新高考数学二轮复习培优专题训练专题06 基本不等式及应用（解析版）

专题06基本不等式及应用1、【2022年新高考2卷】若x，y满足x2A．x+y≤1 B．x+y≥−2C．x2+【答案】BC【解析】因为ab≤a+b22≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y由x2+y2−xy=1可变形为x因为x2+y2−xy=1变形可得x−y=43+23故选：BC．2、（2021年新高考1卷）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的两个焦点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最大值为（）A.13 B.12 C.9 D.6【答案】C【解析】由题，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立）．故选：C．3、（2020全国3文12）已知函数SKIPIF1<0，则()A．SKIPIF1<0的最小值为2 B．SKIPIF1<0的图像关于SKIPIF1<0轴对称C．SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称 D．SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称【答案】D【解析】由题意得SKIPIF1<0．对于A，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，所以A错误．对于B，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误．对于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象不关于直线SKIPIF1<0对称，所以C错误．对于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，所以D正确．故选D．4、（2020山东）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则 （）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】对于A，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故A正确；对于B，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确；对于C，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故C不正确；对于D，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故D正确，故选：ABD．5、（2020上海13）下列不等式恒成立的是 （）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由基本不等式可知SKIPIF1<0，故A不正确；SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，故B正确；当SKIPIF1<0时，不等式不成立，故C不正确；当SKIPIF1<0时，不等式不成立，故D不正确，故选B．6、（2020江苏12）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，取等号．∴SKIPIF1<0．7、（2020天津14）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为_________．【答案】4【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0=4时取等号，结合SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0时，等号成立，故答案为：SKIPIF1<0．8、（2019天津理13）设，则的最小值为．【答案】【解析】，，，则；

由基本不等式，（当且仅当时，即，且时，即或时，等号成立）．故的最小值为．题组一运用基本不等式比较大小1-1、（2023·云南玉溪·统考一模）（多选题）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0则下列结论一定正确的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．ab有最大值4 D．SKIPIF1<0有最小值9【答案】AC【分析】A、C选项，分别根据基本不等式计算即可得到；B选项找出反例即可；D选项由基本不等式“1”的代换计算，漏除了4.【详解】A选项，SKIPIF1<0，A正确；B选项，找反例，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，B不正确；C选项，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取“=”，C正确；D选项，SKIPIF1<0，D不正确.故选：AC.1-2、（2023·山西·统考一模）（多选题）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值为9 D．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】对于AD，利用基本不等式判断即可；对于B，利用不等式SKIPIF1<0判断即可，对于C，利用基本不等式“1”的妙用判断即可.【详解】对于A，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，故A正确；对于B，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，即SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0，故B正确；对于C，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0的最小值为9，故C正确；对于D，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，即SKIPIF1<0的最大值SKIPIF1<0，故D错误．故选：ABC.1-3、（2023·安徽宿州·统考一模）（多选题）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则下列不等关系成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】利用基本不等式易知选项AB正确；利用对数运算法则和重要不等式可知C正确；将不等式SKIPIF1<0化简整理可得SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0利用函数单调性即可证明D错误.【详解】由基本不等式可知，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，即A正确；易知SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，即B正确；由重要不等式和对数运算法则可得：SKIPIF1<0，当且仅当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，即C正确；由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，即证明SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即需证明SKIPIF1<0，令函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0时，解不等式SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0即可，即SKIPIF1<0时不等式SKIPIF1<0成立；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，解不等式SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时不等式SKIPIF1<0才成立；综上可知，当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0才成立，所以D错误.故选：ABC.1-4、（2022·山东德州·高三期末）（多选题）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（）A．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最小值为16C．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时，取等号），故A正确；SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时，取等号），即SKIPIF1<0，故D正确；SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时，取等号），SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时，取等号），即SKIPIF1<0，故B错误；SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时，取等号），故C正确；故选：ACD题组二运用基本不等式求函数最值2-1、（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则SKIPIF1<0的最小值为__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意可知，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝（SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0）（x＋y）＝4＋5＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0≥9＋2SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时取等号，此时SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<02-2、（2023·天津滨海新·统考三模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【详解】由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0,结合SKIPIF1<0，以及换底公式可知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，即SKIPIF1<0时等号成立，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故选：B.2-3、（2023·浙江·统考模拟预测）已知正实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题可得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，取得等号，故选:C.2-4、（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．1C．2 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值2.故选：C2-5、（2022年重庆市高三月考试卷）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是______．【答案】SKIPIF1<0【解析】【详解】由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立.故答案为：SKIPIF1<0题组三运用基本不等式处理多元问题3-1、【2022·广东省阳春市第一中学10月月考】已知不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________，SKIPIF1<0的最小值为__________.【答案】①.SKIPIF1<0②.8【解析】由题知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，故SKIPIF1<0的最小值为8.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<03-2、（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为______________________

.【答案】1【分析】先根据解SKIPIF1<0，利用基本不等式求得SKIPIF1<0的最小值为9，再由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，利用对勾函数的性质求解.【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，故答案为：13-3、(2022·江苏南通如东县期中)已知a＞0，b＞0，c＞0，eqa\s\up6(2)－ab＋9b\s\up6(2)－5c＝0，当eq\f(c,ab)最小时，eqx\s\up6(2)－3x≥a＋b－\f(1,3)c恒成立，则x的取值集合是▲．【答案】{x|x≤－1或x≥4}【解析】由题意可知a＞0，b＞0，c＞0，a2－ab＋9b2－5c＝0，等式两边同除ab，可得eq\f(a,b)－1＋eq\f(9b,a)＝eq\f(5c,ab)，所以eq\f(a,b)－1＋eq\f(9b,a)≥2EQ\R(,\F(a,b)·\F(9b,a))－1＝5，(当且仅当eq\f(a,b)＝eq\f(9b,a)时等号成立)，故eq\f(c,ab)的最小值为1(a＝3b)，所以c＝ab＝3b2，则a＋b－eq\f(1,3)c＝4b－b2，所以a＋b－eq\f(1,3)c的最大值为4，故x2－3x≥4，解得x≤－1或x≥4题组四不等式的综合运用4-1、（2023·安徽淮北·统考一模）（多选题）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上的一点（不包含顶点），且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【分析】利用平面向量的线性运算，结合基本不等式，验证各选项的结果.【详解】SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上的一点（不包含顶点），则有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以A选项正确，B选项错误；SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0，C选项错误；SKIPIF1<0，D选项正确.故选：AD.4-2、（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）正项等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0成等差数列，且存在两项SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．不存在【答案】B【分析】由等比数列通项公式及等差中项的性质可得SKIPIF1<0，进而有SKIPIF1<0，利用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意等号是否成立.【详解】由题设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0公比为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故等号不成立，又SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0时SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0.故选：B4-3、（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知随机变量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为________.【答案】SKIPIF1<0【分析】先由正态分布对称性求出SKIPIF1<0，进而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由正态分布的对称性可知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由基本不等式得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，所以不等式得最小值为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<04-4、（2022·河北保定·一模）（多选题）下面描述正确的是（

）A．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0C．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【答案】AC【分析】对于选项A，利用基本不等式结合对数运算求解判断；对于选项B：结合对数的性质，利用对勾函数的单调性求解判断；C，用“1”的代换，利用基本不等式求解判断；对于选项D，将SKIPIF1<0，转化为SKIPIF1<0，利用二次函数的性质求解判断.【详解】对于选项A，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，∴SKIPIF1<0，∴A正确；对于选项B：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以由对勾函数的单调性可知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B不正确；对于选项C，根据题意，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0，故C正确；对于选项D，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0无解，所以选项D不正确，故选：AC．1、（2022·山东枣庄·高三期末）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（）．A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解析】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故SKIPIF1<0的最小值是3.故选：D.2、（2022年辽宁抚顺市高三月考模拟试卷）对任意的正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最小值为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【详解】依题意得SKIPIF1<0恒成立，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：B3、（2023·山东烟台·统考三模）（多选题）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最大值为2C．SKIPIF1<0的最小值为6 D．SKIPIF1<0的最小值为4【答案】BC【详解】对于A，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故SKIPIF1<0错误；对于B，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故B正确；对于C，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故C正确；对于D，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值不是4，D错误.故选：BC.4、（2023·重庆·统考三模）（多选题）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最小值是3【答案】BC【详解】对于A，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，A错误；对于B，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B正确；对C选项，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，C正确，对于D,C选项知：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立,但SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（等号取不到）,故D错误；故选：BC.5、（2023·山东烟台·统考三模）（多选题）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最大值为2C．SKIPIF1<0的最小值为6 D．SKIPIF1<0的最小值为4【答案】BC【详解】对于A，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故SKIPIF1<0错误；对于B，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故B正确；对于C，由SKIPIF