2024年全国高考Ⅱ卷数学试题及答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.zz1i1.（）A.012D.2R，|x1|12.已知命题p：xx0，x3x，则（）；命题q：pA.p和q都是真命题D.和q都是真命题qp和q都是真命题p和都是真命题aab2b2abb3.已知向量a,b（）2321A.D.1224.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理下表[900950）[950，1000）[1000，1050）），1200）量据表中数据，结论中正确的是（A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg612182410）第1共页100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%100块稻田亩产量的极差介于至D.100块稻田亩产量的平均值介于至1000kg5.已知曲线C：x2y216（y0C上任意一点P向x轴作垂线段，P的中点M的轨迹方程为（）x2y2x2y221（y01（y01（y0A.））1648y2x2y2x1（y0）D.）48f()(x2，g(x)x2x(yf(x)与yg(x)6.设函数交点，则A.1恰有一个a（）11D.223-ABC6，AB2AA与平面所成角的正切值为17.已知正三棱台的体积为，11111（）12A.12D.3）f(x)(xa)xb)f(x)0a2b2的最小值为（8.设函数111A.D.1842二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.πf(x)sin2xg(x)sin(2x)和9.对于函数，下列正确的有（）4A.f(x)与g(x)有相同零点f(x)与g(x)有相同最大值f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴(y1的一条切线，Q为切点，210.抛物线C：y24x的准线为lP为CP作A:x2过P作l的垂线，垂足为，则（）AA.l与当P，B三点共线时，|PQ15当|2PAAB第2共页D.||||P有且仅有2个1，则（A.当a1f(x)有三个零点f(x)2x32设函数）x0是f(x)的极大值点当a0ab，使得xb为曲线yf(x)的对称轴为曲线f1yf(x)的对称中心D.a，使得点三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.Sa}aa7aa5S，则1012.记为等差数列n项和，若，________.nn34254，tan21，则13.已知为第一象限角，为第三象限角，tan)_______.14.在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角A，C的对边分别为abc，已知sinA3A2．1）求．2）若a2，bCc2B的周长．f(x)eax316.已知函数．yf(x)f处的切线方程；1）当a1时，求曲线2）若f(x)有极小值，且极小值小于0a的取值范围．17.ABCD8，CD3，AD53，，BAD30E，，2512AEAD△AEF沿对折至!PEF，使得43．F第3共页1）证明：；2）求面所成的二面角的正弦值．18.队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶350分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总，乙每次投中的概率为q互独立．1）若p0.4，q，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队比赛成绩不少于5分的概率．2）假设0pq，i）为使得甲、乙所在队比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？C:x2y2mm0P4，点在C1k上，为常数，0k119.已知双曲线．按照如下方式依次构PnPn1kC的左支交于点QPnQn1y关于轴的对称点，造点，过作斜率为的直线与，令为nn1Pnn,y记的坐标为.n12x,y；221）若k1k1kxy是公比为n2）证明：数列的等比数列；nSPPPnSS，nn13）设为面积，证明：对任意的正整数.nnn1n2第4共页2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.zz1i1.（）A.012D.2【答案】C【解析】【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.1iz22.2【详解】若z故选：CR，|x1|12.已知命题p：xx0，x3x，则（）；命题q：pA.p和q都是真命题和q都是真命题qp和q都是真命题p和都是真命题D.【答案】B【解析】【分析】对于两个命题而言，可分别取x=1、x1，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.p是假命题，是真命题，p【详解】对于而言，取x101px=1，则有第5共页q而言，取q是真命题，q是假命题，x1，则有311x3xpq和都是真命题.综上，故选：aab2b2abb3.已知向量a,b（）231A.D.1222【答案】B【解析】2bb2abaab222得1abb1b42ab得解.2，2abb2abb2ab0【详解】因为，所以baab2又因为，22所以1abb1b4，2b.2故选：4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理下表[900950）[950，1000）[1000，1050）），1200）量据表中数据，结论中正确的是（A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg612182410）100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过80%100块稻田亩产量的极差介于至D.100块稻田亩产量的平均值介于至1000kg【答案】C【解析】第6共页【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于的频数，再计算比例即可判断；根据极差计算方法即可判断；根据平均值计算公式即可判断D.【详解】对于A,根据频数分布表可知,612183650,1050kg所以亩产量的中位数不小于,故A错误；，亩产量不低于1100kg的频数为，所以低于1100kg的稻田占比为B错误；，稻田亩产量的极差最大为，最小为1150950200C正确；D，由频数分布表可得，亩产量在的频数为100(612182410)30，1(692512975181025301075241125101067所以平均值为D错误.100故选；5.已知曲线C：x2y216（y0C上任意一点P向x轴作垂线段，P的中点M的轨迹方程为（）x2y2x2y221（y01（y01（y0A.）D.）1648y2x2y2x1（y0））48【答案】A【解析】【分析】设点M(x,y)，由题意，根据中点的坐标表示可得P(x,2y)，代入圆的方程即可求解.【详解】设点M(x,y)P(x,yP(x,0)，0y2y0M为的中点，所以P(x,2y)，又Px2y216(yx2y2x24yy2y，4x2y2M的轨迹方程为故选：Ay.4f()(x2，g(x)x2x(恰有一个yf(x)与yg(x)6.设函数a交点，则（）第7共页12A.11D.2【答案】D【解析】Fx2aGxxyF(x)与yG(x)恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a2，并代入检验即可；解法二：令hxhxhx的零点只能为0，f(x)gx,x知即可得a2，并代入检验即可.f(x)gxa(x21x，可得ax2a1x，【详解】解法一：令，令FxaGxx2x(yF(x)与yG(x)恰有一个交点，原题意等价于当时，曲线注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，Fx,GxF0G0a11，解得a2，若a2FxGx，可得2x21x0x20,1x0x0，当且仅当时，等号成立，2xx02x21x0，当且仅当时，等号成立，yF(x)yG(x)恰有一个交点，则方程2x21x0有且仅有一个实根，即曲线0与a2符合题意；综上所述：a2.hxf(x)gxax2a1x,x解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，hx21xax2a1xhx，hxaxa则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，hxhxh0a20，解得a2，即第8共页hx2x21x,x，若a22x20,1x0x0当且仅当为时，等号成立，x0时，等号成立，hx0，当且仅当即有且仅有一个零点0，所以a2符合题意；hx故选：D.-ABC6，AB2AA与平面所成角的正切值为17.已知正三棱台的体积为，111113（）12A.12D.3【答案】B【解析】433【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高h，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求43-ABC得AM，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥1113PAA18，进而可，与平面所成角即为与平面所成角，根据比例关系可得VPABC1P求正三棱锥的高，即可得结果.BC,CD,D=33,AD=3【详解】解法一：分别取的中点，1111131S设正三棱台则V6693,S233，ABC111222-ABCh，11113523433933933h，解得h，ABCABC111A,DM,Nx，如图，分别过作底面垂线，垂足为11第9共页31=2+1M2=x2+，=--=23-x，则162121N223x，362221BBB21DD21结合等腰梯形,1161623x4432x2x，解得即，3331MAA1tanÐ1==1与平面所成角的正切值为；-ABCP，解法二：将正三棱台补成正三棱锥111AA1则与平面所成角即为与平面所成角，V11131PABC1111，P可知VPVPABC18，ABCABC1131113P的高为d，则Vd66d23，设正三棱锥，解得P322取底面的中心为OAO23，1.与平面所成角的正切值故选：f(x)(xa)xb)f(x)0a2b2的最小值为（8.设函数）111A.D.1842【答案】C【解析】f(x)的定义域为,b,1ba与分析判断，即可得ba1，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析xb)的符号，进而可xa的符号，即可得ba1得，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：f(x)的定义域为,，令xa0xaxb)0x1b；xb,1bxaxb0，ab若时，可知f(x)0，不合题意；xa,1bxaxb0，若ba1b时，可知f(x)0，不合题意；xb,1bxaxb0f(x)0；若a1b时，可知，此时当时，可知f(x)0；x1b,xaxb0，此时可知若a1b，符合题意；x1b,axaxb0时，可知，若a1bf(x)0，不合题意；ba1，综上所述：a1b21211112则a2b2a2a22a，当且仅当a,b时，等号成立，2221a2b2的最小值为；2解法二：由题意可知：f(x)的定义域为,，令xa0xaxb)0x1b；xb,1bxb0xa0，所以1ba0；x1b,xb0xa01ba0；，所以122112故1ba0，则2b2a2a22a，a2第共页112a,b当且仅当时，等号成立，21a2b2的最小值为.2故选：0、xb)0【点睛】关键点点睛：分别求xa的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.πf(x)sin2xg(x)sin(2x)和9.对于函数，下列正确的有（）4A.f(x)与g(x)有相同零点f(x)与g(x)有相同最大值f(x)与g(x)有相同的最小正周期【答案】D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【解析】【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.πf(x)sin2x0x,kZ【详解】A选项，令，解得，即为f(x)零点，2πππg(x)sin(2x)0x,kZg(x)，即为零点，令，解得428f(xg(x)零点不同，A选项错误；f(x)g(x)1，B选项正确；B选项，显然C选项，根据周期公式，2πf(xg(x)π，C选项正确；的周期均为2πππ2xπx,kZ，D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足224π4π2π3ππx,kZ，g(x)2x的对称轴满足28f(xg(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：(y1的一条切线，Q为切点，210.抛物线C：y24x的准线为lP为CP作A:x2过P作l的垂线，垂足为，则（）AA.l与当P，B三点共线时，|PQ15当|2PAABD.||||P有且仅有2个【答案】【解析】x=1P,,B，根据圆心到准线的距离来判断；选项，AB2kk1是否成立；PCD先算出P的P的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.24x的准线为x=1，x=1的距离显然是1，等于圆的半径，【详解】A选项，抛物线yA(0,4)的圆心到直线相切，A选项正确；故准线l和AP,,Bly4P的纵坐标，PB选项，三点共线时，即y2P4xx，得到P4P(4,4)，由P2r24221，B选项正确；此时切线长2x1P24P4P，P2)或PyC选项，当，此时4201420(P2)(0,4),B(2)k2k2，当，，kk1；不满足4(014(2)0(当P(0,4),B(2)，k6，k6，kk1；不满足PAAB不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化F0)，根据抛物线的定义，，这里时P点的存在性问题，时P点的存在性问题转化成12114(0,4),F0)，,2，中垂线的斜率为，k2xy24x2y16y300，的中垂线方程为：，与抛物线y联立可得81624301360的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得，D选项正确.2tBt，P,tl4)设4t4t2t4)21，整理得2tt300，根据两点间的距离公式，1641624301360t，则关于的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D选项正确.故选：f(x)2x321，则（设函数）A.当a1f(x)有三个零点x0是f(x)的极大值点当a0ab，使得xb为曲线yf(x)的对称轴为曲线f1yf(x)的对称中心D.a，使得点【答案】AD【解析】【分析】A选项，先分析出函数的极值点为x0,xa，根据零点存在定理和极值的符号判断出f(x)在(0),(0,a(a,2a)上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存a,bf(x)f(2bx)，使得xb为f(x)的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的f(x)f(2x)66aa在这样的3a)为f(x)用拐点结论直接求解.26ax6x(xa)，由于a1，【详解】A选项，f(x)6x故时f(x)在,0,,上单调递增，，f(x)单调递减，xf(x)0,0,xa)f(x)0x0xa处取到极小值，则f(x)在处取到极大值，在f(0)10，f(a)1af(0)f(a)0，30由根据零点存在定理f(x)在a)上有一个零点，f(1a0，f(2a)4af(f(0)f(a)f(2a)0，310又(0),(a,2a)a1f(x)有三个零点，A选项正确；则f(x)在B选项，上各有一个零点，于是x(a,0),f(x)0，，f(x)单调递减，f(x)6x(xa)0x)f(x)0时，f(x)单调递增，x0f(x)在处取到极小值，B选项错误；a,b，使得xb为f(x)的对称轴，C选项，假设存在这样的a,bf(x)f(2bx)，即存在这样的2x3ax212(2bx)3a(2bx)21，即(2bx)3展开式含有x3的项为33)0(x)32x3根据二项式定理，等式右边于是等式左右两边x，3的系数都不相等，原等式不可能恒成立，a,b，使得xb为f(x)的对称轴，C选项错误；于是不存在这样的D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简f3aa)，若存在这样的，使得为f(x)的对称中心，af(x)f(2x)66a则，事实上，f(x)f(2x)2x3ax212(2x)3a(2x)216a)xa24)x1812a，266a6a)x2a24)x1812a6a012a0a2，即存在a2f是f(x)即，解得的对称中心，选项正确.D1812a66a方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，f(x)2x321，f(x)6x26f(x)12x6a，，aaaf(x)0x,f由，于是该三次函数的对称中心为，222a由题意f也是对称中心，故1a2，2即存在a2f是f(x)的对称中心，D选项正确.故选：ADxbf(x)f(2bx)【点睛】结论点睛1）f(x)的对称轴为2）f(x)关于(a,b)对称f(x)f(2ax)b3）任何三次函数f(x)ax3bx2d都有对称中心，对称中心是三次bb,ff(x)0函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心aa三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.Sa}aa7aa5S，则________.1012.记为等差数列n项和，若，nn3425【答案】95【解析】a,d1【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.a2dad7a4111a【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，n3ada4d53d11109S101d10445395则.2故答案为：95.4，tan21，则13.已知为第一象限角，为第三象限角，tan)_______.223【答案】【解析】22，再缩小【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.的范围，最后结合同角1422【详解】法一：由题意得1，21π23π22π,2π,2ππ,2πk,mZ，，k,mZ，2m2kππ,mkπ2π则，220又因为，3π2m2kπ,2m2kπ2πk,mZsin0，则则，2sin22322sin2cos21，解得sin，联立.法二：因为为第一象限角，为第三象限角，则cos0,cos11cos，，221tan2sin221tan2sin则)sincossincos(tantan)44)4223412122242222.故答案为：314.在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．【答案】【解析】.24.4321即可求解.【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有432124种选法；每种选法可标记为(a,,c,d)，ad分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：44，44，44，43，所以选中的方格中，的4个数之和最大，为.故答案为：24【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4321个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角A，C的对边分别为abc，已知sinA1）求．3A2．2）若a2，bCc2B的周长．πA【答案】（）62）2632【解析】1）根据辅助角公式对条件sinA3A2进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；2）先根据正弦定理边角互化算出B，然后根据正弦定理算出,c即可得出周长【小问1详解】.方法一：常规方法（辅助角公式）π31233A2sinAA1sin(A)1，由sinA2ππ4ππ3π2π6Aπ)A(,)AA，解得333方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）3A2sin2A2A1，消去sinA由sinA得到：342A43A30(2A3)20，解得A，2πA(0,π)A又6方法三：利用极值点求解πf(x)2sinx(0xπ)，设f(x)x3xxπ)3ππxf(x)2f()sinA3A22sin(A)，注意到，63f(x)f()(0,π)xA必定是极值点，，在开区间上取到最大值，于是3即f()0A3AA，3π6A(0,π)A又方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设a3),b,)，由题意，absinA3A2，ababa,b2a,b根据向量的数量积公式，，a,b则2cosa,b2cosa,b1，此时a,b0同向共线，3根据向量共线条件，1A3sinAtanA，3πA(0,π)A又6方法五：利用万能公式求解At)2t1tttansinA3A22设，根据万能公式，，21t2整理可得，t23)t(23)20t(23))2，Atant23t1t32，根据二倍角公式，A，23π6A(0,π)A又【小问2详解】由题设条件和正弦定理bsinCcsin2B2sinBsinC2sinCsinBB，2π,Cπ)BC0B又，进而B，得到，247πCπAB，26sinCsin(πAB)sin(AB)sinABsinBA，42bcabcπ6π47π，由正弦定理可得，sinAsinBsinCsinsinsinb22,c62，2632的周长为故f(x)exa3．yf(x)f16.已知函数1）当a1时，求曲线处的切线方程；2）若f(x)有极小值，且极小值小于0a的取值范围．e1xy10【答案】（）2）【解析】）求导，结合导数的几何意义求切线方程；2a0和a0a2a10fx的，xf(x)eaa0单调性和极值，分析可得a【小问1详解】2a10，构建函数解不等式即可.f(x)exx1，f(x)e1，x当a1时，则fe1fe2，，2即切点坐标为，切线斜率ke1，exy10ye2e1x1所以切线方程为.【小问2详解】x解法一：因为f(x)的定义域为Rf(x)ea，对任意a0f(x)0xR恒成立，若f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意；，解得a0f(x)0xaf(x)0xa；若，解得f(x)在,lna,内单调递减，在内单调递增，，无极大值，3faaaaa则f(x)有极小值3faaaaa0a2a10，由题意可得：1gaa2aa0gaa0，agag10，在内单调递增，且不等式a2a10等价于，解得，gag1a1；a的取值范围为x解法二：因为f(x)的定义域为Rf(x)ea，x若f(x)有极小值，则f(x)ea有零点，xa令f(x)e0，可得ea，xyaa0有交点，则，yex与，解得a0f(x)0xaf(x)0xa；若，解得f(x)在,lna,内单调递减，在内单调递增，3faaaaa则f(x)有极小值，无极大值，符合题意，03faaaaaa2a10，由题意可得：gaa2aa0，,ya1在内单调递增，ya2因为则ga内单调递增，且g10，在不等式a2a10等价于，解得，gag1a1.a的取值范围为17.ABCD8，CD3，AD53，，BAD30E，，2512AEAD△AEF沿对折至!PEFF，使得43．1）证明：；2）求面所成的二面角的正弦值．【答案】（）证明见解析8652）65【解析】1）由题意，根据余弦定理求得EF2，利用勾股定理的逆定理可证得EFAD，则，利PE,，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；Exyz（2）由（1，建立如图空间直角坐标系用空间向量法求解面面角即可.【小问1详解】，2512由53,AD,△AEF得23,43由余弦定理得222cos161224232,2AF2AEEFEFAD，22PE,E,PE，PD，故PD；【小问2详解】,33,CD3CE22CD2，在43,23,6EC2PE2PC2，E,EC，，由（PEPE,,ED，Exyz，两两垂直，建立如图空间直角坐标系则EP23),D(0,33,0),C33,0),F(2,0),A23,0)，由F是AB的中点，得B(4,23,0)，33,23),(0,33,23),(4,23,23),(2,23)，n(x,y,zm(x,y,z)，设平面和平面的一个法向量分别为111222n3x33y23z0m4x23y223z220111则，，n33y23z0m2x23z01122令yx311y2z21，12n2,3),m(3,，mn165,nmn，5136586565设平面即平面和平面所成角为sin12，8和平面.所成角的正弦值为18.队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶350分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总，乙每次投中的概率为q互独立．1）若p0.4，q，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．2）假设0pq，i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？【答案】（）2ii）由甲参加第一阶段比赛；【解析】）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；P甲1p)3q3P1q)乙3p，再作差因式分解即可判断；3（2i）首先各自计算出，首先得到X和Y的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.【小问1详解】甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1130.686比赛成绩不少于5分的概率P10.63.【小问2详解】i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲1p)3q3，P乙1q)3p3，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为0pq，PPq3(qpq)3p3(ppq)3甲乙(ppq)(qpq)(qp)q2pqp3p2(pq)(ppq)2(qpq)2(pq)3p2q22q3pq23pq(pqpqpq)3pq(pqpq)0，甲P，应该由甲参加第一阶段比赛.乙(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X的所有可能取值为0，，，，P(X0)p)31p)3q)3，P(X1p)32C13qq)2，，P(X10)1p)333C23qq)2P(X1p)q，3323pqE(X)151p)q15p3p记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩Y的所有可能取值为0，，，，qqpEY)15q32E(X)EY)pq(pqpq)3pq(pqpq)pq(pq，0pqpq0，pq31130，(pq)pq(pq0则，应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.C:x2y2mm0P4，点在C1k上，为常数，0k119.已知双曲线．按照如下方式依次构Pnn，过Pn1k的直线与C的左支交于点QPnQn1y关于轴的对称点，造点作斜率为，令为n1.Pnn,yn记的坐标为12x,y；221）若k1k1kxy是公比为n2）证明：数列的等比数列；nSPPPnSS，nn13）设为的面积，证明：对任意的正整数.nnn1n2x3y0【答案】（），222）证明见解析（）证明见解析【解析】P）直接根据题目中的构造方式计算出的坐标即可；22）根据等比数列的定义即可验证结论；Sn（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路二：使用nSn等差数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.n【小问1详解】由已知有m52429C的方程为x2y9.221x3x32P411yx2y29联立得到x29.当k时，过且斜率为的直线为222x3或x5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q3,0，该点显然在C的左支上.1P3,0x3y0，.22故，从而2【小问2详解】ykxxynxy9联立，得到方程Px,yk且斜率为的直线为22由于过nnnnxkxxy9.nn22展开即得1kxkyxy90Px,y已经是直线ykxx2n22nnnnnnnnx2y9的公共点，故方程必有一根xn.2和2kyn2xk2n，相应的xnxnnn从而根据韦达定理，另一根1k21k2ynk2ynykxxynn.n1k21k22nnnkxynnkn所以该直线与C的不同于的交点为PQ,，而注意到Q的横坐标亦nnn21k2ynn29可通过韦达定理表示为Q一定在C的左支上.n1k2n222nnkn2kynynkynP,.n11k1k22nk2nynk2ynn这就得到n1n，y.1k2n11k2nk2nynk2ynnn1yn1n1k21k2nk2nynk2yn1k2