2020-2021学年数学北师大版必修4教学教案：153正弦函数的性质

《正弦函数的性质》教案

一、教学目标

【知识与技能】

会用正弦函数图象研究和理解正弦函数的性质，能熟练运用正弦函数的性质解决

问题。

【过程与方法】

通过正弦函数的图象，探索正弦函数的性质，提升逻辑思考、归纳总结的能力。

【情感态度与价值观】

通过本节的学习体验数学的严谨性，养成细心观察、认真分析、严谨认真的良好

思维习惯和不断探求新知识的精神。

二、教学重难点

【重点】

由正弦函数的图象得到正弦函数的性质。

【难点】

正弦函数的周期性和单调性。

三、教学过程

(一)引入新课

回忆正弦函数的概念，以及上节课所学的正弦函数图象，让学生根据图象思考正

弦函数有哪些性质从而引出课题一一《正弦函数的性质》。

(二)探索新知

让学生自己通过五点作图法画出正弦函数的图象，并在大屏幕上展示正弦函数的

标准图象。

学生一边看投影，一边思考如下问题：

(1)正弦函数的定义域是什么。

(2)正弦函数的值域是什么？

(3)正弦函数的最值情况如何?

⑷正弦函数的周期？

(5)正弦函数的奇偶性？

(6)正弦函数的递增区间？

给学生十分钟的时间小组讨论，之后小组代表发言，师生共同总结。

1.定义域：y=sinx定义域为R

2.值域：引导学生回忆单位圆中的正弦函数线，发现值域为[7,1]

3.最值：根据值域的确定得到在何处取得最值以及函数的正负性。

4.周期性：通过观察图象引导学生发现正弦函数的图象是有规律不断重复出现

的，让学生思考后发现是每隔2元重复出现一次，得出尸sinx的最小正周期是

2n。之后通过诱导公式证明sin(2^+x)=smx;

5.奇偶性：在刚才通过诱导公式证明后顺势提出公式sin(-x)=-sinx,总结得到

正弦函数是奇函数

6.单调性：最后让学生根据刚才所得到的结论自己尝试总结正弦函数的单调性。

在探究完正弦函数性质后，利用单位圆和正弦函数图象理解和记忆正弦函数的性

质。

(三)课堂练习

出示书上例题2：用五点法画出函数＞'=sin"T忸简图，并根据图象讨论它的性

质。

(四)小结作业

小结采用发散性问题：你今天有什么收获？

作业：思考余弦函数的图象与性质是什么样的。

四、板书设计

正弦函数的性质

1.图像

v-$inx.x£R

2.性质

1.5.3正弦函数的性质

一、教材分析

本节的主要内容是正弦函数、余弦函数的性质（第1课时），对于函数性质

的研究，由于正、余弦函数是刻画周期变化现象的数学模型，也是三角函数不同

于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，要认识清楚它在一个周期

的性质，那么它在整个定义域内的性质就完全清楚了，同时周期性在高考中也是

重点。

二、学情分析

学生学习了正弦、余弦函数的图像后，运用图像来学习相应的性质，更容易

理解周期性。本节主要介绍正弦函数、与弦函数的周期性，学生在理解上有点困

难，所以讲解例题时，应该紧扣概念。

三、教学目标

（一）知识与技能

认识正弦函数、与弦函数的周期性。掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,

并能求出正、余弦函数的最小正周期。

（二）过程与方法

掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周

期。

（三）情感态度与价值观

让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思

想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。体验通过实例

分析和阅读自学探究集合间的关系与运算过程，培养学生的自学、阅读和自主探

究的能力。

四、教学重难点

重点：正弦、余弦函数的主要性质（包括周期性、定义域和值域）

难点：正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换，以及周期函数概念

的理解，最小正周期的意义及简单的应用。

四、教学准备：

多媒体课件

五、教学过程

（一）问题引入

生活中有很多周而复始的想象，比如：今天星期天，一周后还是星期天。现

在是下午2:55,24小时后还是下午2:55。

给出正弦函数和余弦函数图象，让学生观察正弦函数的图像，有怎样的变化

规律。

生：有规律的不断重复出现。

（设计意图：从生活中的周期现象引入，激发学生的学习兴趣。）

（二）复习回顾

利用正弦线画正弦函数图象，引导学生回顾旧知为本课做准备。

思考：如何画出正弦曲线、r正弦线法

余弦曲线的图象？［五点作图法

(设计意图：通过动画演示让学生直观感知周而复始的变化规律。)

/(x)=sin(x)

222

设计意图：三个点，让学生感受到每隔2"，函数值重复出现。

问：图象呈周期性变化怎样用数学表达式表示？

答：诱导公式sin(x+2匕r)=sinx来解释这种变化规律。

师：当自变量x的之增加24的整数倍时，函数值重复出现，数学上，用周

期性来定量刻画这种“周而复始”的变化规律。

(三)新课学习

/(x+2A7F)=sin(x+2A7r)=sinX=/(x)

・・・/(%+2女乃)=/(%)

如果满足上面的表达式，则称函数〃幻是周期函数，令

2Qr=7(ZwO),T为函数的周期。

这既是本节课要学习的周期性。

1.周期性的概念

对于函数如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，

都有

f(x+T)=f(x)

那么函数叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

(设计意图：通过对正弦函数尸sinx图象观察、分析，结合诱导公式，构建

出周期函数的定义，着力于知识建构，培养学生观察、分析和抽象概括能力，并

进一步渗透数形结合思想方法。)

2.周期函数的周期

思考：周期函数的周期是否是唯一的？正弦函数的周期可以是哪些？

答：周期函数的周期不唯一。

3.最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正

数叫做的最小正周期。

思考：正弦函数有没有最小正周期？如果有，是多少？如果没有，请说明

理由.

答：正弦函数的最小正周期是2"。

(设计意图：让学生理解最小正周期的定义。培养学生的数形结合能力。)

4.正弦函数、与弦函数的周期性

正弦函数是周期函数，2攵〃(左£2且％工0)都是它的周期，最小正周期是2万。

(设计意图：通过对定义的理解、余弦函数图象以及类比正弦函数，可以得到余

弦函数是周期函数，这样使学生加深对定义的理解，培养学生类比思想和数形结

合能力。)

(三)例题讲解

例2.求下列函数的周期：

(1)/(x)=3cosx,XER

⑵/(x)=sin2x，XGR

(3)/(x)=2sinRx-JI,xeR

(26；

解：(1)根据周期函数的定义有：/(x+T)=/(x),

所以/(x+T)=3cos(r+r)

即：3cosx=3cos(x+2兀)

所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为2万.

(2)根据周期函数的定义有：/(x+r)=/(x),

所以/(x+r)=sin(2x+2T)

即：sin2x=sin(2x+24)

所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4.

(3)根据周期函数的定义有：/(x+?)=/(%),

(1万、

所以/(x+T)=2sin-(x+T)--

126,

“5=2s*x_/y)

所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为44.

（设计意图：观察学生对周期函数定义的掌握情况，培养学生的数形结合能

力。）

（四）课堂练习

3

1./（x）=sin-x,XER

4

2/x）=sin（*3xeR

（设计意图：通过课堂反馈能准确、及时地了解学生对周期函数定义和函数周

期求法的掌握情况,做到及时反馈、评价，及时查漏补缺,达到堂堂清）

（五）课堂小结

1.周期函数的概念。

2.正弦函数和余弦函数的周期性。

2.通过对本节课的学习，你对周期性有什么感受？

（设计意图：引导学生对所学知识进行小结，有利于学生对已有的知识结构

进行处理，加强记忆。）

（六）课后作业

习题第36第2题（2）（3）0

六、板书设计

课题：正弦、余弦函数的周期性设计意图

1.周期函数定义例1板演及学生

演示区为了使学生全

2.正弦函数尸sinx的周期为24面系统地了解本节

余弦函数y=cosx的周期％2乃内容的知识，突出

重点，突破难点.

七、课后反思

本节课学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始

变化实际上是函数值的周而复始变化”的本质学生理解有一定困难.为了突破这

个难点，用PPT展示图像，让学生更直观感受这种变化规律。部分学生运用周期

函数定义求函数周期有一定困难，为了解决这个困难，在设中，例1师生共同

完成，完成后小结解题的思路方法.再由学生完成其他题目，再由师生共同点评,

再让学生练习两个题目，及时巩固所学方法。

正弦函数的性质教学设计

一.教材分析

《正弦函数的图象与性质》是高中新教材内容，作为函数，它是

已学过的一次函数、一次函数、指数函数与对数函数的后继内容，是

在已有三角函数线知识的基础上，来研究正弦函数的图象与性质的，

它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切

函数的图象与性质、正弦型函数y二4必（勿+。）的图象的知识基础和

方法准备。因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极

其重要的地位与作用。

本节共分三个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出

y=sinx,xe[0,2m的图象，考察图象的特点，用“五点作图法”画正

弦函数图象简图，并掌握与正弦函数有关的简单的图象平移变换和对

称变换；再利用图象研究正弦函数的部分性质（定义域、值域等）。

二.学情分析

本课的学习对象为高二下学期的学生，他们经过近一年半的高中

学习，已具有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，思维活

跃、想象力丰富、乐于尝试、勇于探索，学习欲望强的学习特点。

三.教学目标

根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据

学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定

本节课的教学目标如下：

养辩证唯物主义观点。

四.教学重点、难点

教学重点：“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数

图象；

教学难点：运用几何法画正弦函数图象。

五.学法与教法

学法：

学法指导在教学过程中有着十分重要的作用，它不仅有助于学生

学好数学知识，而且对培养和发展学生的自学能力，使学生学会学习、

学会交流，形成科学的世界观都有着不可低估的作用。本节课我将从

以下两个方面对学生进行学法指导：

1.联想尝试

数学是一门基础学科，数学的概念、性质、方法、思想抽象严谨,

因此在学习过程中引导学生借鉴已有知识和经验，通过观察、分析、

尝试发现新的知识方法，这有利于培养学生的数学情感，提高学生的

学习兴趣，更有助于学生对知识的理解和掌握。

2.协作学习

学生是在特定的学习环境进行学习。引导学生认真观察“正弦函

数的几何作图法”教学课件的演示，指导学生进行分组讨论交流，“水

涨船高”，通过小组协商、讨论，使原来相互矛盾的意见、模糊不清

的知识逐渐变得明朗、一致，使问题顺利解决。促进学生知识体系的

建构和数学思想方法的形成,注意面向全体学生，培养学生勇于探索、

勤于思考的精神，提高学生合作学习和数学交流的能力。

教法：

教法的好坏，直接影响课堂教学的质量。选择教学方法的原则，

概括起来有三点：要服务于教学目标，要适合于学生学习，要充分利

用环境条件和教学设备。

对于本节课的教法，我主要考虑了以下两方面：

1.教学模式：建构式教学法

本节课应用这种教学模式的具体操作程序是：创设问题情景一一

小组协作探索一一猜想尝试整理一一动手画图验证一一知识巩固应

用一一方法归纳整合。

这种教学模式的特点是：学生在一定的情境背景（已具备函数基

础知识和三角函数线知识）下，借助老师和学习伙伴的帮助，利用必

要的学习资料等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和首创

精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目

的，即在学习过程中帮助学生很好地掌握正弦函数图象的画法，并对

与正弦函数有关的图象平移变换和对称变换达到较深刻的理解。

2.教学手段：利用计算机多媒体辅助教学

为了给学生认识理解“正弦函数的图象”提供更加形象、直观、

清晰的材料，采用电脑动画模拟演示利用单位圆中的正弦线画出正弦

函数的图象的过程。运用多媒体教学手段使问题变得形象直观，易于

突破难点，借以帮助学生完成对所学知识的过程建构。

六.教学过程

本课的教学设计基于“人人都能获得必要的数学”即平等性的考

虑，坚持面向全体学生，努力创设适合学生发展的数学教育。根据建

构主义的观点，学生的学习是一个积极主动的建构过程，而不是被动

地接受知识的过程。由于学生已具备初等函数、三角函数线知识，为

研究正弦函数图象提供了知识上的积累，因此本教学设计是：通过四

个问题的提出，引导学生关注正弦函数的图象及其作法；并借助电脑

多媒体使教师设计的问题与活动的引导密切结合，强调学生“活动”

的内化，以此达到使学生有效地对当前所学知识的意义建构的目的。

系统论告诉我们，整体大于部分之和。处理教学中的一切具体问

题，应首先着眼于整体。因此，在认真分析教材、教法、学法的基础

上，设计教学过程如下：

教学教学内容师生互动设计意图

环节

三角函数的定义及教师提问把问题作为教学的出

实质？发点，引起学生的好

学生回答奇，用操作性活动激

三角函数线的作法发学生求知欲，为发

和作用？教师对学生作答进行现新知识创设一个最

旧知点评佳的心理和认识环

回顾根据以往学习函数境，关注学生动手能

的经验，你准备采取给每位同学发一张纸，力培养，使教学目标

、什么方法作出正弦为了节省时间，表已给与实验的意图相一

函数的图象？出，致。

新知

铺垫作图过程中有什么困组织他们完成下面的为学生提供一个轻

难？步骤：松、开放的学习环境，

创设

有助于有效地组织课

情景描点、连线。

堂学习，有助于带动

和提高全体学习的积

加入竞争机制

极性、主动性，更有

助于培养学生的集体

引入看谁画得又快又好！

荣誉感，以及他们的

新课

竞争意识。

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题具

象问

示使抽

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