2021-2022学年新人教B版高中数学选择性必修第一册课后提升训练：1-2-4 二面角【含答案】

1.2.4二面角

课后篇巩固提升

“……••基础达标练

1.已知ABCD是正方形乃是的中点，将和AC2E分别沿DE,CE折起，使AE与BE重合4乃

两点重合后记为点尸，那么二面角尸-CD-E的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D,90°

薛A

2.如图，设为圆锥尸O的底面直径,尸/为母线，点C在底面圆周上，若△尸48是边长为2的正三角形,

且CO_L/优则二面角P-AC-B的正弦值是（）

如图，取AC的中点连接ODFD,

：'尸。_1底面，.：尸。_1/6

VOA=OC,D为/C的中点,.：O£>_LNC,

又尸OCOD=O,.：/C_L平面尸OD,则ACLPD,

.：/尸。。为二面角P-NC-B的平面角.

:'AP/8是边长为2的正三角形，

.,.PO=^3,OA=OC=1,OD=yJ'J尸D=J（遮）2+（y）2=孚.

../DMpoV3V42

..smZPDO=-=^=—

故选B.

前B

3.正方形ABCD所在平面外一点J_平面4BCD,若则平面PAB与平面PCD所成的角为

()

A.30°B,45°C.60°D.90°

|解析|如图所示，建立空间直角坐标系，设PA=AB=\,

则4(0,0,0)。(0,1,0),尸(0,0,1).

于是前=(0,1,0),取PD的中点瓦则E(0,：,口，

.:荏=(0,；,；),易知而是平面PAB的法向量，荏是平面PCD的法向量,

；.cos<AD,AE>=-^-,

.：平面P/8与平面尸CD所成的角为45°.

-B

4.请根据所给的图形，把空白之处填写完整.

(1)直线与平面平行的性质定理(请用符号语言作答).

如图①，已知:。〃a,,

求证:.

⑵平面与平面垂直的性质定理的证明.

如图②，已知:a邛4BCCD=B,aCB=CD,,,

求证:42_1_4

证明:在£内引直线，垂足为2,则是二面角的平面角，由近夕,知，又

AB±CD,BE和CD是£内的两条________直线，所以AB邛.

C

图①图②

廨|(1)已知:a〃a,au£,a1~16=6,

求证:a〃b.

故答案为auB,aC[i=b;a〃b.

(2)如图②,已知:a_LB,ABCCD=B,

aC忏CD)Bua^B±CD,

求证:4B_L£.

证明:在/内引直线BE_LCD,垂足为B,

则ZABE是二面角a-CD邛的平面角，

由&_1£,知ABLBE,又4B工CD,

BE和C£>是“内的两条相交直线，所以

故答案为ABcaAB±CD,BE±CD,ZABE,a-CD-/3AB±BE,交.

5.已知正A/BC与正ABCD所在平面垂直，则二面角A-BD-C的正弦值为.

解析|取BC中点0,连接/。,。0,建立如图所示的空间直角坐标系.

设BC=1,则4(0,0,y),B(0,-1,0),D(:0,0).

所以市=(o,o,苧)，

丽=(o工厚)前=(@Jo)

，2,2，2，2，,

由于瓦?=(0,0,苧)为平面BCD的一个法向量,

设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),

则上雪°，所以上+彳=。，

lnBD=0,l^x+ly=o,

取x=l,则>=-百/=1,所以n=(l,-V^,l),

所以cosVn,OZ>=^,所以sin<n,Oi4>=-1V5.

6.在空间中，已知平面。过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,Q)(Q>0),如果平面a与平面xOy所成的角为

45°，则a=.

解析平面xQy的法向量n=(0,0,1),设平面a的法向量为u=(x,y,z),

(-3x+4y=0,

(-3%+az=0,

即3x=4y=az,取2=1,

aa.j

则u=5不1・

T1V2。••八

而cos<n,u>=,—=—.a>0,

哈篓+1

12

a

5

如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且P/_L平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的

中点，求二面角C-BF-D的正切值.

阚如图所示，设AC与BD交于O,

连接。£以。为坐标原点,。氏。。,。尸所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

Oxyz.

设尸N=AD=/C=1,则BD=^3,

），反=（o,[o）,易知沆为平面

，尸,cU,1,o下的一个法向量.

由前=（字；,0）,丽=（景0,4）,可得平面BCF的一个法向量为n=（l，代何所以

cos<n,OC>=^|i,sin<n,OC>=^y^,^以tan<n,0C>=^-.

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形,ND4B=60°/2=24D,PD_L底面ABCD.

⑴证明:尸/_LAD;

⑵设尸。=40,求二面角A-PB-C的余弦值.

⑴怔明|因为ZDAB=60°〃8=2ND,由余弦定理得BD=WAD.

从而BD2+AD2=AB2,ikBDLAD.

又PD_L底面48cD,可得BD±PD,

所以ADJ_平面PAD.故PA±BD.

(2)魁如图，以。为坐标原点的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.

则A[1,0,0),5(0,73,0),6(-1,V3,0),P(0,0,l).

AB=(-1,V3,0),PB=(0,V3,-1),5C=(-1,0,0).

设平面PAB的法向量为n=(xj,z),

则亚=0,即fx+Ky=0,

{n-PB=0,(V3y-z=0,

因此可取n=(B,l,g).

设平面PBC的法向量为m=(a力,c),则1m,竺=0,即[同七=°，

\m-BC=0,la—。，

可取m=(0,-l,-V3),cos<m,n>=-^=-^.

由图形知二面角/-P2-C大小为钝角,

故二面角A-PB-C的余弦值为二.

9.

正方体/BCD-43co的棱长等于2,E尸分别是2。么。的中点.求:

⑴直线48,和平面/CD所成角的正弦值;

(2)二面角B'-CD'-A的余弦值.

阚如图建立空间直角坐标系Dxyz,

;正方体的棱长等于2,瓦厂分别是B'D'^C的中点,

.：/(2,0,0)?(2,2,0),。(0,2,0)刀＜0,0,2)石，(2,2,2)也(1,1,2),下(1,1,0).

⑴布=(-2,0,2),就=(-2,2,0),加=(0,2,2),设n=(xj；z)是平面/CD的一个法向量,

则由卜i,布=0,r(x',y',z')-(-2,0,2)=0,

ln.XC=0,t(%Xz')-(-2,2,0)=0,

p=x',

ly'=x",

取x，=l,得平面NCD的一个法向量n=(l,l,l),

设直线/夕和平面/CD所成角的大小为。，则sin0=^41L

-V3xV8—-T?

.：直线/V和平面NCD所成角的正弦值是苧

(2)W=(2,2,0),DvC=(0,2,-2),

设m=(xojo,zo)是平面皮CD的一个法向量,

则由｛:熏二:'得｛黑索'取次勺彳导平面。的一个法向量比（/』』）,

n-m(1,1,1)(1,1,1)二1

由cos0=

\n\-\m\V3xV3--3?

由图形知二面角B'-CD'-A的大小为锐角.

故二面角B'-CD'-A的余弦值是京1

…“■…”能力提升练

1.二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于/A已知

48=4么。=6,3。=8,。。=2后,则该二面角的大小为（）

A.1500B.450C.60°D.1200

廨相由条件知,Z%通=0,荏•前=0,

CD^CA+AB+^D.

/.\^\2=\CA\2+\AB\2+\BD\2+2CA-AB+2AB-BD+2CA-BD

=62+42+82+2x6X8COSVC\4,B£）>

=（2VW,

——>>1——>>

/.cos<CA,BD>=-^<CA,BD>=120°,

.:二面角的大小为60°,故选C.

H]c

2.设三棱锥心48c的底面是正三角形，侧棱长均相等，尸是棱以上的点（不含端点）.记直线尸3与直线

/C所成的角为出直线尸8与平面/8C所成的角为⑸二面角P/C-8的平面角为力则（）

A./3<y,a<yB./3<a,]3<y

C.p<a,y<aD.a<做<£

解析|如图G为/C中点，点厂在底面NBC上的投影为点O,则点P在底面/8C上的投影点。在线段

A0上，过点D作DE垂直AE,易得PE//NG,过点P作PF//AC交VG于点F,过点D作DH"AC,爻

BG于点H,则a=NBPF/=NPBD,y=/PED,所以cosa=—rD=—rD=—rD<砧rD=cos£,所以a>£，因为

tany=—>^=tan£,所以户故选B.

CL)DL)

答案B

3.如图，将菱形48CD沿对角线AD折起，使得C点至C；E点在线段/。上，若二面角4AD-E与二面

角E-2DC的大小分别为30°和45°，则卷=()

1R任

A-2BTD-T

解析|取BD的中点O,连接AO,EO,C。

丁菱形ABCD沿对角线她折起，使得。点至。4点在线段4C上,

・：COLBDAOLBD.OC'=OA,

・：5Q_L平面4。。，

/.EOLBD,

丁二面角4-5DE与二面角E-AD-。的大小分别为30°和45°,

/.ZAOE=30°,ZEOCr=45°,

•・・OC'=OA,.・・ZOCE=ZOAE,

由正弦定理得』EC

sin/ECC”

OE_CE

sinZ.OAEsinZJlOE'

,EC_-

**sinz.EOCsinz.AOE9

A

.AE_sin30°_J__V2

•*~EC-sin45°一直一T

~T

故选C.

答案|c

4.如图所示，将边长为a的正三角形4BC,沿BC边上的高线AD将A/BC折起.若折起后瓦。间距离为

*则二面角8-4DC的大小为.

答案|60°

5.如图，在矩形ABCD中,E为线段BC上一动点，现将△4BE沿AE折起得到MB区当二面角B'-AE-D

的平面角为120°，点"在平面上的投影为K,当E从8运动到C,则点K所形成轨迹

是.

解近过K作KO_L/£,连接OB；

「二面角的平面角为120°,

/.ZB'OK=60°,

1

二.KO/BO

从而原问题就转化为90_L4瓦K为夕。中点，求K的轨迹长度，如下图,

OJ_4£,,：O在以4皮为直径的圆上，取4皮中点工则JK1BK,

所以K点的轨迹是以B'J为直径的圆上的一段弧.

馥一段圆弧

6.如图，在四棱锥P-ABCD中，尸C,底面/BCD,四边形ABCD是直角梯形//

CD,AB=2AD=2CD=2,E是的中点.

若二面角P-AC-E的余弦值为孚，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.

廨|如图，作C尸〃D4,交于点凡以。为原点，就加，而分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直

角坐标系，

则C(0,0,0)/(1,1,0)石(1,-1,0).

设尸(0,0,。)(。>0),则叫夕,

-C--4-*=(l,l,0),C--P--*=(0,0,a),C---E->=(%1，下Id9)人

取m=(l,-l,0),则m•刀=m•而=0,所以m为平面尸NC的一个法向量.

设n=(”)为平面"C的一个法向量，则｛:黑：；即｛:":z2。取』

可得n=Q-〃,-2),

依题意,|cosvm,n>|=^^=

1।四川V2-V2a2+43

则4=1(负值舍去).

于是11=(1,-1,-2),方=(1,1,-1).

设直线尸4与平面E4C所成的角为&

__万

则sin^=|cos<P24,n>|=—,

即直线尸4与平面E4。所成角的正弦值为学

如图，在以43,C,D,E尸为顶点的五面体中，平面A8E尸为正方形〃F=2ED,乙4ED=90°,且二面角D-

/RE与二面角C-3E-尸都是60。.

⑴证明:平面/BEAL平面EFDC;

(2)求二面角E-BC-A的余弦值.

(1)|证明|由已知可得AF±DF^4F±FE,^以AFL平面EFDC,又AFu平面ABEF,故平面ABEFL平面

EFDC.

(2)阚过D作DG_L£F,垂足为G,由⑴知DGJ_平面ABEF,以G为坐标原点，而的方向为x轴正方

向谓|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G孙z.由(1)知/。口E为二面角D-NF-E的平面角，

故/DFE=60°，则DF=2,DG=W,

可得/(1,4,0),3(-3,4,0),E(-3,0,0),。(0,0,旧).

由已知48〃EF,所以48〃平面EFDC,又平面ABCDC平面EFDC=CD,ikAB//CD,CD//EF,由

AE■〃//，可得3£_L平面EFDC,

所以NC£尸为二面角。-5£-尸的平面角,/。£尸=60°,

从而可得C(-2,0,V3).

所以就=(1,0,b)，丽=(0,4,0),前=(-3,-4,遥),同=(-4,0,0).

设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量，则(“吧°’

{n-EB=0,

即俨+号=°，所以可取n=(3,0,-图设m=(xi，H，zi)是平面ABCD的法向量，则加丝=0,

(切=0,VmAB=0.

同理可取m=(0,四,4),则cos<n,m>=^=-^.

由图形知二面角E-BC-A为钝角，

如图，在四棱锥E-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形石石二^④^,^瓦州为CE上一点，且3M，面

ACE.

⑴求证:/E_LBC;

(2)若点N为线段A8的中点，求证:〃面ADE;

(3)若BE=4,CE=4V^,且二面角A-BC-E的大小为45°，求三棱锥C-ABE的体积.

⑴|证明|:方M_L平面NCEdEu平面ACE,/.BM±AE.

；AELBE,BMCBE=B,

.：/E_L平面BCE.

；BCu平面BCE,

.\AEA_BC.

(2)怔明取DE中点P,连接PM^P,

；BC=BE,BM_LAE,

；.M为CE的中点，

.".MP//^DC//AN,3.MP=AN,

.：4PAW为平行四边形，

.,.MN//AP.

:MN9平面ADE^APu平面ADE,

；.MN〃平面ADE.

(3)魁由BE=BC=4,CE=4近得BC±BE.

；BCtAE)ECBE=E,

.：3C_L平面4BE.

.：N4B£为二面角/-3C-E的平面角.

.'.ZABE=45°..'.AE=BE=4.

11??

.：三棱锥C-ABE的体积々x^x42x4=y.

9.

如图,长方体的底面ABCD是正方形，点£在棱441上,BELEG.

⑴证明平面班Ci；

(2)若/£=小£,求二面角B-EC-Ci的正弦值.

⑴|证明|由已知得,8Ci_L平面483X1,AEt平面482i/i,故2iGJ_BE又BE_LECi,所以3£_L平面

EBiCi.

(2)阚由(1)知/AE3=90°.由题设知R34BE且RtA/iSE,所以N/£2=45°,

故AE=AB)Ai=2AB.

以D为坐标原点，石?的方向为x轴正方向,|£?|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

则C(O,1,0),3(1,1,0),G(0,1,2)£(1,0』),而=(1,0,0),荏=(11,1),苗=(0,0,2).

设平面E3C的法向量为n=(x,%z),则

n=0,即俨=0,

n=o,^x-y+z=0,

所以可取n=(0,-l,-l).e

设平面ECCi的法向量为m=(x,y,z),则

m=0,即(2z=0,

m=0,1久少+z=0,

所以可取m=(l,l,0).g

工日n-m1

于cos<n,m>=TT—;=-7Z.

\n\\m\2

所以,二面角8-ECC的正弦值为学

10.如图，在长方体向GD中，已知上下两底面为正方形，且边长均为1,侧棱/4=2,E为3c中

点方为CD中点,G为881上一个动点.

(1)确定G点的位置，使得。山，平面AFG;

(2)当平面AFG时，求二面角G-AF-E的平面角的余弦值.

阚⑴如图,

分别以所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,

则。(0,0,0)41,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0)01(0,0,2).

因为E为BC中点、尸为CD中点，所以E(打0)产(0,今0

由题意得。iE_L4F,A£J_/G,设G(1,1,0.

又用声((1,-2),布式-琦,0),AG=(0,1,t).

因为。平面NFG,则•［竺,竺=°'

(AE/G=0,

一11

彳寸l-2/=0/=-.9.BG=-,

即G为BBi的四等分点、.

(2)由题意知，平面4所的一个法向量为m=(0,0,l),

设平面AFG的法向量n=(x,y,z).

则［竺"="得卜"？一°,取X=-1,得n=(-l,-2,4).

(AG-n=0,卜+卜二。，

.mn4V21

••c°s<m,n>F=k

由图形知二面角G-4b的大小为锐角.

.：二面角G-4F-E的平面角的余弦值为等.

素养培优练

如图,48是圆。的直径，点C是圆O上异于的点，直线PC,平面48C,E,尸分别是P/,PC的中点

(1)记平面3£下与平面ABC的交线为/,试判断直线/与平面PAC的位置关系,并加以证明；

⑵设(1)中的直线/与圆。的另一个交点为。，且点0满足丽=：而，记直线尸。与平面/8C所成的

角为优异面直线PQ与EF所成的角为见二面角E-1-C的大小为求证:sin6»=sinasinp.

⑴阚直线/〃平面P/C,证明如下：

连接EF,因为凡F分别是PA,PC的中点，

所以EF〃4c.

又ERE平面4BC,且/Cu平面ABC,

所以斯〃平面48c

而EFu平面BE尸,且平面BEFC平面ABC=I,所以EF〃L

因为/C平面平面PAC,

所以直线/〃平面PAC.

(2)|证明|如图，由丽=;而，作。。〃。尸,且DQ=^CP.

连接PQ,EF,BE,BF,BD,由⑴可知交线I即为直线BD.

以点C为原点，向量Z%而，而所在直线分别为X、>、Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设

G4=a,C3=6,CP=2c,则有C(0,0,0)^(a,0,0),5(0,/),0),P(0,0,2c),Q(a,Z),c),£,^ci,0,c^,F(0,0,c).

于是FE=^|-a,0,0^,QP=(-a,-b,c),BF=(Q,-b,c),

a

所以COSOC

~\FE\\QPIJa2+b2+c2

从而sina=Vl-cos2cr=i+C=.

Ja2+b2+c2

又取平面ABC的一个法向量为m=(O,O,l),可得5访其」加竺=,。.

|m|l<?P1Ja2+b2+c2

设平面5£厂的一个法向量为n=(x,y,z),