安徽省六安中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题理含解析

PAGE16-安徽省六安中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题理（含解析）一、单选题（每小题5分，共60分）1.已知函数的导函数为，且满意（其中为自然对数的底数），则（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】先对函数求导，再令代入导函数，即可得出结果.【详解】因为，所以，因此.故选：C.【点睛】本题主要考查导数的运算，属于基础题型.2.计算=（）A.1 B.-1 C. D.0【答案】D【解析】【分析】利用微积分基本定理求得定积分的值.【详解】解：，故选：D【点睛】此题考查定积分的计算，属于基础题.3.设随机变量的分布列为，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由随机变量的分布列的性质得，从而得到，由此能求出．【详解】∵随机变量的分布列为，∴，解得，∴．故选：D．【点睛】本题考查概率的求法，解题时要仔细审题，留意离散型随机变量的分布列的性质的合理运用，属于基础题．4.在的绽开式中，只有第5项的二项式系数最大，则绽开式中的系数为（）A. B. C. D.7【答案】D【解析】【分析】由条件可得，然后写出绽开式的通项，令的次数为5，即可得出答案.【详解】因为在的绽开式中，只有第5项的二项式系数最大所以所以的绽开式的通项为令，得所以绽开式中的系数为故选：D【点睛】本题考查的是二项式的相关学问，精确的写出绽开式的通项是解题的关键.5.已知定义在区间上的函数的图象如图所示，若函数是的导函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由表示函数单调递增，依据函数图像，即可得出结果.【详解】因为时，函数单调递增，由图像可得：当时，函数单调递增，因此的解集为.故选：A.【点睛】本题主要考查由函数图像确定函数的单调区间，熟记导函数与原函数图像之间关系即可，属于基础题型.6.某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】基本领件总数，他第2次，第3次两次均命中包含的基本领件个数，由此能求出他第2次，第3次两次均命中的概率，得到答案．【详解】由题意某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，因为基本领件总数，他第2次，第3次两次均命中包含的基本领件个数，所以他第2次，第3次两次均命中的概率是．故选A．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合等学问的应用，其中解答中依据排列、组合求得基本领件的总数和第2次、第3次两次均命中所包含的基本领件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题．7.依据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为，连续2天有客人入住的概率为,在该房间第一天有客人入住的条件下,其次天也有客人入住的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先设出所求的概率为P，依据题中的条件，可以列出P所满意的等量关系式，从而求得相应的结果.【详解】设其次天也有客人入住的概率为P，依据题意有，解得，故选D.【点睛】该题考查的是有关两个事务同时发生的概率问题，也可以看做是有关条件概率的问题，在解题的过程中，须要正确应用公式求得结果.8.若点P是函数上随意一点，则点P到直线的最小距离为()A. B. C. D.3【答案】A【解析】分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时，点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线x﹣y﹣2=0的距离即为所求．详解：点P是曲线f（x）=x2﹣lnx上随意一点，当过点P切线和直线x﹣y﹣2=0平行时，点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小．直线x﹣y﹣2=0的斜率等于1，由f（x）=x2﹣lnx，得f′（x）=2x﹣=1，解得：x=1，或x=﹣（舍去），故曲线f（x）=x2﹣lnx上和直线x﹣y﹣2=0平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线x﹣y﹣2=0的距离等于，故点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为．故选A．点睛：本题考查函数的导数的求法及导数的几何意义，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．9.从数字1，2，3，4，5中任取三个数字，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数大于400的概率是()．A.2/5 B.2/3 C.2/7 D.3/4【答案】A【解析】【分析】先求出总的三位数个数为,再求出这个三位数大于400的个数为,再利用古典概型求概率.【详解】由题得总的三位数个数为,这个三位数大于400的个数为,所以由古典概型概率得故答案为A【点睛】(1)本题主要考查古典概型，考查排列组合综合问题，意在考查学生对这些学问的驾驭水平和分析推理实力.(2)古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本领件数；②求出事务A所包含的基本领件数；③代公式=.10.甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】优先排甲、乙，在排丙丁即可．【详解】每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，甲有3种，乙有两种，丙、丁各有3种，共54种．故选A【点睛】排数问题一般采纳分步计数原理和分类计数原理，先分类后分步，特别元素优先考虑．11.设是R上的可导函数，且满意，对随意的正实数，下列不等式恒成立的是A.； B.；C.； D.【答案】B【解析】【分析】依据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】解：设，则，∵，，即函数在定义域上单调递增．随意正实数，满意，（a），即，∴故选：B．【点睛】本题主要考查函数单调性的推断和应用，依据条件构造函数是解决本题的关键．12.已知函数,若在时总成立，则实数k的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数得到函数的单调性，令，画出函数与函数的图像，依据表示的几何意义，得到的取值范围.【详解】，所以函数在上单调递增，则则，所以函数在上单调递增令，则函数与函数在的图像如下图所示，则函数在处的切线的斜率为因为表示一次函数的斜率，要使得在时总成立则故选：A【点睛】本题主要考查了函数不等式的恒成立来求参数范围，属于中档题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知函数，P为函数图象上的一点，则过P点的切线的斜率取值范围是______．【答案】【解析】【分析】假设点，然后计算，最终依据正弦函数的值域可得结果.【详解】设函数图象上随意一点由，则所以，因为，所以，可知函数在定义域上单调递增所以过P点的切线的斜率的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查函数在某点处的导数的几何意义，正确的理解函数在某点处的几何意义，以及凸函数中过某点的切线即在某点处的切弦（该点在曲线上），属基础题.14.小芳、小明两人进行射击竞赛，每人击中目标的概率为，规则如下：若击中目标，则由原射击人接着射击；若未击中目标，则由对方接着射击．规定第1次从小明起先，则前4次射击中小明恰好射击2次的概率为______．【答案】【解析】【分析】将题目分为射击第一次和其次次，第一次和第三次，第一次和第四次三种状况，计算得到答案.【详解】前4次射击中小明恰好射击2次的状况有：第一次和其次次，第一次和第三次，第一次和第四次，故．故答案为：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算实力和应用实力.15.某一批花生种子，假如每粒发芽概率为，那么播下粒种子至多有粒未发芽的概率是__________．（请用分数表示结果）【答案】【解析】【分析】利用独立重复试验的概率公式可求得所求事务的概率.【详解】播下粒种子至多有粒未发芽包含：①粒未发芽；②粒都发芽.因此，所求概率为.故答案为：.【点睛】本题考查利用独立重复试验的概率公式计算概率，考查计算实力，属于基础题.16.如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，己知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有_________种【答案】72【解析】【分析】先对部分种植，再对部分种植，对部分种植进行分类：①若与相同，②若与不同进行探讨即可【详解】先对部分种植，有4种不同的种植方法；再对部分种植，又3种不同的种植方法；对部分种植进行分类：①若与相同，有2种不同的种植方法，有2种不同的种植方法，共有（种），②若与不同，有2种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，共有（种），综上所述，共有72种种植方法．故答案为：72.【点睛】本题考查排列与组合的应用，属于涂色类的问题，考查学生逻辑推理实力，是一道简洁题三、解答题17.已知函数，求在内的最值．【答案】；【解析】【分析】先对函数求导，推断其单调性，计算端点值与极值，即可得出最值.【详解】因为，所以，由得或；由得；∴在和内单调递增；在内单调递减；又∵，，，，∴；.【点睛】本题考点导数方法求函数的最值，属于常考题型.18.某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．（1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；（2）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列．【答案】（1）；（2）答案见解析．【解析】【分析】（Ⅰ）设随机选取一件产品，能够通过检测的事务为A，依据事务A包含的状况以及互斥事务的概率公式可到结果；（II）由题意知的可能取值是0，1，2，3，结合变量对应的事务和等可能事务的概率，写出变量的概率，写出分布列；【详解】（Ⅰ）设随机选取一件产品，能够通过检测的事务为A所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率为．（Ⅱ）由题可知可能取值为．，，，．则随机变量的分布列为0123【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，考查等可能事务的概率，属基础题.19.已知函数.（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值；（2）若函数在上是增函数，求实数的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先对函数求导，再依据在处的切线斜率可得到参数的值，然后代入，求出的值，则即可得出；（2）依据函数在上是增函数，可得，即恒成立，再进行参变分别，构造函数，对进行求导分析，找出最小值，即实数的最大值．【详解】解：（1）由题意，函数.故，则，由题意，知，即.又，则.，即..（2）由题意，可知，即恒成立，恒成立.设，则.令，解得令，解得.令，解得x.在上单调递减，在上单调递增，在处取得微小值..，故的最大值为.【点睛】本题主要考查利用某点处的一阶导数分析得出参数的值，参变量分别方法的应用，不等式的计算实力．本题属中档题．20.某医院有内科医生8名，外科医生6名，现选派4名参与抗击新冠肺炎疫情医疗队，其中（1）甲、乙两人至少有一人参与，有多少种选法？（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？【答案】（1）506；（2）916.【解析】【分析】（1）先求总的从14名医生中选派4名的可能数，再求不满意条件甲、乙两人都没被选派的可能数，相减得答案；（2）将全部状况分为1名内科医生、3名外科医生，2名内科医生、名外科医生，3名内科医生、1名外科医生这三类，分别计数再相加得答案.【详解】（1）不考虑甲、乙两人，从全部14名医生中选派4名共有种；甲、乙两人都没被选派共有种；故甲、乙两人至少有一人参与，有1001-495=506种；（2）此时4名医生的组成为，第一类：1名内科医生、3名外科医生，共有种；其次类：2名内科医生、名外科医生，共有种；第三类：3名内科医生、1名外科医生，共有种；故队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有种选法.【点睛】本题考查组合问题的计数，属于简洁题.21.设.已知.（1）求n的值；（2）设，其中，求的值.【答案】（1）；（2）-32.【解析】【分析】(1)首先由二项式绽开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的绽开式，最终结合平方差公式即可确定的值.【详解】（1）因为，所以，．因为，所以，解得．（2）由（1）知，．．解法一：因为，所以，从而．解法二：．因为，所以．因此．【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础学问，考查分析问题实力与运算求解实力.22.已知函数（1）若函数在x=1时取得极值，求实数a的值；（2）当0＜a＜1时，求零点的个数.【答案】（1）1；（2）两个【解析】【分析】(1)函数在x=1时取得极值，得，解得，时，，求单调区间，验证在x=1时取得极值（2），由，得减区间为，增区间为，其微小值为，，函数在上有