必修第二册立体几何初步

第八章立体几何初步

课时8.1基本立体图形

本节目标

1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球的结构特征;

2.理解柱、锥、台之间的关系，认识简单组合体的结构特征；

3.能运用柱、锥、台、球的结构特征进行有关计算。

型分组

第1课时棱柱、棱锥、棱台

基础过关练

题组一棱柱

1.下列几何体中棱柱有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

2.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm,则每条侧棱长为cm.

3.给出下列关于四棱柱的三个命题:

1若侧棱垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

口若四棱柱的底面是正方形，则该四棱柱为正四棱柱；

」若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱.

其中真命题的序号是.

4.如图，长方体ABCD-A|B!CID,.

(1)这个长方体是棱柱吗?为什么？

(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？

题组二棱锥

5.下列几何体中不是棱锥的为(

6.对于棱锥，下列叙述正确的是(

A.四棱锥共有四条棱

B.五棱锥共有五个面

C.六棱锥共有六个顶点

D.任何棱锥都只有一个底面

7.某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面

上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样,则口、口、口处的字可能为（）

A.快、新、乐B.乐、新、快

C.新、乐、快D.乐、快、新

8.用长度为1的木棒摆放4个边长为1的正三角形，至少需要木棒的根数为（）

A.6B.9C.10D.12

题组三棱台

9.棱台不具备的特点是（）

A.两底面相似

B.侧面都是梯形

C.侧棱都相等

D.侧棱延长后都交于一点

10.以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为（）

A.1B.2C.3D.0

11.关于如图所示的几何体，正确说法的序号为.

□这是一个六面体;□这是一个四棱台n这是一个四棱柱;□此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得

到口此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.

12.如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中,E,F分别是AiBi,AiCi的中点，连接BE,EF,FC,试判断几何体

A.EF-ABC是什么几何体，并指出它的底面与侧面.

R

答案全解全析

基础过关练

1.C根据棱柱的定义，知□□口□□中的几何体是棱柱，共5个.

方法归纳

判断一个几何体是不是棱柱的关键是看是否满足棱柱的定义：

口看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，且其余各面都是四边形；

口看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否互相平行.

2.答案12

解析由题意知，该棱柱为五棱柱，共5条侧棱，所以每条侧棱的长为詈12(cm).

3.答案口

解析对于口，符合直四棱柱的定义，故」正确；

对于口，将正方体的上底面向右移动一定的距离,使侧棱与底面不垂直，此时四棱柱的上、下底面仍为正

方形，但该四棱柱不是正四棱柱，故□错误；

对于口，将正方体的上底面向右移动一定的距离,使侧棱与底面不垂直，此时四棱柱的侧面仍两两全等,

但该四棱柱不是直四棱柱，故口错误.

4.解析⑴长方体ABCD-AiBiGDi是棱柱.

长方体中相对的两个面是平行的,其余每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都互相

平行，符合棱柱的结构特征，

口长方体ABCD-AIBIGDI是棱柱.

(2)根据棱柱的定义可知，各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BBiF-CCiE和棱柱ABFAI-DCEDI.

5.A根据棱锥的定义,B、C、D中的几何体是棱锥,A中的几何体不是棱锥.故选A.

6.D对于A,四棱锥共有八条棱，故A错误;对于B,五棱锥共有六个面，故B错误;易知C错误;对于D,

根据棱锥的定义知,D正确.故选D.

7.A根据题意及选项，可知顺序为□年口□，故选A.

8.A当摆放为正四面体时，所需木棒的根数最少，且满足由4个正三角形构成，此时需要木棒的根数为

6.

9.C因为棱锥的侧棱不一定相等,

所以截得棱台的侧棱也不一定相等.

10.C如图,三棱台ABC-A|B1C1可分割为三棱锥Ai-ABC,三棱锥B-ACG,三棱锥G-ABB,共3个.

11.答案□□□□

解析□正确，因为此几何体有六个面,符合六面体的定义;□错误，因为侧棱的延长线不能交于一点；口

正确,把几何体放倒，就会发现是一个四棱柱;U正确，如图1所示;□正确，如图2所示.

图1图2

12.解析E,F分别是AiBi,A,Ci的中点，且AIBI=AB,AICI=AC,BICI=BC,

--=--=——

ABACBC2

□□A1EF口匚ABC,且AA|,BE,CF延长后交于一点.

又面AiBiG与面ABC平行，

口几何体AiEF-ABC是三棱台.

其中面ABC是下底面，面AiEF是上底面，面ABEAi,面BCFE和面ACFA）是侧面.

第2课时圆柱、圆锥、圆台与球

基础过关练

题组一圆柱、圆锥、圆台

1.如图所示的几何体中有（）

A.圆柱、圆锥和圆台B.圆柱和圆链

C.圆柱和圆台D.棱柱、棱锥和圆锥

2.下列说法正确的是（）

A.圆锥的底面是圆面，侧面是曲面

B.用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥

C.一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱

D.圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交

3.用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（）

A.2B.27t

cP或士

n7i

4.一个圆锥的母线长为20cm,母线与轴的夹角为30。,则圆锥的高为（）

A.10>/3cmB.20V3cm

C.20cmD.10cm

5.一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm,若两底面圆心的连线长为12cm,则这个圆台的母线

长为cm.

6.用半径为3cm的半圆形纸片卷成一个无底圆锥（接头处不计），则这个无底圆锥的高为cm.

7.已知圆锥的母线长为4cm,圆锥的底面圆半径为1cm,一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上A点出发，沿圆

锥侧面爬行一周回到点A,则蚂蚁爬行的最短路程为cm.

题组二球

8.截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）

A.圆柱B.圆锥

C.球D.圆台

9.下列说法正确的是（）

A.到定点的距离等于定长的点的集合是球

B.球面上不同的三点可能在同一条直线上

C.用一个平面截球，其截面是一个圆

D.球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面

10.正四面体A-BCD的所有棱长均为12,球O是其外接球,M,N分别是DABC与DACD的重心，则球O

截直线MN所得的弦长为.

题组三简单组合体

11.下列几何体是组合体的是（）

12.一个直角三角形绕其最长边所在直线旋转一周所形成的空间几何体是（）

A.一个棱锥B.一个圆锥

C.两个圆锥的组合体D.无法确定

13.能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（）

14.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的（深度解析）

15.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得

到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是.（填序号）

能力提升练

题组一空间几何体的结构特征

1.下列说法正确的是（）

A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

B.三棱锥的四个面都可以是直角三角形

C.有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台

D.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥

2.一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是（）

A.底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形

B.各个面都是正三角形

C.三个侧面是全等的等腰三角形

D.顶点在底面上的射影为底面三角形的重心

3.足球被誉为“世界第一运动”，它是全球体育界最具影响力的单项体育运动，足球的表面可看成是由正

二十面体用平面截角的方法形成的，即用如图1所示的正二十面体，从靠近每个顶点的棱的;处将其顶

角截去，截去20个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球的表面结构.己知正二十面体是由20个边

长为3的正三角形围成的封闭几何体,则如图2所示的几何体中所有棱的条数为.

4.长方、堑堵、阳马、鳖腌这些名词出自中国古代数学名著《九章算术・商功》，其中阳马和鳖腌是我

国古代对一些特殊锥体的称呼.取一长方，如图长方体ABCD-AIBICIDI,按平面ABCQi斜切一分为二,

得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱

锥各一个，其中以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥DrABCD称为阳马,余下的三棱锥Di-BCG

是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖腌.已知长方体ABCD-AIBIGDI中,AB=5,BC=4,AAi=3,按

以上操作得到阳马，则该阳马的最长棱长为.

题组二组合体问题

5.在三棱锥S-ABC中,AB=2,BC=2,AC=2&,SB=&，侧棱SB与底面ABC垂直，则三棱锥S-ABC的外

接球半径为.

6.已知一个底面半径为r,高为h的圆锥内有一个棱长为a的内接正方体，且该内接正方体的顶点都在

圆锥的底面或侧面上，若片鱼耳则?.

7.下图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下

均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4,且两个四棱柱的侧棱互相垂直，则这两个四

棱柱的表面相交的交线段总长度为.

8.已知球0与棱长为2&的正方体ABCD-AIBICIDI的所有棱相切，点M是球面上一点，点N是DABC

的外接圆上一点,求线段MN的取值范围.

题组三空间几何体的截面

9.如图,M,N,R分别是棱长为2的正方体ABCD-AiBiGDi的棱AB,BC,AAi的中点，则过M,N,R三点的

平面被正方体所截得的截面面积为（）

AW

A-B.3V3C.6V3D.12V3

10.如图，正方体ABCD-AiBiCD的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CCi上的动点，过点A,P,Q的平

面截该正方体所得的截面记为S,若0<CQ4则S的取值范围是.

题组四基本立体图形的展开图

11.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A,

圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度

为（）

A.2T17B.2V5D.2

12.已知正方体ABCD-AIB,C,DI的棱长为3,M,N分别为ABi,AiCi上的点，且A（N=AM,AM=2MBi,P,Q

分别为BBI,B]CI上的动点,则折线MPQN长度的最小值为()

A.3B.V13C.V5+V2D.V10

13.如图，棱长为2的正方体AIBICIDI-ABCD中，点M,N,E分别为棱AA,,AB,AD的中点，以A为圆心,1

为半径，分别在面ABBjA,和面ABCD内作弧项和弧曲，并将两弧各五等分，分点依次为PiPBH

以及QI,Q2,Q3,Q4.一只蚂蚁欲从点Pi出发，沿正方体的表面爬行至Q4,求其爬行的最短距离.

(参考数据:cos9°M.9877;cos18°==0.951l;cos27°=0.8910)

答案全解全析

基础过关练

1.B题图中,(1)是圆柱,(2)是圆锥,(3)不是圆台，故选B.

2.A显然A正确;对于B,一张扇形的纸片只能卷成一个无底面的圆锥，故B错误;对于C,若两个圆面

不平行，则这个物体不是圆柱，故C错误;对于D,圆台是由圆锥截得的，故其任意两条母线延长后一定交

于一点，故D错误.故选A.

3.C设圆柱的底面半径为r.若矩形的长恰好为卷成圆柱底面的周长，则2#r=8,所以r=之若矩形的宽

7T

恰好为卷成圆柱底面的周长，则27rl=4,所以1.故选C.

71

4.A如图所示，在RtUABO中,AB=20cm」」BAO=30。,所以AO=ABcos30。=20乂务io%（cm）.所以圆

锥的高为10V3cm,故选A.

方法归纳

旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.

5.答案13

解析如图,0A=3cm,0B=8cm,00'=12cmQADOB,过点A作ACCIOB,交OB于点C.

在RtOABC中,AC=12cm,BC=8-3=5(cm),

AB=V122+52=13(cm).

6答案詈

解析□半径为3cm的半圆的弧长为3兀cm,□圆锥的底面圆的周长为3兀cm,

口底面圆半径为|cm,无底圆锥的轴截面为等腰三角形，如下图：

1无底圆锥的高h=.

7.答案4V2

解析由题意得，底面圆的直径为2cm,故底面圆的周长为27tcm.

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°.

根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长居2片甯，解得n=90,

loO

所以展开图中扇形的圆心角为90°,

所以蚂蚁爬行的最短路程是"16+16=4/cm.

8.C圆柱的截面可能是矩形，圆锥的截面可能是三角形，圆台的截面可能是梯形，故选C.

9.D对于A,球是球体的简称，球体的外表面称之为球面，球面是一个曲面，是空心的,而球是几何体，是

实心的，故A错;对于B,球面上不同的三点一定不共线，故B错;对于C,用一个平面截球,其截面是一个

圆面,而不是一个圆，故C错.故选D.

10.答案4V13

解析如图，将正四面体A-BCD补全为正方体，则正方体的棱长为6V2.

易知球O是正方体的外接球,所以球O的半径R=^x6&=3①.设正四面体的高为h,易得AN=4g,则

h=J122-(4V3)2=4V6,^IUOM=ON=h-R=V6.

又MN=1BD=4,所以O到直线MN的距离为J(乃产22=。,因此球O截直线MN所得的弦长为

ll.DA、B、C中的几何体分别是圆锥、圆柱、球，都为简单几何体,D中的几何体为圆台挖去一个

圆锥，为组合体，故选D.

12.C一个直角三角形绕其最长边所在直线旋转一周所形成的空间几何体是两个同底的圆锥的组合

体.

故选C.

13.AA中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥的组合体，符合题意；

B中图形旋转得到两个相同底面圆锥的组合体，不合题意；

C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥的组合体，不合题意；

D中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱的组合体，不合题意.

故选A.

14.B由组合体的结构特征知,球与正方体各面相切，与各棱相离，故选B.

解题反思

正方体与球的位置关系,通常考查正方体的内切球、外接球和棱切球，要通过模型帮助自己掌握这三种

情况.

15.答案口口

解析当截面过底面直径时，截面如题图□;当截面不过底面直径时，截面如题图口.

能力提升练

1.B对于A,如图(1),将两个相同的斜平行六面体叠放，符合条件，但不是棱柱，故A错误；

对于B,如图(2),三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形，故B正确；

对于C,如图(3),符合条件，但延长其侧棱不交于一点，不是棱台，故C错误；

对于D,如图(4),以直角□ABC的斜边AB所在直线为轴旋转得到的是两个同底的圆锥，故D错误.故选

B.

2.A对于A,根据正三棱锥的定义可知，侧面是全等的等腰三角形，底面是正三角形的三棱锥是正三棱

锥，所以一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形,A选项

符合题意；

对于B,各个面都是正三角形，则三棱锥是正三棱锥,所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的

充分条件，三棱锥是正三棱锥，各个面不一定都是正三角形,所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三

棱锥的非必要条件，故B选项不符合题意；

对于C,三个侧面是全等的等腰三角形不一定是正三棱锥，如图所示,VA=VC=BC=AB,AC=VB时，不一

定是正三棱锥，故该选项错误；

对于D,若顶点在底面上的射影为底面三角形的重心，设底面为Rt」ABC,其重心为O,过点0作底面

ABC的垂线段0V,连接VA,VB,VC得到三棱锥V-ABC,显然三棱锥V-ABC不是正三棱锥，所以D选

项错误.

故选A.

3.答案90

解析原来正二十面体的每一条棱都会保留,正二十面体每个面有3条棱，每条棱属于两个面，所以共

有啜30条棱，

此外,每个面会产生3条新棱，共产生3x20=60条新棱,

□共有90条棱.

故答案为90.

4.答案5V2

解析由题意知,该阳马的最长棱长为原长方体的体对角线的长,

所以该阳马的最长棱长为U52+42+32=5或.

5.答案当

解析□AB=2,BC=2,AC=2V2,lAB2+BC2=AC2,OABDBC,XfiiJ:ltSB与底面ABC垂直，

1可以将三棱锥S-ABC放置在如图所示的长方体中，外接球的直径即为长方体的体对角线.

设外接球的半径为R,则2R=122+22+（鱼）2="U,即R考.

6.答案|

解析过正方体的体对角线的轴截面如图所示，则AC=V2a,CCi=a,O,P=h,OiM=r,

所以哈亳又片企11，

所以公1•

7.答案8伤

解析如图:

这两个四棱柱的表面相交,一共有8条线段，根据对称性，每段都与0A相等.

在等腰UOAB中,AB=2近,AB边上的高为2,则OA=V6,

所以交线段的总长度为8诟.

故答案为8V6.

8.解析易知与正方体的各棱都相切的球的半径r=2,正方体的外接球的半径R=V6.

因为点M在与正方体的各棱都相切的球面上运动，点N在DABC的外接圆上运动，

所以线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去与正方体的各棱都相切的球的半径,MN长

度的最大值是正方体的外接球的半径加上与正方体的各棱都相切的球的半径.

由此可得线段MN的取值范围是[遍-2,遍+2].

9.B如图，补全的截面为正六边形MNOPQR,由正方体的棱长为2可知正六边形的边长为遮,故截面

面积为6xf*2=3我,故选B.

4

10.答案

解析当CQ=时,Q为CC,的中点，如图1,