7.6二面角与面面垂直

7.6二面角与面面垂直课标要求精细考点素养达成1.理解二面角的概念和面面垂直的定义2.以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解平面与平面垂直的判定定理和性质定理3.能运用平面与平面垂直的判定定理、性质定理和已经获得的结论证明一些空间图形中的垂直关系的简单命题求二面角通过求二面角,培养学生的逻辑推理、直观想象、数学运算素养平面与平面垂直的判定与性质通过平面与平面垂直的判定与性质的应用,培养学生的逻辑推理、直观想象素养平行、垂直关系的综合运用通过平行与垂直关系的综合应用,培养学生的逻辑推理、直观想象素养1.(2024·江苏期初调研)设m,n,l是三条不同的直线,α,β,γ是三个不重合的平面,有下列命题中,真命题为().A.若m⊥n,n⊥l,则m⊥lB.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γC.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥βD.若m∥n,m∥α,则n∥α2.(对接教材)如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面有对.

3.(对接教材)如图,在正方体ABCDA'B'C'D'中:(1)二面角D'ABD的大小为.

(2)二面角A'ABD的大小为.

4.(易错自纠)(多选)如图,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则结论正确的是().A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PAEC.BC∥平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45°5.(真题演练)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则().A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D求二面角典例1如图,在四棱锥PABCD中,已知PC⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2,AD=CD=1,BC=PC,E是PB的中点.(1)求证:PB⊥平面EAC.(2)求二面角PACE的大小.综合法求二面角的方法1.定义法:步骤是“一作、二证、三求”.(1)一作:作出二面角的平面角.(2)二证:证明所作的平面角满足定义,即为所求二面角的平面角.(3)三求:将作出的角放在三角形中,计算出平面角的大小.注:作二面角的平面角的点拨.①定义法:分别在两个半平面内向棱作垂线,垂足为同一点,求两线的夹角.②垂面法:作垂直于棱的一个垂面,这个平面与两个半平面分别有一条交线,求两条交线所成的角.③三垂线法:过一个半平面内的一点A作另一个半平面的一条垂线,过垂足B作棱的垂线,记垂足为C,连接AC,则∠ACB或其补角即为二面角的平面角.2.面积法:若二面角一个面上的几何图形的面积为S,其在另一个面上的投影的面积为S',则二面角的余弦值cosα=S'S(训练1(2023·全国乙卷理)已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边,△ABD为等边三角形,若二面角CABD为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为().A.15 B.25 C.35 平面与平面垂直的判定与性质典例2如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°(1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1BB1C1C的高.1.面面垂直判定的两种方法与一个转化(1)两种方法:①面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).(2)一个转化:在已知两个平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.首先在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.2.面面垂直性质的应用(1)证明线面垂直,运用时要注意“平面内的直线”.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.训练2已知三棱锥PABC(如图1)的展开图如图2,其中四边形ABCD为边长等于2的正方形,△ABE和△BCF均为正三角形.求证:平面PAC⊥平面ABC.图1图2平行、垂直关系的综合运用典例3(2023·宿迁第二学期市统测)如图,在三棱台ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C⊥底面ABC,且BB1=B1C1=C1C=1,BC=2,底面△ABC为正三角形.(1)求三棱台ABCA1B1C1的体积.(2)过点B1作平面B1DE平行于平面AA1C1C,分别交BC,AB,A1B于点D,E,F.求证:B1E⊥平面A1BC.1.三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的综合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.如果有平面垂直,那么一般要用性质定理,先在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.3.线面平行与垂直关系的相互转化:训练3如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证:(1)PE⊥BC;(2)平面PAB⊥平面PCD;(3)EF∥平面PCD.投影法求二面角典例如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD是菱形,其中∠BAD=60°,平面PAD⊥平面ABCD,其中△PAD为等边三角形,AB=4,M为棱PD的中点.求异面直线PB与AM所成角的余弦值.训练如图,在五面体ABCDFE中,四边形ABEF为正方形,平面ABEF⊥平面CDFE,CD∥EF,DF⊥EF,EF=2CD=2,DF=2.求二面角ACEF的正弦值.一、单选题1.已知平面α,β和直线m,l,则下列命题正确的是().A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥βB.若α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥βC.若α⊥β,l⊂α,则l⊥βD.若α⊥β,α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥β2.已知两个平面垂直,则下列结论正确的是().A.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C.一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面D.若过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面3.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面的对数为().A.1 B.2 C.3 D.44.在正方体ABCDA1B1C1D1中,二面角AB1D1A1的正切值为().A.22 B.22 C.2 二、多选题5.如图,AC=2R为圆O的直径,∠PCA=45°,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC于点S,AN⊥PB于点N,则下列结论正确的是().A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC6.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角PACO为45°,则().A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为43πC.AC=22 D.△PAC的面积为3三、填空题7.m,n表示直线,α,β,γ表示平面,给出下列结论:①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;②若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n;③若α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β;④若α⊥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则n⊥m.其中正确的是.(填序号)

8.如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD是边长为2的正方形,侧面PAB是等边三角形,PC=PD=2,则平面PAB与平面ABCD的夹角为.

四、解答题9.如图,在矩形ABCD中,AB=2AD=4,E是AB的中点,沿DE将△ADE折起,得到如图所示的四棱锥PBCDE.(1)若平面PDE⊥平面BCDE,求四棱锥PBCDE的体积;(2)若PB=PC,求证:平面PDE⊥平面BCDE.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=3,AD=CD=1,∠ADC=120°,M是AC与BD的交点,点N在线段PB上,且PN=14(1)求证:MN∥平面PDC.(2)在线段BC上是否存在一点Q,使得平面MNQ⊥平面PAD?若存在,求出点Q的位置;若不存在,请说明理由.11.(2024·广东湛江期初改编)已知正方体ABCDA1B1C1D1的各顶点均在表面积为12π的球面上,P为该球面上一动点,当平面PAA1⊥平面CB1D1时,点P的轨迹长度为.

12.坡屋顶是我