

(2)①根据材料2的整体思想可以对(a-b)2+2(a-b)+1分解因式;

②根据材料1和材料2可以对(m+n)(m+n-4)+3分解因式.

【详解】

(1)c2-6c+8

=C2-6C+32-32+8

=(c-3)2-1

=(c-3+1)(c-3+1)

=(c-4)(c-2)；

(2)①(a-b)2+2(a-b)+1

设a-b=t,

则原式=t?+2t+l=(t+1)2,

则(a-b)2+2(a-b)+1=(a-b+1)2；

②(m+n)(m+n-4)+3

设m+n=t,

则t(t-4)+3

=t2-4t+3

=t2-4t+22-22+3

=(t-2)2-l

=(t-2+1)(t-2-1)

(t-1)(t-3),

则(m+n)(m+n-4)+3=(m+n-1)(m+n-3).

【点睛】

本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解.

3

24、(I)4；(II)-(III)(2,0)或(0,4)

2

【解析】

(I)当m=3时，抛物线解析式为y=-x2+6x,解方程-x2+6x=0得A(6,0),利用对称性得到C(5,5),从而得到BC

的长；

(II)解方程-x2+2mx=0得A(2m,0),利用对称性得到C(2m-l,2m-l),再根据勾股定理和两点间的距离公式得

到(2m-2)2+(m-1)2+12+(2m-l)2=(2m-l)2+m2,然后解方程即可；

(III)如图，利用△PME丝△CBP得到PM=BC=2m-2,ME=BP=m-l,则根据P点坐标得到2m-2=m,解得m=2,

再计算出ME=1得到此时E点坐标;作PH±y轴于H,如图，利用APHE^APBC得到PH=PB=m-l,HE=BC=2m-2,

利用P(1,m)得到m-l=L解得m=2,然后计算出HE，得到E，点坐标.

【详解】

解：(I)当m=3时，抛物线解析式为y=-