2021年新高考数学解答题满分1

专题1.16导数-不等式的证明

考向解读

i.高考对本部分的考查一般有三个层次：

(1)主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；

(2)导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；

(3)综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将

导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.

2.利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式/(x)>g(x)(或/(x)<g(x))转化为证明

f(x)-g(尤)>0(或“X)-g(x)<0),进而构造辅助函数〃(x)=/(x)—g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助

函数.

最新模拟题赏析

1.已知函数/。)=d-加+1(“为常数).

(1)若曲线y=/(x)在x=l处的切线方程为丁=陵+2,求。，。的值；

(2)讨论函数广函数的单调性；

(3)当a=l,%>0时，求证：/(x)>(e-2)x+2.

【试题来源】2021届高三数学二轮复习

【答案】(1)«=1,b=e-2；(2)答案见解析：(3)证明见解析.

【分析】(1)算出曲线y=/(x)在x=l处的切线方程，然后与丁=及+2比较系数即可;

(2)分aW0和a>0讨论即可;(3)构造函数。(x)=f(x)-(e-2)x-2=ex-x2-(e-2)x-l,

利用导数证明。(x)二。即可.

【解析】(1)=ex—lax,f(1)=e—2a,f(1)=e-a+\)

二曲线y=/(x)在X=1处的切线方程为y-e+a-l=(e-2a)x-e+2a,

即y=(e-2a)x+“+l,由题意：e—2a=b,a+l=2,\a=l,b-e—2；

(2)1/f'(x)=ex-2ax,设九(x)=f'(x),〃'(x)=ex-la,

当时，〃(x)>0在R上恒成立；

当a>0时，令"(x)>0,即e*-2a>0，解得x>ln(2a),

令〃(x)<0,即2a<0,解得x<ln(2a).

综上所述，当a40时，函数/(x)在R上单调递增；

当。>0时，函数/'(X)在(ln(2a),+8)上单调递增，在(y,ln(2a))上单调递减.

(3)证明:=f(x)-(e-2)x-2=ex-(e-2)x-i,

则”(x)=ex-2x-(e-2),令t(x)="(x),

则"x)=er-2,令f'(x)<0得0<x<ln2令r'(x)>0得x>ln2,

.■.r(x)="(x)在(0,ln2)上单调递减，在(In2,+8)上单调递增

t(0)="(0)=3-e>0,t(1)="⑴=0,0<In2<1,

.■/(In2)="(In2)<0,/.存在/e(0,1)使f(玉))="(％)=0,

且当xw(0,%)或xe(1,+oo)时，t(x)="(x)>0,

当xe(x0,1)时，t(x)="(x)<0,

.•.0(x)在(0,x0)上递增，在&,1)上递减，在(L”)上递增，

又。(0)=。(1)=0,所以有：0(x)NO,HP/(x)-(e-2)x-2>0,

/(x)>(e-2)x+2.

【名师点睛】证明不等式/(x)>g(x)或/(x)<g(x)转化为证明/(x)-g(x)>0或

/(%)-g(x)<0,进而构造辅助函数用(x)=/(x)-g(x).

2.已知函数/(1)=6*-6一1(。@/?).

(1)求函数/(X)的单调递增区间；

(2)若对一切实数xwR,都有/(%)..0恒成立，求”的取值范围.

(3)求证：(')”+(2)”+…+(^~-)1'+(―)"<—^―,tieN*.

nnnne—\

【试题来源】2021届高三数学二轮复习

【答案】(1)答案见解析；(2)1；(3)证明见解析.

【解析】(1)由f'(x)=e*-a,

①当4,0时，显然f'(x)=ex-a..O：

②当a>0时，由/'(x)=0得x=lna,显然当x>lna时，f'(x)>0；

所以当a,,()时，/(x)在R上单调递增；

当a>0时，f(x)在(lna,+o。)上递增；

(2)由(1)知，当a,,0时，f(x)递增，且/(—1)=1+。—1<0,不合题意，舍去.

e

当a>0时,由(1)知，当(<lna时,f\x)<0,当尤>lna时,f'(x)>0

所以当x=lna时，/(x)有极小值也是最小值，即/(%)加“=/(lna)=a-alna-l,

依题意a-alna-1..0,…①

再令g(a)—a-a\na-\,a>0.则g'(a)=-lna,

于是g'(a)=0时，a=\,

同理知肖a=l时，g(a)有极大值也是最大值，

所以g(a)”g(1)=0…②

比较①②式可得，8(a)=0，即a=l为所求.

(3)由(2)知对VxeR,有e*..x+l,

于是令彳=一」,〃6乂,，€%工,〃，则有e：四一人=^^0

〃nn

即有1..(二)",即出二Dl.e-；(当且仅当i=0时取等号)

nnn

所以有(-)-+(2)“+...+(―)-+(-)-<(-)n-'+(1)"-2+...+(1)'+(3°=^4

nnnneeee1-e

即(-)"+(-)"+…+(—)n+(-)"<匕:<—i-r=—,即证.

nnnn1-e1-ee-1

【名师点睛】解决/(尤)-0恒成立问题一般转化为/(X)mi-0；

关键点【名师点睛】第三问只需让左边的通项小于右边的通项，借助于题目中的不等式进行

赋值，转化为"斗”二是关键.

n

3.己知函数/i(%)=地0.

ax

(1)讨论函数/(%)的单调区间;

(2)若当。=1时，F(x)=2f(x)e/")+2,求证：F(x)>0.

x

【试题来源】江西省重点中学协作体(鹰潭一中、上饶中学等)2021届高三下学期第•次

联考

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)对函数f(x)求导，分。>0和。<0两种情况，结合函数的定义域得出函数的

InX

单调性；(2)要证F(x)>0,由于尤>0,即证21nxe'7+9>0•令

Inx

w(x)=2Inxev+9(x>0),对函数求导并化简，构造人(％)=(1-皿力111%+%二次求导，

令分子为奴x)=x-21nx+l,利用导数判断出单调性和最小值，得出函数/z(x)的单调性，

由零点存在定理知极小值即为最小值，利用导数判断出最小值的范围，命题得证.

【解析】(I)/(幻=1-叫4),

ax1

当。>0,定义域为(0,+8),令/'(幻>0,得0<x<g,r(x)<0得x>g

aa

f\x)在(o,二]单调递增，在(£,+oo]单调递减

ka){aJ

当a<0,定义域为(F,0),令/'(x)>0,得无<刍，/'(x)<0得刍<x<0

aa

..・/(X)在卜CO,5)单调递增，在0)单调递减

(2)要证F(x)>0,•.♦X>0,即证21nxe?+9>().

Inx

令m(x)=2Inxer+9(x>0”则

Inx

1-lnx-12e工

m'(x)=2ex-------lnx+2e**—=——[Inx(l-Inx)+x],

xxx

、“i\ziiM…、12Inx.x-21nx+l

设〃(x)=(l—lnx)lnx+x,则%(x)=-----------+1=---------------,

xxx

2r-2

^^(x)=x-21nx+l,其中x〉0,(p\x)=1一一=——

xx

当0<xv2时，*(x)<0,此时函数以幻单调递减;

所以，磔x)min=9⑵=3-21n2>0,则对任意的x>o，h\x)>0,

所以，函数〃(x)在(0,+8)上为增函数，

因为=—+/z(l)=l>0,由零点存在定理可知，存在

/、/、lnx1

使得力(与)=(1-111尤0)111鼠+占=。,可得丁n=.

当0<%<玉)时，h(x)<0,即9(x)<0,此时函数为>)单调递减;

当x>x()时，h{x}>0,即F(x)>0,此时函数/。)单调递增.

屿](]g

nx,,}nx2

m(x)min=m(xo)=2e与Inx0+9=2e'~Inx0+9=Inx02e'°~+——

J_o2—9

令/=e(—ln2,0),p(t)=2e'-2+-,〃'(7)=-------e'-'一--<0,

t(/-I)2r

则函数p⑺在re(Tn2,0)时单调递减,

__'―9,、

所以，〃(/)<p(—ln2)=2eS2+2------------<o,所以，m(x)inin=/n(x0)>0

In2

因此，对任意的x>0,m(%)>0,即尸(x)>0.

4.已知函数/(x)=>"+",曲线y=/(x)在点处的切线方程为产区+5.

x

(1)求“，b的值；

(2)证明：(e*-1卜2犷(%)一2.

【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练

【答案】(Da=3,h=-2；(2)证明见解析.

【分析】(1)根据切线方程，可得f(D=5+b,f'm=b,对/(x)求导，根据导数的几何

意义，可得了'⑴表达式，将尸1代入/a),可得/(I),即可求得。，〃的值；

(2)将题干条件(e'-l)x>#(x)-2等价于xe*—x—lnx-120，设

g(x)=xex-x-lnx-l(x>0),求导可得g'(x)=(x+1)(e*——,设〃(x)=e'」(x>0),

x

可得//(x)的零点斗即可得g(x)的单调区间和极值点，进而可得g(x)的最小值

g(玉)，化简整理，即可得证.

【解析】(1)由切线方程可得/⑴=5+。，f'(l)=b.

/(x)定义域为(0,+8)，f'(x)=1一"Mx

X

所以/⑴=。=5+6,尸(1)二1一。=〃，解得〃=3,b=-2.

(2)(e*-l)x>#(x)-2等价于xe^-x-lnx-l^O.

设g(x)=xe*-x-Inx-l(x>0),则g'(x)=(x+1)^ev--j.

设/z(x)=eJ'(x>0),则函数〃(x)=e'—,在(0,*»)单调递增，

XX

因为〃(；)="_2<0，"(D=e-l>0,所以存在唯一为,使〃(xJ=O.

因为g'(x)符号与e'—g符号相同，所以当xe(O,不)时，g'(x)<0,

当xe(xi，+oo)时，g'(x)>0.

故g(x)在(O,xJ单调递减，在(西,+o。)单调递增.

所以当X=X|时，g(x)取得最小值g(xj,

由/2(Xi)=0得e*1=工，从而lnX|=f,

故g(x)2g(xJ=X[e"-玉-In%-1=0.所以(e*-1卜2犷(幻一2.

【名师点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求切线方程、单调性、极(最)值的方法，并

灵活应用，难点在于需找到/z(x)=e、-L的零点，可得g(x)的极值点，进而求得g(x)的

x

极小值，即为最小值，即可得证，考查计算化简，转化化归的思想，属中档题.

5.已知函数/(x)=2x+ln(2x-l).

(1)求/(力在x=l处的切线方程；

(2)求证：/(x)<(2x-l)e2v-'(e为自然对数的底数).

【试题来源】陕西省西安市八校2021届高三下学期第二次联考

【答案】(1)4x—y—2=0；(2)证明见解析.

【分析】(1)求出/(1)、/'(1)的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；(2)令t=2x—l,

构造函数g(r)=加'―/-lnr—1,利用导数计算得出8“%“=0,即可证得不等式成立.

2

【解析】(1)•・•/(x)=2x+ln(2x-l),.•./(月=2+-------，则/⑴=2,⑴=4,

所以，曲线y=/(x)在x=l处的切线方程为y—2=4(》一1),即4x-y-2=0；

(2)令f=2x—l>0,要证〃x)W(2x-l)e2'T,即证f+1+lnd以，其中£>0,

构造函数g(r)=rdT-lnr-l,其中/>0,g，(r)=(f+l)d+=«+卜一;1.

令=其中r>0,则e'(f)=e'+”>0,所以，函数在(0,+“)上单调递

增.因为夕(：)=右一2<0,0⑴=e-l>0,

(1、1

所以，存在,使得9(fo)=e'。一1=0,即常。=1,

当0<f<f°时，夕”)<0,即g'(r)<0,此时函数g«)单调递减；

当时，6。)>0,即g'(r)>0,此时函数g(。单调递增.

，a

所以，g(Omin=g«o)=年'"Tne'。—InJ—1=年'。-In(toe)-l=l-l=O,

故所证不等式成立.

6.已知函数/(x)=ae、+sinx+x,xe[0,7r].

(1)证明：当。=一1时，函数/(x)有唯一的极大值点；

(2)当一2<a<0时，证明：f(x)<7r.

【试题来源】江苏省百师联盟2021届高三下学期3月摸底联考

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】⑴求得广(可，利用导数分析函数/(》)的单调性，结合零点存在定理可证得结

论成立；⑵构造函数&(x)=ae*+sinx+x-〃，利用导数证得可)却<0,即可证得

结论成立.

【解析】⑴当。=一1时，/(x)=x+sinx-e"/'(x)=l+cosx-e”,

因为xe［(),;r］,所以1+cosx^O,

令g(x)=l+cosx—e*,g,(x)=-ev-sinx<0,所以g(x)在区间［(),4］上单调递减.

,.,g(0)=2-l=l>0,g⑺=_/<0,

所以，存在不€(0,乃)，使得71'(%)=0,

且当0<》<不时，/'(x)>0：当Xo<x<;r时，/,(x)<0.

所以函数/(x)的递增区间是［0,小］,递减区间是［七,司.

所以函数/(x)存在唯一的极大值点升；

(2)当-2<a<0时，令〃(x)=ae'+sinx+x-%,则〃'(x)=ae*+cosx+l,

〃"(x)=m=sinx<0,所以,函数”(x)在区间［0,句上单调递减，

因为//'(())=a+2>0,〃'(乃)=馥"<0,

所以，存在，€(0,")，使得“(。=0,即ae'+cosr+l=0，

且当0cx<Z■时，/?/(x)>0；当t<x<4时，

所以函数人卜)在区间［00上是递增函数，在区间［。句上是递减函数.

'(x)111ax=h(t^=ae'+sint+t—7T,te.(0,TT),

因为ae'+cos/+1=0>只需证夕(。=sint—cos/+/—1—%<。即uj,

0'(7)=cosf+sin/+l=sinf+(l+cosf)>0,

所以，函数0。)在区间(0,乃)上是增函数，0(。<0(乃)=0,即/(%)<乃.

7.已知函数,f(x)=l+(a+l)x+lnx.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

（2）对任意x〉0,求证：-~-+l+（a+l）x＞/（JC）.

【试题来源】1号卷A10联盟2021届高三开年考

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）求导/（x）=a+l+」="8f■，分和"T,分别令/'（x）＞0.

/、7PX

/'(x)<0求解.(2)将不等式。+l+(a+l)x〉/(x)，转化为4.±—lnx>0,令

xeex

g（X）=2.《—InX,用导数法证明g（x）,，丽＞0即可.

ex

【解析】（1）由题意得，/（X）的定义域为（0,+8），/（x）=a+]+L（4+l）x+l

XX

当42一1时，/'（x）＞0恒成立，所以/（X）在（0,”）上单调递增.

1

当a＜—1时，令/”（x）＞0,解得x＜-——；令/'（x）＜0,解得x>-----

。+1

所以“X）在0,一白上单调递增，在-+8）上单调递减.

2eJ2ex

(2)要证—^~+l+(a+l)x>/(x),即证w---Inx>0-

*/\2eA,/\2(x—l)eA-e2x

令g(x)=T----E光，则ng(tx)=-^——-----.

exex

令r(x)=2(x-l)e*-e?x,则r(x)=2xeA-e2,

易得/(x)在(0,+“)上单调递增，且/(l)=2e-e2<0,r(2)=3e2>0,

所以存在唯一的实数4e(l,2),使得r'(%)=0,

所以《X)在(0,天)上单调递减，在(小,”)上单调递增.

因为r(0)<0,r(2)=0,所以当r(x)>0时,x>2；当外(无)<0时,0cx<2,

所以g（尤）在（0,2）上单调递减，在（2,+8）上单调递增，所以g（x"g（2）=l-ln2＞0.

2ex2ev、

综上，—----Inx>0»即--+l+(6f+l)x>/(^)-

exxe

【名师点睛】利用导数证明不等式，常构造函数*(X),将不等式转化为Mx)>o(或<0)的形

式，然后研究夕(X)的单调性、最值，判定以x)与0的关系，从而证明不等式.

2

8.已知函数/(x)=一丁为R上的偶函数.

c+ae

(1)求。的值，并求出/(x)的最大值；

(2)若对任意zR恒成立，求实数2的取值范围；

(3)设p,q>0,且p+q=l，求证：

【试题来源】黑龙江省哈尔滨市哈尔滨第三中学2020-2021学年高三下学期第一次模拟

【答案】⑴«=1,“X)的最大值为1；(2)2<-1；(3)证明见解析.

【解析】(I)因为函数f(x)=2为R上的偶函数，所以

e+ae

22

/(-I)=-----=/(l)=---r-y-即e~l+ae=e+ae~'>所以a=l,

e+aee+ae

2

f(x)=-——因为ex+e-x>2,当且仅当e'=er即尤=0时等号成立，

e+e

所以/(x)的最大值为1.

(2)由题意知，V4X2,恒成立,只需/U241nJ恒成立,

eA+e~xe'+e'A

设g(x)=忒2-In2+In(e*+,

由于g(x)为偶函数，只需这0时g(尤)<。，而g(0)=0，

g'(xm+2/lx，g'(0)=0，

e+e

…，、八e'_e',ci、，=--------+22=———----+22<1+22

加(x)=/h+2"」(e'+e-yT^+^+2，

①当/l4-g时，m,(x)<0,对Vx>0.g'(x)单调递减，

Vx>0,g'(x)Og'(0)=0,对Vx>0,g(x)单调递减,

所以VxNO,g(x)〈O恒成立.

②当；INO时,加(力20,对Vx>0.g'(x)单调递增,

Vx>0,g'(x)2g'(O)=O,对Vx>0.g(x)单调递增,

Vx>0.g(x)20恒成立，不成立.

、

③当—L<；l<0时，当xe0,-1l,n-V22+1-1-2

时,m'(x)>0,

222A

7

八1.——22+1—1—A、

XG0,-In时,g〈x)»g<O)=(),g(x)单调递增,

22

Li,-V22+1-1-2\

xe0,—In时,g(x)2g(O)=O,不成立,

2

综上4<—.

2

X

(3)设/z(x)=lnpep+qe,由对称性，只需X>0B']/7(X)<0,

"二2^一岛〃'⑼=0,

pePq+q

(二

i±Y

——epclpepq-q

1

%)pqIJ<0,

X4P之92

pepq4P2/pe"+q

7

所以xNO,"(x)递减，//(x)<//(0)=0,

x>0,妆x)递减，/?(%)</i(0)=0,不等式得证.

【名师点睛】本题考查了恒成立和证明不等式的问题，关键点是构造函数利用函数的单调性

和最值解题，考查了学生分析问题、解决问题的能力及推理能力和计算能力，本题有一定的

难度.

9.已知函数及0=戊.，g(x)=2ax+1.

(1)若先沦蛉)恒成立,求〃的取值集合;

(2)若>0,且方程於)唔(x尸0有两个不同的根犷，以证明：号*<ln2a.

【试题来源】广东省湛江市2021届高三一模

【答案】(1)::(2)见解析

2

【分析】⑴构造函数w(x)=/(x)-g(x)=e"—2犹一1，求导,分类讨论得函数最值即

e"=2ziXy+1g"_/电一百

可求解；(2)由题意得<心,2a=----------.等价证明(/一百"道—<[e电F-1]

~2djc?+1%2%

令y空>。，构造函数g(。=。力一1一2招，求导证明即可

【解析】⑴令〃(x)=/(x)-g(x)=^A-2Z2X-1,u(x)=ex-2a

当aWO,4(司>0恒成立，在R上单调递增，"(0)=0，当％<0〃(x)v0不合题

意，故舍去

当a>0,〃(x)=0则x=ln(Z2),故当xvln(2a),u(x)<0,〃(x)单调递减；当

x>ln(2^z),w(x)>0：〃(x)单调递增，故”(x)gx=〃(ln(2°))=2a-2aln(2a)-lNO

令〃(%)=%—%如%—1,・,."(0=一如％=0,%=1,故在(0,1)递增，在(L+0o)递减,

故/z(x)</z(l)=O,即/z(x)=x-xlnx-l<0,即加一2〃1口(2〃)一1<0，故2a=1即

4=]，故a的取值集合为.

22

(2)方程/(x)-g(x)=0有两个不同的根X”X2

xx

e'-2ax.+1'e*_e\

不妨令Xi<X2.12a=----------

X2

e=2ax2+1x2-xt

若证『n"

币+-6电一^项X]+x2x2一再

即证e2<--0---(---%-一X)e2<*_03=仇一九])62

%一%

令”等>o,即证e"—1>2招'，令g(7)=e2'—l—2fd,g()=2e'(e'—f-l)

因为">f+1，故g()>0,故g(。单调递增，g(f)>g(O)=O得证

ex'=2ax+1eh一eX}

【名师点睛】本题关键是利用1].2a=-------.等价证明

e-=2ax2+1x2-玉

（w—内"2<[*/一1]，构造函数证明

10.已知函数/（x）=x\nx-ajr+x（。eR）.

(i)证明：曲线y=/Q)在点(1J⑴)处的切线/恒过定点;

(2)若/(X)有两个零点，且%＞2%,证明：Jxj2＞—.

e

【试题来源】广东省广州市2021届高三一模

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【分析】(1)求出函数在％=1处的导数，求出了。)，即可求出切线方程，得出定点;

Inx.+1=ax.（x+xjln-1x.

，可得〃f，令"一，则

(2)由题可得＜1।

axL

Inx2+1=9In+2=-----------X）

工2一西

lng+2=(：),，构造函数g(/)=('；1),',二次求导得出g。)单调递增，即可

Q

求出＞/，再利用基本不等式即可证明.

【解析】(1)f\x)-\nx-2ax+2,

则/'(l)=2-2a,即切线斜率为2—北，

又/(1)=1一。，则切线/的方程为y-(l-a)=(2-2a)(x—l),B|Jy=(2—2a)[-；),

可得当x=(时，y=O,故切线/恒过定点

(2),・•%,马是/(X)的零点，々＞2大，且玉＞0,工2＞0，

则x}InXj-ax^=0即InXj+1=oXj

x2Inx2—ax^+x2=0[inx2+1=ax2

In芭+In九2+2_Inx2-Inxx

即…2.

玉+/X2-Xx

令，=土，则f>2,则1nx丁+2=1+，

人/、（r+l）lnrt----21nr

令8（'）二17}，则nlg'（/）二十式.

（―）

令W）=~；—2hv,则//«）=（1）〉0,则〃（。单调递增，

3

.­./z（r）>A（2）=--21n2>0,即g'（r）>0,则g⑺单调递增，

•••g”）>g⑵=3M2,

88

InNX?+2>3In2,即Inxxx2>3In2-2=In—,即x}x2>—,

e~e-

22

则J%1+x2>J2x（x2>-（由于玉h々，故不取等号），得证.

e

【名师点睛】本题考查利用导数解决双变量问题，解题的关键是将其转化为

1ng+2=（'：）’,利用导数求出单调性，得出内々>摄.

11.已知函数/（x）=f一2皿一a.

X

（1）若/（x）»（）,求实数a的取值范围；

（2）若函数/（X）有两个零点内,3,证明：x,x2<1.

【试题来源】备战2021年高考数学全真模拟卷（山东高考专用）

【答案】（1）（y。/];（2）证明见解析.

【分析】⑴利用导数研究/（X）的单调性，求得/（X）的最小值，由此列不等式，解不等

式求得a的取值范围.（2）利用构造函数法证得了（%）—.结合了（%）的单调性

\X2）

证得尤1马<1

【解析】（1）函数/（x）=r-迎日—a的定义域为（0,+8）.

X

八…一止以山旦

XX

设r(x)=x3+Inx-1,所以rf(x)=3x2+—>0,

x

所以函数«幻=/+]11尤一1在(0,+8)上单调递增.

又"1)=0,列表如下:

X(0,1)1(l,+8)

f(x)-0+

fM极小值/

。1

所以当x=l时，函数f(x)=x2一一--a取得最小值为/(I)=\-a.

X

因为/(x)20,即1一。20,所以aWl.所以。的取值范围是

(2)不妨设入<%.

由(1)可得，函数Ax)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

所以0<—<1.因为/(玉)=/(%)=0,

*2

(1)

/x/\/\21n—

所以/(%)_/_=f{x2)~f\—=%；_2"------

\X2J\X2J\X27X2—

kX2>

(iYi,、

=x2---x2-------21nx2•

kX2Ax2>

设函数g(x)=x-'—21nx(x>1),

x

则g'(X)=l+-V—2=H'匚>0(x>l),函数g(x)在(1,4W)上单调递增.

XXX"

所以g(x2)=&-'-Zin%>g(D=0,

ri\(i

所以/(%)-/->0,即/&)>/-

。1

又函数f(x)=x2一一——a在(0,1)上单调递减.

X

所以0<玉<」-<1,所以

无2

【名师点睛】如果求•次导数无法确定函数单调性，可考虑再•次求导来确定函数的单调性.

12.已知函数f(x)=x-^--sinx.

(1)证明：工〉0时/(x)<o；

(2)证明：〃之2时，sin-+sin-+•••+sin—>-++—.

12“23〃

【试题来源】河南省非凡2020-2021学年高三(3月)调研考理数试卷

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

(分析](1)利用导数分析函数/(%)在区间(0,+。)上的单调性,可得出/(x)</(0)=0,

即可证得结论成立；(2)由(1)得出/⑴+/(；)+吗)+…+/(%0,可得

sin：+sin：+…+sin」>(l+:+：……+斗]利用放缩法得出当“22

12〃[23n)2U22-3-n-)

1111ill1

时，—<7~rr=一?一一，可证得《+福+5…+3<2,代入不等式计算即可证得结

论成立.

【解析】(1)因为了"hx-'-sinx,则/"(x)=l-x-cosx,

设g(x)=/'(x)=l-x-cosx,则g<x)=sinx-l<0,故g(x)在(0,+向上为减函数,

可得g(x)<g(0)=(M[l/'(x)<0,故/(x)在(0,+e)上为减函数，故/(x)</(0)=0；

(2)由(])知尤>o时/(x)<o,可得〃…+/()<0

11

当”22时,

"2—1)/?n—\n

故不■+至■…+下<，_不+丁…+—7一=,一<1，

23n1223n-1nn

1111c

所rri以>1，产+梦+丞…+/V2，

….i.i.1^11niiii

因此，sin-+sin—4--••+sm—>14-—+----F———x2o=—+---H■—.

12n\23n)223n

13.已知函数/(x)=e"T-lnx-1.

(1)判断了(x)的单调性；

(2)若方程/(x)=cix—a—l(a>0)有唯一实根与,求证：1</<2.

【试题来源】全国百强名校“领军考试''2020-2021学年高三下学期3月

【答案】(1)/(%)在(0,1)上是减函数，在(1,止)上是增函数；(2)证明见解析.

【分析】⑴求得尸(x)=ei—}分析了'(力的符号变化，由此可得出函数f(x)的单

调递增区间和递减区间；

(2)设g(x)=/(x)—ax+a+1,利用导数分析函数g(九)的单调性，根据己知条件得出

7'⑺=0

gCOmin=g(')=°，其中为函数g(x)的极小值点，可得出*(；)=0，消去°可得出

(2—f)e'T—lnt+Y=0,构造函数//(f)=(2—〉1),分析函数

在区间(1,内)上的单调性，结合零点存在定理证得1</<2,即可得出l<x0<2.

【解析】⑴因为/(x)=e、T-Inx-1,所以尸(x)=e'T-则f\x)=—+4>(),

XX

所以，函数/'(X)在(0,+8)上是增函数，且/'(1)=0，

所以，当尤二(o」)时,r(x)<o：当%€(i,+oo)时,y,(x)>o.

所以/(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+8)上是增函数；

(2)设g(x)=,f(x)-tzx+a+l=e*T-lnx-ax+a,则g'(x),

因为g'(x)是增函数，乂g'⑴=—a<0,g'(a+l)=e“—白—a>e“—1—a>0,

所以存在唯一的，€(1,+8),使得g'(f)=0.

当％e(O,f)时，g'(x)<0,此时，函数g(x)单调递减;

当xe(f,+8)时，g'(x)>0,此时，函数g(x)单调递增.

所以，g(x)min=g(r)=e"-lnr-"+a,

方程有唯一实根/,则/=/,

且卜’?=：即卜一1"=°,消去q得(2T)/T_lnf+3=0,

lg⑺=°".ln-R+"Ot

设〃(。=(2_°e'T—Inf+了,>1),则〃(f)=(1_f)(e'T+^<0,

所以，函数〃(f)在(1，+oo)上是减函数，

因为〃(1)=1>0,/?(2)=-ln2+1<0,所以l<r<2,B|J1<x0<2.

【名师点睛】利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基

本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体

现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由/(x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线>与

函数>=g(x)的图象的交点问题.

14.已知函数/(月=詈一一

(1)设函数网力=(%-1)>(x),当a=2时,证明：当x>l时,/i(x)>0；

(2)若尸(x)>0恒成立，求实数。的取值范围；

(3)若。使尸(X)有两个不同的零点玉,々，证明：2力2一2.<中一封<6"-6,

【试题来源】东北二省四市教研联合体2021届高考模拟考试

【答案】(1)证明见解析；(2)a<2；(3)证明见解析.

【分析】⑴当a=2时对妆x)求导，证明x>l时,〃(％)>0即可.

(2)设函数〃x)=ln无-皿二D,根据函数的单调性判断Inx与啦二D的关系，根据

v'x+1x+1

/(x)>0恒成立，确定4的取值范围；

(3)根据函数的单调性求出，2-八<々一司</-e-a,得到

2

t2-t,=5化+)-町=2yla-2a，证明结论成立即可.

【解析】⑴％(])=(1)普-舟

当4=2时，力(x)=——]=—―

V7'\x-lx+ljx+1

(、12(x+l)-2(x-l)(x+1)2-4x(x—l)2

"七.+1)2=X(X+1)2=X(X+1)2'

当%>1时，〃'(x)>(),所以/2(x)在(L+8)上为单调递增函数，

因为"(1)=。，所以力(力>力⑴=0,

a(x-\\”，/、+2(1—tz)x+l

(2)设函数/(x)=lnx——--------则/(*)=------------+----

x+lx(x+l)

令g(x)=f+2(l—a)x+l,当aSl时，当x>0时，g(x)>0,

当l<aW2时，△=4a2—8a<0，得g(x)20,

所以当a42时，/(力在(0,+。)上为单调递增函数，目"1)=0,

所以有」一〃x)>0,可得/(x)>0.

X—1

当a>2时，有△=4/一8。>0，

此时g(x)有两个零点，设为九%且…2・

因为4+L=2(a-l)>0，，工2=1，所以0<4<1</2，

在(覃2)上，“X)为单调递减函数，

所以此时有〃x)<0,即Inx〈处二9,得电土一——<0,

x+1x-1x+l

此时尸(x)>0不恒成立，综上a«2.

(3)若E(x)有两个不同的零点为，乙,不妨设西<々，

则菁，Z为/(x)=lnx—小7的两个零点，且工产1,x2*1,

由⑵知此时a>2,并且“X)在(0,。)，&，”)为单调递增函数，

在&4)上一为单调递减函数，且/⑴=0,所以/«)>0，/(马”。，

因为/(e-")=—g<0,/伫)=g>0,e-a<l<ea，

''e+1v'e+\

a

且/(x)图象连续不断，所以百e(e-"jJ,x2e(t2,e),

所以，2—4<%—为<ea—ea,

因为4+.)—4，［=2yler-2a，

综上得2j/_2a<|x2-x,|<e"-.

【名师点睛】求不等式恒成立问题的方法

(1)分离参数法

若不等式“X,2)20(xe。)(几是实参数)恒成立，将转化为/lig(x)或

/lWg(x)(x€。)恒成立，进而转化为；ligG)-或;iWgOJxG。),求g(x)的最

值即可.

(2)数形结合法

结合函数图象将问题