北师大版九年级数学上学期期末冲刺模拟测试卷 (六)含答案与解析

北师大版九年级上学期期末冲刺模拟测试卷（六）

数学

学校:姓名：班级：考号：

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考试号、考场号、座位号，用0.5毫米黑色墨水签字笔

填写在答题卷相对应的位置上，并认真核对；

2.答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得

用其他笔答题；

3.考生答题必须答在答题卷上，保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效。

一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.若tanA=~~,则sinA的值是（）

4

A.B.-C.3D.

334

2.要将抛物线卜=X2+2%+3平移后得到抛物线丁=/，下列平移方法正确的是（）

A.向左平移1个单位，再向上平移2个单位.B.向左平移1个单位，再向下平移2个

单位.

C.向右平移1个单位，再向上平移2个单位.D.向右平移1个单位，再向下平移2个

单位.

3.我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆

柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图所示的几何体

是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（）

4.一个口袋中装有10个红球和若干个黄球，在不允许将求倒出来数的前提下，为估计袋中

黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10

的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程20次，得到红球与10的比值的平均数

为0.4,根据上述数据，估计口袋中大约有()个黄球.

A.30B.15C.20D.12

5.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某

新能源汽车4s店的汽车销量自2018年起逐月增加.据统计，该店第一季度的汽车销量就达

244辆，其中1月份销售汽车64辆.若该店1月份到3月份新能源汽车销售量的月平均增长

率为x,则下列方程正确的是()

A.64(1+x)2=244

B.64(1+2%)=244

C.64+64(1+x)+64(1+x)2=244

D.64+64(1+x)+64(l+2x)=244

4

6.对于反比例函数y=-一，下列说法错误的是()

x

A.它的图象分别位于第二、四象限

B.它的图象关于y=x成轴对称

C.若点A(-2,y),在该函数图像上，则必＜必

D.y的值随x值的增大而减小

7.如图，平行四边形A8CO中，M为BC边的中点，0M交AC于点E,则图中阴影部

分面积与平行四边形ABCD的面积之比为()

A.1:2B.2:5C.5:12D.6:13

8.如图，矩形ABCD中，AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上，且

AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为（）

C.106D.15^/3

414

9.函数y=—和y=一在第一象限内的图象如图，点尸是丁=一的图象上一动点，PC_Lx轴

xxx

于点C,交y=L的图象于点8.给出如下结论：①△008与△OCA的面积相等；②方与

X

P8始终相等；③四边形%0B的面积大小不会发生变化；④C4=：AP.其中所有正确结论

的序号是（）

C.①③④D.①②④

10.已知点（一3,yJ,（5,丫2）在二次函数^=改2+瓜+。3#0）的图象上，点（不）,%）是函

数图象的顶点.（）

A.当%>%2为时，%的取值范围时IVM<5

B.当加〉y22yo时，%的取值范围是%>5

C.当为Ny>%时，X。的取值范围是％<-3

D.当先?,>%时，x°的取值范围是/<1

二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)

11.关于x的一元二次方程kx2-2x+l=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是.

12.如图，在平面直角坐标系中，已知点E(-4,2),F(-1,-1).以原点0为位似中

心，把4EF。扩大到原来的2倍，则点E的对应点E的坐标为.

13.如图，在锐角△ABC中，BD_LAC于D,DE_LBC于E,AB=14,AD=4,BE：EC=

9：2,则CD=.

14.如图，在平面直角坐标系中，0为原点，点A在第一象限，点B是x轴正半轴上一点,

k

ZOAB=45°,双曲线y=一过点A,交AB于点C,连接0C,若OCLAB,则tanNABO

x

的值是.

1K

X

15.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCC的顶点A的坐标为（5,0）,顶点B在），轴正

半轴上，顶点。在x轴负半轴上.若抛物线）=一/一131+0经过点8、C,则菱形ABC。的

面积为.

16.如图，在矩形A8CO中，AB=4yfj,AD=4,点E为线段CO的中点，动点尸从点C

出发，沿C-8->4的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为。，当

点。恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点厂运动的距离为.

三、解答题（本大题共9小题，第17-21题每小题8分，第22-23题每小题10分，第24题

12分，第25题14分，共86分）

17.解方程：

（1）X2+4X-2=0;

（2）x（x-2）=3（x-2）；

（3）X2+%-12=0；

（4）5X2-2X+1=0.

18.如图，BD是ABC的角平分线，过点。作交AB于点E,DFIIAB交BC

于点F.

D

(1)求证：四边形BEOR为菱形;

(2)如果NA=90°,ZC=30°,30=12,求四边形BEDE的面积.

19.某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别

记为a,b,c,并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，

分别记为A,B,C.

(1)若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率；

(2)为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共1000吨

生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：

ABC

a400100100

b3024030

c202060

试估计“厨余垃圾''投放正确的概率.

20.如图，一次函数丫=如计6的图象经过A(0,-2),B(-1,0)两点，与反比例函数

与反比例函数y=△的图象在第一象限内的交点为M(〃?，4).

x

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)求AAOM的面积；

(3)在x轴上是否存在点P,使若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理

由.

21.如图，在A3c中，AC=16,BC=20,点。，E分别在边AC、BC上，AD=6,

ZB+ZADE=\8Q°,连结AE.

(1)求证：XEDCsXABC•、

(2)求BE的长；

(3)若A3=12,求△ABE的面积.

22.如图，在海面上生成了一股强台风，台风中心（记为点M）位于滨海市（记作点A）

的南偏西15。，距离为610千米，且位于临海市（记作点B）正西方向606千米处.台

风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60。的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持

不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭.

（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由.

（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？

23.某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件.后来经

过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件.

（1）若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？

（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元.求出y与x之间的函数关系式，并

求当x取何值时，商场获利润最大？

24.如图，矩形0ABe的顶点A、C分别在％、y的正半轴上，反比例函数y=&（%>0）

与矩形0ABe的边AB、BC交于点D、E.

(2)若D为AB边中点.

①求证：E为BC边中点；

②若AOOE的面积为4,求出的值.

25.如图，抛物线y=4+法+，与x轴交于点A(-1,0),点8(3,0),与y轴交于点C,

且过点。(2,-3).点P、。是抛物线y=欧2+/zx+c1上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P在直线OD下方时，求APOO面积的最大值.

(3)直线OQ与线段8C相交于点E,当A03E与A4BC相似时，求点。的坐标.

图1图2

参考答案与解析

一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.若tanA=Y^,则sinA的值是（）

4

A.B.-C.3D.2^

334

【答案】B

【解析】

________sinA

根据COSA=J"SM2A，tanA=一■可得关于sinA的方程，解方程，可得答

cosA

.>/2sinAsinA,-----------1

案，tanA=-=----=-====,4sinA=,2（1-5*4），解得：sinA=-.

4cosAJi—si/A3

故选B.

【点睛】

sirtzA

本题考查了同角三角函数的关系，利用cosAuJl-sin2A,tan/1=-----得出关于sinA的方

vcosA

程是解题的关键.

2.要将抛物线>=%2+2大+3平移后得到抛物线丁=》2,下列平移方法正确的是（）

A.向左平移1个单位，再向上平移2个单位.B.向左平移1个单位，再向下平移2个

单位.

C.向右平移1个单位，再向上平移2个单位.D.向右平移1个单位，再向下平移2个

单位.

【答案】D

【解析】

把抛物线解析式配方后可以得到平移公式，从而可得平移方法.解：

y—x~+2x+3=（x+l）“+2,y—2=（尤+1）“，

x，-%+]

由题意得平移公式为：\~C，

[y=y-2

平移方法为向右平移1个单位，再向下平移2个单位.

故选D.

【点睛】

本题考查二次函数图象的平移，经过对前后解析式的比较得到平移坐标公式是解题关键.

3.我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆

柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图所示的儿何体

是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（）

J■,一

~<1

【答案】A

【解析】

根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案.该几何体的俯视图是:

故选A.

【点睛】

此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从儿何体上面看得到的平面图形是解决本题

的关键.

4.一个口袋中装有10个红球和若干个黄球，在不允许将求倒出来数的前提下，为估计袋中

黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10

的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程20次，得到红球与10的比值的平均数

为04,根据上述数据，估计口袋中大约有()个黄球.

A.30B.15C.20D.12

【答案】B

【解析】

解：•••小明通过多次摸球实验后发现其中摸到红色球的频率稳定在0.4,

设黄球有x个，

.,.0.4(x+10)=10,

解得x=15.

故选B.

5.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某

新能源汽车4s店的汽车销量自2018年起逐月增加.据统计，该店第一季度的汽车销量就达

244辆，其中1月份销售汽车64辆.若该店1月份到3月份新能源汽车销售量的月平均增长

率为x,则下列方程正确的是()

A.64(1+x)2=244

B.64(1+2%)=244

C.64+64(1+x)+64(1+x)2=244

D.64+64(1+x)+64(l+2x)=244

【答案】C

【解析】

设该店1月份到3月份新能源汽车销售量的月平均增长率为x,等量关系为：1月份的销售

量+1月份的销售量X(1+增长率)+1月份的销售量x(1+增长率)2=第一季度的销售量，把

相关数值代入求解即可.设该店1月份到3月份新能源汽车销售量的月平均增长率为x,

根据题意列方程:64+64(1+x)+64(1+x)2=244.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量

关系，列出方程.

4

6.对于反比例函数y=—-，下列说法错误的是()

x

A.它的图象分别位于第二、四象限

B.它的图象关于y=x成轴对称

C.若点A(—2,M)，3(—1,%)在该函数图像上，则y<%

D.y的值随x值的增大而减小

【答案】D

【解析】

4

根据反比例函数的性质对各选项逐一分析即可.解：反比例函数y=-一，攵=-4<0,图像

x

在二、四象限，故A正确.

反比例函数y="，当％>0时，图像关于丁=-尤对称；

x

当k<0时，图像关于）'=》对称，故B正确

当x<0fl寸，）'的值随工值的增大而增大，-2<-1,则X<%，故C正确

在第二象限或者第四象限，）'的值随x值的增大而增大，故D错误

故选D

【点睛】

本题主要考查了反比例函数的性质.

7.如图，平行四边形ABC。中，M为边的中点，交AC于点E,则图中阴影部

分面积与平行四边形ABCO的面积之比为（）

A.1:2B.2:5C.5:12D.6:13

【答案】C

【解析】

根据等底等高的三角形面积比和相似三角形的相似比推出阴影部分面积.设平行四边形的边

AD=2a,AC边上的高为初；过点E作交A。于F,延长FE交BC于G

・・・平行四边形的面积是6"

：.FG=3b

,:AD〃BC

：.X\EDsXCEM

是BC边的中点，

EFAO-

••-------=----------=2,

EGMC

:・EF=2b,EG=b

SEM=—EGxCM=—ah

CEM22

13

S=-FGxCM=-ah

•••Sf=/AivC/Mw22

,•二SCDM—SCEM=ab

（

，阴影部分面积==s*1f+SCDE=ab

阴影部分面积：平行四边形ABCD的面积匕：6。。=5:12

2

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边上的高线的比等于相似比.

8.如图，矩形ABCD中，AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上，且

AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为（）

EB

A.5逐B.1075C.10逝D.1573

【答案】B

【解析】

作点E关于BC的对称点E,连接EG交BC于点F,此时四边形EFGH周长取最小值，过

点G作GGUAB于点G，，如图所示，

VAE=CG,BE=BE,,

，E'G'=AB=10,

：GG，=AD=5,

E'G=yjE'G'2+GG'2=5#＞，

•,«C四边形EFGH=2E，G=105

故选B.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，矩形的性质等，根据题意正确添加辅助线是解

题的关键.

414

9.函数和），=一在第一象限内的图象如图，点「是y=上的图象上一动点，夕（：，》轴

XXX

于点C,交y=L的图象于点8.给出如下结论：①A与△OCA的面积相等；②方与

X

PB始终相等；③四边形％。8的面积大小不会发生变化；④CA=；AP.其中所有正确结论

的序号是（）

A.©©③B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】C

【解析】

解：,；4、B是反比函数>=—上的点，.,.SAO8£>=SAOAC=—>故①正确；

X2

当P的横纵坐标相等时办=PB,故②错误；

4

•..尸是y=—的图象上一动点,S矩形PDOL4,・\S四边形PAOH=S矩形

X

1

PDOC-SAODB~~SA0AC=4---—----二3,故③正确；

2

PC2

J^POC_13PA1

连接。尸，耳二7-AC1=4,：.AC=-PC,PA=-PC,—=3,：.AC=-AP；故④

—44AC3

2

正确;

综上所述，正确的结论有①③④.故选C.

点睛：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的

关键.

10.已知点（一3,y）,（5,女）在二次函数丁=0^+版+以4工0）的图象上，点（%,为）是函

数图象的顶点.（）

A.当%>%之为时，X。的取值范围时IV/<5

B.当*>%»%时，%的取值范围是%>5

C.当为Ny>%时，/的取值范围是％<-3

D.当时，％的取值范围是与<1

【答案】D

【解析】

通过已知条件判断出函数有最大值和最小值两种情况，即开口有上下两种情况，然后根据两

点与对称轴有同侧和异侧两种情况分类讨论选项中的关系是否成立.解：A选项时，函数有

最小值，图象开口向上，若已知两点在对称轴同侧时，

如图，lVXo<5关系不成立;

B选项时，函数有最小值，图象开口向上，若已知两点在对称轴异侧时,

如图，4>5关系不成立;

C选项时，函数有最大值，图象开口向下，若已知两点在对称轴异侧时,

如图，/<-3关系不成立;

D选项时，函数有最大值，图象开口向下,

如图，两点不论在对称轴的同侧还是异侧都成立.

故选：D.

【点睛】

本题考查了抛物线的性质和分类讨论的数学思想，关键在于对对称轴与已知两点的位置进行

分类讨论，较好的考查了数学分析能力.

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11.关于x的一元二次方程kx2-2x+l=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

【答案】k<l且20

【解析】

试题分析：根据一元二次方程的定义和△的意义得到k并且△>0,即(-2)2-4xkxl>0,

然后解不等式即可得到k的取值范围.

解：•••关于x的一元二次方程kx2-2x+l=0有两个不相等的实数根，

；.k并且△>0,即(-2)2-4xkxl>0,

解得k<l且k翔.

；.k的取值范围为k<l且k#).

故答案为k<l且k*0.

考点：根的判别式；一元二次方程的定义.

12.如图，在平面直角坐标系中，已知点E(-4,2),FC-1,-1).以原点。为位似中

心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E的坐标为.

【答案】(-8,4),(8,-4)

【解析】

根据在平面直角坐标系中，位似变换的性质计算即可.解：以原点。为位似中心，把AEF。

扩大到原来的2倍，点E(-4,2),

二点E的对应点E的坐标为(-4x2,2x2)或(4x2,-2x2),

即(-8,4),(8,-4),

故答案为：(-8,4),(8,-4).

【点睛】

本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心,

相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

13.如图，在锐角△ABC中，BD_LAC于D,DE1.BC于E,AB=14,AD=4,BE：EC=

9：2,贝i]CD=.

【答案】2M

【解析】

先利用勾股定理得到BD?=180,设BE=9x,EC=2x,利用射影定理得到BD2=BE・BC,

2()

即180=9x(9x+2x),解得x2=—,于是CD2=CE-CB=2x*11x=40,从而得到CD的长.解:

VBD1AC,

/.ZADB=90°,

ABD2=AB2-AD2=142-42=180,

设BE=9x,EC=2x,

VDE±BC,

ABD2=BE«BC,

即180=9x(9x+2x),解得x2=一,

20

VCD2=CE-CB=2x-11x=22x—=40,

II

CD-2A/TO-

故答案为2厢.

【点睛】

本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每

一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.

14.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，点B是x轴正半轴上一点,

k

NOAB=45。，双曲线y=一过点A,交AB于点C,连接0C,若OCLAB,则tan/ABO

的值是.

【答案】L植

2

【解析】

过点C作CE垂直x轴，CD垂直AD,设点A的和点C的坐标，根据“AAS”证明

△CEO^AADC,求出点A、C的坐标与k的关系，从而求出tan/ABO的值.作CELx轴,

AD±CD

则ND二NOEC,ZACD=ZCOE

VZOAB=45°

AAC=OC

.*.△CEO^AADC

.•.AD=CE,CD=OE

设AD",CD=b

可知点A的坐标为（力一。，人+。），点C的坐标为（b,a）

可得=k,b2-a2=k

；・ab=h2-a2

cra

:.）=1+小或）=1一旧（舍），

a2a2

ZABO+ZBCE=ZBCE+ZOCE=90°,

.e.ZABO=ZOCE

b1+s/5

/.tanZABO=tanZOCE=-O-E-

CEa2

故答案是：上叵

2

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征及锐角三角函数的定

义，找出A、B的坐标与反比例函数系数k的关系是解决本题的关键.

15.如图，在平面直角坐标系中，菱形A8CD的顶点A的坐标为（5,0）,顶点8在y轴正

半轴上，顶点。在x轴负半轴上.若抛物线y=-N—13x+c经过点8、C,则菱形ABCD的

面积为.

【答案】156

【解析】

由题意可得：3（0,c）,结合已知条件求解43=+25,再求解C的坐标，再代入抛

物线的解析式求解c1即可得到答案.解：8在抛物线上，

/.B（0,c）

A（5,0）,

z.AB=5+25,

菱形ABCD,

BC=AB=&+25,

.•.C(-A/C2+25,C)

:.c=—^c2+25)+13(Jc?+25)+c,

/+25=135+25,

7c2+25*0,

,-.VC2+25=13,

.,.c2=144,

c>0,

c=12,

•'S菱形ABCO=13x12—156.

故答案为：156.

【点睛】

本题考查的是抛物线的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键.

16.如图，在矩形ABCD中，AB=45A£>=4,点E为线段CO的中点，动点尸从点C

出发，沿C—B—A的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为C,当

点。恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点尸运动的距离为

DE

x1----------------

【答案】2或4+2®.

3

【解析】

分点C，落在对角线BD上和点。落在对角线AC上两种情况分别进行讨论求解，即可得出点

F运动的距离.分两种情况：

①当点C落在对角线8。上时，连接CC,如图1所示：

•.•将矩形沿所折叠，点C的对应点为点C,且点。恰好落在矩形的对角线上，

：.CC'LEF,

:点E为线段CO的中点，

：.CE=ED=EC,

：.ZCC'D=90°,B[JCC±BD,

J.EF//BD,

，点尸是BC的中点，

:在矩形ABCO中，AZ)=4,

BC=AO=4,

，CF=2,

工点下运动的距离为2；

②当点C落在对角线AC上时，作FH_LC。于，，则CCLEF,四边形C8FH为矩形，如

图2所示：

在矩形A8CQ中，A8=46，AD=4,NB=NBCQ=90。，AB//CD,

R04/Q

.\BC=AD=4,tanZBAC==——=-=,

AB4>/33

，NBAC=30°,

'：EFLAC,

AZAFE=60°,

：.ZFEH=60°f

•・•四边形C8/7/为矩形，

HF=BC=4,

・FH_HF-A_4>/3

tan60V33

;EC=；CD=26，

:.BF=CH=CE-EH=2也-生,

33

点下运动的距离为4+宏3；

3

综上所述：点尸运动的距离为2或4+亚

3

故答案为：2或4+2叵.

3

【点睛】

本题考查了几何变换综合题，需要利用翻折变换的性质、矩形的性质、平行线的性质、三角

函数的应用等知识；熟练掌握矩形的性质，熟记翻折变换的性质是解题的关键.

三、解答题（本大题共9小题，第17-21题每小题8分，第22-23题每小题10分，第24题

12分，第25题14分，共86分）

17.解方程：

（1）X2+4X-2=0：

（2）x（x—2）=3（x—2）；

（3）f+x—12=0；

（4）5X2-2X+1=0.

【答案】（1）4=-2+屈,x?=-2-屈;（2）%=2,々=3；（3）%=-4,勺=3；（4）

方程没有实数根.

【解析】

(1)利用配方法解一元二次方程即可得；

(2)利用因式分解法解一元二次方程即可得；

(3)利用因式分解法解一元二次方程即可得；

(4)利用公式法解一元二次方程即可得.(1)X2+4工一2=0,

x2+4x+4=2+4,

(x+2)2=6,

%+2=±加，

x=-2±^6，

即%)=-2+A/6,X)=-2-\/6；

(2)x(x-2)=3(x-2),

x(x-2)-3(x-2)=0,

(x-2)(x-3)=0,

九一2二0或元一3=0,

x=2或1=3,

即％=2,^=3；

⑶12+%-12=(),

(x+4)(x-3)=0,

x+4=0或x-3=0,

x二一4或x=3,

即%1=—4,/=3；

(4)一元二次方程5%2一21+1=0中的。=5*=-2,c=l,

则其根的判别式为△=(—2)2-4x5xl=4-20=-16<0,

故此方程没有实数根.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、

换元法等，熟练掌握各解法是解题关键.

18.如图，BD是A3C的角平分线，过点。作。E〃3c交AB于点E,DFHAB交BC

于点F.

(1)求证：四边形BEOR为菱形；

(2)如果NA=90°,ZC=30°,BD=12,求四边形BE。/7的面积.

【答案】(1)证明见详解；(2)246

【解析】

(1)根据已知DE〃BC,DF〃AB,判定平行四边形，再由邻边BE=ED,判定菱形即可;

(2)根据含30。的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可.(1)证明:

VDE/7BC,DF〃AB,

，四边形BFDE是平行四边形，

・・・8口是4ABC的角平分线，

・・・NEBD=NDBF,

VDE/7BC,

・・・NEDB=NDBF,

AZEBD=ZEDB,

・・・BE=ED,

，平行四边形BFDE是菱形；

(2)解：连接EF,交BD于O,

A

VZBAC=90°,ZC=30°,

AZABC=60°,

・・・四边形BEDF为菱形，

ABD1EF,ZEDF=ZEBF=60°,BD平分NEDF,

AZODF=30°,ZDOF=90°,

在RtADOF中，设OF=x,贝i」DF=2x,

AX2+62=(2X)2,解得：x=20，

即：0F=2>/3>

：.EF=20F=473，

菱形BFDE的面积=g«EF«BD=gxl2x4G=24G-

【点睛】

此题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键.

19.某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别

记为a,b,c,并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，

分别记为A,B,C.

（1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率；

（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共1000吨

生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

ABC

a400100100

b3024030

c202060

试估计“厨余垃圾”投放正确的概率.

12

【答案】（1）-（2）-

33

【解析】

解：（1）三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树状图如下:

开始

由树状图可知，共9种等可能投放结果，投放正确的有3种，

31

...垃圾投放正确的概率为.

(2)I•厨余垃圾计400+100+100=600,投放正确的400,

4002

...厨余垃圾投放正确的概率为旃=§.

(1)根据题意画出树状图，由树状图可知总数为9,投放正确有3种，从而求出垃圾投放

正确的概率.

(2)由题意和概率的定义，用投放到“厨余垃圾''箱的厨余垃圾除以投放到“厨余垃圾''箱的

生活垃圾即可.

20.如图，一次函数y=々ix+6的图象经过A(0,-2),B(-1,0)两点，与反比例函数

与反比例函数y=8■的图象在第一象限内的交点为M(m,4).

x

(1)求一次函数和反比例函数的表达式;

(2)求△AOM的面积;

(3)在x轴上是否存在点尸，使若存在，求出点尸的坐标；若不存在，说明理

由.

12

【答案】(1)y=-2x-2；y=——；(2)SAAOM=3；(3)存在.P点坐标为(-11,0).

x

【解析】

(I)先利用待定系数法求一次函数解析式，再利用一次函数解析式确定M点的坐标，然后

利用待定系数法求反比例函数解析式；

(2)过M点作MCLy轴于C,则MC=3,根据三角形面积公式求得即可；

(3)先利用两点间的距离公式计算出AB=75，BM=2也,再证明RtAMBP,

利用相似比计算出PB=10，则OP=U,于是可得到尸点坐标.(1)1•一次函数产Mx+b

的图象经过A(0,-2),8(-1,0)两点，

.〃=-2

•'1_仆+}=0，

k1=—2

解得

b=-2

所以一次函数解析式为y=-21-2；

把M(加，4)代入y=2x-2得-2m-2=4,

解得m=-3,

则M点坐标为(-3,4),

k

把M(-3,4)代入y=-得22=-3x4=-12,

x

所以反比例函数解析式为y=--；

X

(2)如图，过M点作MCLy轴于C,则MC=3,

VA(0,-2),

：.OA=29

11

/.SAAOM=-OA*MC=—x2x3=3；

22

(3)存在.

VA(0,-2),B(-1,0),M(-3,4),

,,.A8=V5，BM=J(-1+3)2+42=2y[5,

：.ZBMP=90°f

NOBA=NMBP,

/.RtAOBASRSMBP,

.APOBJ51

.•---=----,即nn----=/=',

PBBMPB2V5

：.PB=lOf

：.OP=11,

・・・P点坐标为(-11,0).

【点睛】

此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质、待定系

数法求解析式、相似三角形的判定与性质.

21.如图，在A5c中，AC=16,BC=20,点D,E分别在边AC、BC上,AO=6,

NB+NAOE=180。，连结AE.

(1)求证：△EDCs△ABC；

(2)求BE的长；

(3)若AB=12,求△ABE的面积.

【答案】(1)见解析；(2)BE=12；(3)SAABE=­.

【解析】

(1)根据同角的补角相等可得/B=NCDE,结合NC为公共角，根据两角对应相等的两个

三角形相似即可证明△EDC-AABC；

(2)由4EDC^AABC,根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出EC即可解决问题;

(3)先根据勾股定理的逆定理得出/BAC=90。，再过点A作AF_LBC于F,利用三角形的

面积公式求出AF,再根据三角形面积公式代入计算即可.解：(1)•••/B+/ADE=180。,

NCDE+NADE=180。，

，/B=NCDE,

在4ABC中,

VZCDE=ZB,ZC=ZC,

/.△EDC^AABC；

(2)VAEDC^AABC,

.EC_CD

；AC=16,BC=20,CD=AC-AD=16-6=10,

.EC_10

■"7?"20'

；.EC=8,

；.BE=BC-EC=20-8=12；

(3)VAB=12,AC=16,BC=20,

.*.AB2+AC2=BC2,

.••△ABC是直角三角形，且NBAC=90。，

如图，过点A作AF_LBC于点F,

11

SAABC=-BC・AF=-AB«AC,

22

«AB^C121648

，AF=------=-----=——，

BC205

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理以及三角形的面积计算等知识，熟

练掌握相关定理是解题的关键，难度不大.

22.如图，在海面上生成了一股强台风，台风中心（记为点M）位于滨海市（记作点A）

的南偏西15。，距离为610千米，且位于临海市（记作点B）正西方向606千米处.台

风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60。的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持

不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭.

（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由.

（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？

♦A（滨海市）

B（临海市）

【答案】（1）滨海市不受影响，临海市受影响，理由见详解.

(2)3小时.

【解析】

（1）过A作AH1.MN于H,故AMH是等腰直角三角形，可求出AM,则可以判断滨海市

是否会受到此次台风的侵袭.

同理，过B作BHiLMN于Hi,求出BHi,可以判断临海市是否会受到此次台风的侵袭.

（2）求该城市受到台风侵袭的持续时间，以B为圆心60为半径作圆与MN交于Ti、T2,

则「T2就是台风影响时经过的路径，求出后除以台风的速度就是时

解：（1）设台风中心运行的路线为射线MN,于是N4WN=60°—15°=45°.

过A作AH_LMN于H,故AMH是等腰直角三角形.

AM=6172-ZA""=60°-15°=45。，

，AH=AM*sin450=61>60.

滨海市不会受到台风的影响；

过B作BH」MN于Hi.

•••MB=60g，NBMN=90°-60°=30°,

BH.=sin30xMB=-x60V3=306<60,

2

因此临海市会受到台风的影响.

（2）以B为圆心60千米为半径作圆与MN交于Ti、T2,则37；=87；=60.

力mRTU||.•/RT口_BH\_3。拒

在RtBi.ri,中，=-----------=—，

''BTt602

NB7JU=60。.

/.87；（是等边三角形.

肛=60.

•••台风中心经过线段TlT2上所用的时间=簪=—小时.

时间726

因此临海市受到台风侵袭的时间为1■小时.

【点睛】

解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线.

23.某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件.后来经

过市场调查，发现这种商品单价每降低1