新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）30 阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题（原卷版）

素养拓展30阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、阿波罗尼斯圆1.阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0点在同一平面上且满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（SKIPIF1<0时SKIPIF1<0点的轨迹是线段SKIPIF1<0的中垂线）2.阿波罗尼斯圆的证明设SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），则点SKIPIF1<0的轨迹方程是SKIPIF1<0，其轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，半径为SKIPIF1<0的圆．证明：由SKIPIF1<0及两点间距离公式，可得SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0①，（1）当SKIPIF1<0时，得SKIPIF1<0，此时动点的轨迹是线段SKIPIF1<0的垂直平分线；（2）当SKIPIF1<0时，方程①两边都除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，化为标准形式即为：SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0的轨迹方程是以SKIPIF1<0为圆心，半径为SKIPIF1<0的圆．图①图②图③【定理】SKIPIF1<0为两已知点，SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0的定比为SKIPIF1<0的内外分点，则以SKIPIF1<0为直径的圆SKIPIF1<0上任意点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0两点的距离之比为SKIPIF1<0．证明：以SKIPIF1<0为例．如图②，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，由相交弦定理及勾股定理得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0．SKIPIF1<0同时在到SKIPIF1<0两点距离之比等于SKIPIF1<0的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，SKIPIF1<0圆SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0两点的距离之比恒为SKIPIF1<0．同理可证SKIPIF1<0的情形．3.阿波罗尼斯圆的相关结论【结论1】当SKIPIF1<0时，点B在圆SKIPIF1<0内，点A在圆SKIPIF1<0外；当SKIPIF1<0时，点A在圆SKIPIF1<0内，点B在圆SKIPIF1<0外．【结论2】因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的一条切线．若已知圆SKIPIF1<0及圆SKIPIF1<0外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然．【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为SKIPIF1<0，面积为SKIPIF1<0．【结论4】过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为切点），则SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的内、外角平分线．【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分SKIPIF1<0和外分SKIPIF1<0所得的两个分点，如图所示，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内分点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外分点，此时必有SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0的外角．证明：如图①，由已知可得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．由等角的余角相等可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0的外角．【结论6】过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0重合的弦SKIPIF1<0，则AB平分SKIPIF1<0．证明：如图③，连结SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．二、蒙日圆1.蒙日圆的定义在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．证明：设椭圆的方程为SKIPIF1<0，则椭圆两条互相垂直的切线SKIPIF1<0交点SKIPIF1<0的轨迹是蒙日圆：SKIPIF1<0．①当题设中的两条互相垂直的切线SKIPIF1<0斜率均存在且不为SKIPIF1<0时，可设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），过SKIPIF1<0的椭圆的切线方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由其判别式值为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是这个关于SKIPIF1<0的一元二次方程的两个根，SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0点SKIPIF1<0的坐标满足方程SKIPIF1<0．②当题设中的两条互相垂直的切线SKIPIF1<0有斜率不存在或斜率为SKIPIF1<0时，可得点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此时点SKIPIF1<0也在圆SKIPIF1<0上．综上所述：椭圆SKIPIF1<0两条互相垂直的切线SKIPIF1<0交点SKIPIF1<0的轨迹是蒙日圆：SKIPIF1<0．2.蒙日圆的几何性质【结论1】过圆SKIPIF1<0上的动点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．证明：设SKIPIF1<0点坐标SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由其判别式的值为0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是这个关于SKIPIF1<0的一元二次方程的两个根，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【结论2】设SKIPIF1<0为蒙日圆O：SKIPIF1<0上任一点，过点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线，交椭圆于点SKIPIF1<0为原点，则SKIPIF1<0的斜率乘积为定值SKIPIF1<0．【结论3】设SKIPIF1<0为蒙日圆O：SKIPIF1<0上任一点，过点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0为原点，则SKIPIF1<0的斜率乘积为定值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的斜率乘积为定值SKIPIF1<0（垂径定理的推广）．【结论4】过圆SKIPIF1<0上的动点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线，O为原点，则SKIPIF1<0平分椭圆的切点弦SKIPIF1<0．证明：SKIPIF1<0点坐标SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0，由切点弦公式得到SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由点差法可知，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，如图SKIPIF1<0是中点．【结论5】设SKIPIF1<0为蒙日圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0上任一点，过点P作椭圆SKIPIF1<0的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则SKIPIF1<0的斜率乘积为定值SKIPIF1<0．【结论6】设SKIPIF1<0为蒙日圆SKIPIF1<0上任一点，过点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0为原点，则SKIPIF1<0的斜率乘积为定值：SKIPIF1<0．【结论7】设SKIPIF1<0为蒙日圆SKIPIF1<0上任一点，过点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0为原点，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．【结论8】设SKIPIF1<0为蒙日圆SKIPIF1<0上任一点，过点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面上两点，则满足SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)的点SKIPIF1<0的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求点SKIPIF1<0所在圆SKIPIF1<0的方程.（2）已知圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点(点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的左边)，斜率不为0的直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，证明：SKIPIF1<0.【典例2】已知椭圆SKIPIF1<0的一个焦点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．（I）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（II）若动点SKIPIF1<0为椭圆外一点，且点SKIPIF1<0到椭圆SKIPIF1<0的两条切线相互垂直，求点SKIPIF1<0的轨迹方程．【题型训练-刷模拟】1.阿波罗尼斯圆一、单选题1．我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且该平面内的点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0的轨迹关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．10 B．20 C．30 D．402．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0长轴的端点，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0短轴的端点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左右焦点，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0面积的最小值为SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比SKIPIF1<0，那么点SKIPIF1<0的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点SKIPIF1<0的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为SKIPIF1<0，定点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴上一点，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点SKIPIF1<0到两个定点的距离之比为常数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），那么点SKIPIF1<0的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离比为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距离的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，得到动点SKIPIF1<0的轨迹是阿氏圆SKIPIF1<0.若对任意实数SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0恒有公共点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点SKIPIF1<0的距离之比为定值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.设点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，则下列说法错误的是（

）A．SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0三点不共线时，则SKIPIF1<0C．在C上存在点M，使得SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<07．已知平面上两定点A，B，则所有满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为SKIPIF1<0的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体SKIPIF1<0的一个侧面SKIPIF1<0上运动，且满足SKIPIF1<0，则点P的轨迹长度为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点SKIPIF1<0的距离之比为定值SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，下列结论正确的是（

）A．曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0B．曲线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切C．曲线SKIPIF1<0被直线SKIPIF1<0截得的弦长为SKIPIF1<0D．曲线SKIPIF1<0上恰有三个点到直线SKIPIF1<0的距离为19．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值SKIPIF1<0的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，下列结论正确的是（

）A．曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0B．直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有公共点C．曲线SKIPIF1<0被SKIPIF1<0轴截得的弦长为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<010．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之比为定值SKIPIF1<0的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．设点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0，则（

）．A．轨迹SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0B．在SKIPIF1<0轴上存在异于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点不共线时，射线SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线D．在SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<011．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之比为定值SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.设点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点不共线时，则SKIPIF1<0C．在SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0三、填空题12．阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数SKIPIF1<0的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点P满足SKIPIF1<0，则点P的轨迹方程是．13．阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的范围为.14．阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0的面积最大时，则SKIPIF1<0的长为.15．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值SKIPIF1<0的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是满足SKIPIF1<0的阿氏圆上的任一点，若抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为.16．已知平面上两定点A、B，则所有满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为SKIPIF1<0的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上动点P满足SKIPIF1<0，则点P的轨迹长度为．四、解答题17．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之比为定值SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.设点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0.(1)求曲线SKIPIF1<0的方程；(2)若曲线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0无公共点，求SKIPIF1<0的取值范围.18．平面上两点A、B，则所有满足SKIPIF1<0且k不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆SKIPIF1<0上的动点P满足：SKIPIF1<0其中O为坐标原点，A点的坐标为SKIPIF1<0.(1)直线SKIPIF1<0上任取一点Q，作圆SKIPIF1<0的切线，切点分别为M，N，求四边形SKIPIF1<0面积的最小值；(2)在（1）的条件下，证明：直线MN恒过一定点并写出该定点坐标.19．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点SKIPIF1<0与两定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之比SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是一个常数，那么动点SKIPIF1<0的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线SKIPIF1<0上．已知动点SKIPIF1<0的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为SKIPIF1<0，定点分别为椭圆SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0与右顶点SKIPIF1<0，且椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）如图，过右焦点SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方），点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的两点，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．①求SKIPIF1<0的取值范围；②将点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若SKIPIF1<0外接圆的面积为SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．2.蒙日圆一、单选题1．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆SKIPIF1<0的蒙日圆的半径为（

）A．3 B．4 C．5 D．62．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆SKIPIF1<0的蒙日圆为SKIPIF1<0，则该椭圆的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的蒙日圆为SKIPIF1<0，则椭圆Γ的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．定义：圆锥曲线SKIPIF1<0的两条相互垂直的切线的交点SKIPIF1<0的轨迹是以坐标原点为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的一点，过点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线与椭圆相切于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0是坐标原点，连接SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为直角时，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<05．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆SKIPIF1<0的蒙日圆为圆SKIPIF1<0，若圆SKIPIF1<0不透明，则一束光线从点SKIPIF1<0出发，经SKIPIF1<0轴反射到圆SKIPIF1<0上的最大路程是（

）A．2 B．4 C．5 D．86．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，其蒙日圆方程为SKIPIF1<0，M为蒙日圆上的一个动点，过点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若SKIPIF1<0面积的最大值为36，则椭圆SKIPIF1<0的长轴长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形SKIPIF1<0的四边均与椭圆SKIPIF1<0相切，则下列说法错误的是（

）

A．椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0 B．椭圆SKIPIF1<0的蒙日圆方程为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0为正方形，则SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0 D．长方形SKIPIF1<0的面积的最大值为188．研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．设椭圆SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上的任意一点，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的蒙日圆的半径．若SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的蒙日圆为C：SKIPIF1<0，过C上的动点M作SKIPIF1<0的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交SKIPIF1<0于A，B两点，则下列结论不正确的是（

）A．椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0C．M到SKIPIF1<0的左焦点的距离的最小值为SKIPIF1<0D．若动点D在SKIPIF1<0上，将直线DA，DB的斜率分别记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0二、多选题10．加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）．已知长方形R的四边均与椭圆SKIPIF1<0相切，则下列说法正确的是（

）A．椭圆C的离心率为SKIPIF1<0 B．椭圆C的蒙日圆方程为SKIPIF1<0C．椭圆C的蒙日圆方程为SKIPIF1<0 D．长方形R的面积最大值为1811．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆SKIPIF1<0的蒙日圆为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0上的动点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的两条切线，分别与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则（

）A．椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的左焦点的距离的最小值为SKIPIF1<0D．若动点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，将直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<012．在椭圆SKIPIF1<0中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆SKIPIF1<0上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该圆由法国数学家SKIPIF1<0最新发现.若椭圆SKIPIF1<0，则下列说法中正确的有（

）A．椭圆SKIPIF1<0外切矩形面积的最大值为SKIPIF1<0B．点SKIPIF1<0为蒙日圆SKIPIF1<0上任意一点，点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0最大值时SKIPIF1<0C．过椭圆SKIPIF1<0的蒙日圆上一点SKIPIF1<0，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0存在，则SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0D．若椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，过椭圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0和原点作直线SKIPIF1<0与蒙日圆相交于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<013．）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已