新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）28 立体几何中的建系设点问题（原卷版）

素养拓展28立体几何中的建系设点问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、建系有关的基础储备与垂直相关的定理与结论（1）线面垂直①如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直②两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直③两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直④直棱柱：侧棱与底面垂直；⑤有一条侧棱垂直于底面的椎体。⑥正三棱柱、正四棱柱：顶点在底面的投影为底面的中心。⑦侧面与底面所成角均相等或侧棱长均相等可得顶点在底面的投影为底面的中心。（2）线线垂直（相交垂直）①正方形，矩形，直角梯形②等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）③菱形的对角线相互垂直④勾股定理逆定理：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0二、建立直角坐标系的原则1.SKIPIF1<0轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即SKIPIF1<0轴要与坐标平面SKIPIF1<0垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为SKIPIF1<0轴与底面的交点2.SKIPIF1<0轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于SKIPIF1<0轴上（2）找角：SKIPIF1<0轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点3.常用的空间直角坐标系满足SKIPIF1<0轴成右手系，所以在标SKIPIF1<0轴时要注意。4.同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。5.解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直SKIPIF1<0底面两条线垂直），这个过程不能省略。三、坐标的书写1.能够直接写出坐标的点（1）坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的SKIPIF1<0点，坐标特点如下：SKIPIF1<0轴：SKIPIF1<0SKIPIF1<0轴：SKIPIF1<0SKIPIF1<0轴：SKIPIF1<0（2）底面上的点：坐标均为SKIPIF1<0，即竖坐标SKIPIF1<0，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以下图为例：则可快速写出SKIPIF1<0点的坐标，位置关系清晰明了SKIPIF1<02.空间中在底面投影为特殊位置的点如果SKIPIF1<0在底面的投影为SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（即点与投影点的横纵坐标相同）这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的SKIPIF1<0点，其投影为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，而其到底面的距离为SKIPIF1<0，故坐标为SKIPIF1<0以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：3.需要计算的点①中点坐标公式：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0②利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求SKIPIF1<0点的坐标，如果使用向量计算，则设SKIPIF1<0，可直接写出SKIPIF1<0，观察向量SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0四、空间直角坐标系建立的模型(1)墙角模型：已知条件中有过一点两两垂直的三条直线，就是墙角模型．建系：以该点为原点，分别以两两垂直的三条直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，当然条件不明显时，要先证明过一点的三条直线两两垂直(即一个线面垂直SKIPIF1<0面内两条线垂直)，这个过程不能省略．然后建系．(2)垂面模型：已知条件中有一条直线垂直于一个平面，就是墙角模型．情形１垂下(上)模型：直线竖直，平面水平，大部分题目都是这种类型．如图，此情形包括垂足在平面图形的顶点处、垂足在平面图形的边上(中点多)和垂足在平面图形的内部三种情况．第一种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，平面图形的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-1第二种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，垂足所在的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-2第三种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，连接垂足与平面图形的一顶点所在直线为为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-3SKIPIF1<0SKIPIF1<0图1－1SKIPIF1<0SKIPIF1<0图1－2SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0图1－3情形2垂左(右)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0图2－1图2－2图2－3情形3垂后(前)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0图3－1图3－2图3－3二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】如图，在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。方案一：（选择SKIPIF1<0为轴），连结SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为坐标轴如图建系：SKIPIF1<0方案二（以SKIPIF1<0为轴）：过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为坐标轴如图建系：（同方案一）计算可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典例2】如图：已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，建立适当的坐标系并求出各点坐标解：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0两两垂直，如图建系：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0中：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为等边三角形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为等边三角形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0投影为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上所述：SKIPIF1<0【题型训练-刷模拟】1．如图所示，在三棱柱SKIPIF1<0中，点G、M分别是线段AD、BF的中点.

(1)求证：SKIPIF1<0平面BEG；(2)若三棱柱SKIPIF1<0的侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形，平面SKIPIF1<0平面ADEF，求二面角SKIPIF1<0的余弦值；2．如图所示，SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一动点．

(1)若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，证明：SKIPIF1<0．(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．3．如图，在多面体SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0是边长为4的菱形，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．

(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．4．如图，三棱柱SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是正三角形，侧面SKIPIF1<0是菱形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0的中点.

(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.5．如图所示，在圆锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为圆锥的顶点，SKIPIF1<0为底面圆圆心，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0为底面圆周上一点，四边形SKIPIF1<0是矩形．

(1)若点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求三棱锥SKIPIF1<0的体积．6．）长方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点（如图1），将点SKIPIF1<0绕SKIPIF1<0旋转至点SKIPIF1<0处，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（如图2）．

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，当二面角SKIPIF1<0大小为SKIPIF1<0时，求四棱锥SKIPIF1<0的体积．7．如图，在圆锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为圆锥顶点，SKIPIF1<0为圆锥底面的直径，SKIPIF1<0为底面圆的圆心，SKIPIF1<0为底面圆周上一点，四边形SKIPIF1<0为矩形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．8．如图，在平面四边形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，以BD为折痕把SKIPIF1<0和SKIPIF1<0向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置，且E，F不重合.

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若点G为SKIPIF1<0的重心（三条中线的交点），SKIPIF1<0平面ABD，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值.9．如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0是菱形，且SKIPIF1<0，侧面SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正方形，侧面SKIPIF1<0侧面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的锐二面角的余弦值．10．如图所示，三棱柱SKIPIF1<0的所有棱长均为1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直角.

(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)设点SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0的正弦值.11．如图所示，在多面体SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，侧面SKIPIF1<0为菱形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，M为棱SKIPIF1<0的中点．(1)若点N为SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值．12．）在图1中，四边形ABCD为梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点A作SKIPIF1<0，交BC于E．现沿AE将△ABE折起，使得SKIPIF1<0，得到如图2所示的四棱锥SKIPIF1<0，在图2中解答下列两问：

(1)求四棱锥SKIPIF1<0的体积；(2)若F在侧棱BC上，SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的大小．13．如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，且沿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别将SKIPIF1<0与SKIPIF1<0折起来，使其顶点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合于点SKIPIF1<0，若所得三棱锥SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0内的射影SKIPIF1<0恰为SKIPIF1<0的中点.

(1)求三棱锥SKIPIF1<0的体积；(2)求折起前的SKIPIF1<0与侧面SKIPIF1<0所成二面角的大小.14．如图，在圆柱体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，劣弧SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0，AB为圆O的直径．

(1)在弧SKIPIF1<0上是否存在点C（C，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0同侧），使SKIPIF1<0，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值．15．如图，在矩形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，且满足SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0向上翻折，使点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的位置，构成四棱锥SKIPIF1<0.(1)若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，试确定点SKIPIF1<0的位置；(2)若SKIPIF1<0，求锐二面角SKIPIF1<0的大小.16．如图，SKIPIF1<0为圆锥的顶点，SKIPIF1<0是圆锥底面的圆心，SKIPIF1<0为底面直径，SKIPIF1<0为底面圆SKIPIF1<0的内接正三角形，且边长为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在母线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.

(1)求证：直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)若点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点．当直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大时，求此时点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.17．如图，在多面体SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为菱形，侧面SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0