高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第05练空间直线、平面的平行(原卷版+解析)

第5练空间直线、平面的平行eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一．选择题1．在长方体中，，分别是和的中点，长方体的各棱中与平行的有A．一条 B．两条 C．三条 D．四条2．如图，已知点，分别是正方体的棱，的中点，点，分别是线段与上的点，平面，这样的直线的条数为A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条3．如图，在长方体中，下列直线与平面平行的是A． B． C． D．4．设，为两个不同的平面，则的一个充要条件可以是A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线5．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是A． B． C． D．6．如图，在直三棱柱中，，，，．若在线段上存在点，使得平面，则点满足A． B． C． D．7．下列条件中，能得到平面平面的条件是A．存在一条直线，， B．存在一条直线，， C．存在两条平行直线，，，，， D．存在两条异面直线，，，，，8．设直线平面，则过作平面，使，这样的A．只能作一个 B．至多可作一个 C．不存在 D．至少可作一个9．两个平面平行的条件是A．一个平面内一条直线平行于另一个平面 B．一个平面内两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 D．两个平面都平行于同一条直线10．可判断平面平面的条件为A．平面内有无数条直线平行于平面 B．平面与平面同平行于一条直线 C．平面内有两条直线平行于平面 D．平面内有两条相交直线与平面平行11．已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，且平面，平面，则是的A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件12．下列命题中①如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；②如果一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．正确命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．413．在正方体中，下列四对截面彼此平行的是（）A．平面与平面 B．平面与平面C．平面与平面 D．平面与平面14．已知、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中真命题是A．若，，，则 B．若，，且，则 C．若，，且，则 D．若，，，则15．如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有个．A．1 B．2 C．3 D．416．在三棱柱中，为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若平面，则为A．棱的中点 B．棱的中点 C．棱的中点 D．棱的中点二．多选题17．下列命题中错误的是A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线平行 C．若直线，和平面满足，，则 D．若直线，，和平面，满足，，，，则18．如图，为矩形所在平面外一点，矩形对角线的交点为，为的中点，则下列结论成立的是A．平面 B．平面 C．平面 D．平面19．如图，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是A． B． C．平面 D．平面20．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，分别是棱，的中点，则A．平面 B．平面 C．平面 D．平面21．如图，点，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线平面的是A． B． C． D．三．填空题22．空间两个角，，且与的两边对应平行，若，则．23．已知直线，，平面，，若，，，则直线与的关系是．24．“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的条件．25．如图，底面是平行四边形的四棱锥中，，，且，若平面，则．26．考查下列两个命题：“”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中，为直线，，为平面），则此条件为．①；②；27．已知三棱锥的底面是边长为3的正三角形，为的中点，、分别为、上一点，且满足，平面，则．28．下列三个说法：①若直线在平面外，则；②若直线，直线，，则；③若，，则与内任意直线平行．其中正确的有．29．如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点，点在四边形的边及其内部运动，则满足条件时，有平面．30．如图是一几何体的平面展开图，其中为正方形，，，，分别为，，，的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①平面平面；②直线平面；③直线平面；④直线平面．其中正确的序号是．31．已知长方体的侧棱长8，，分别是侧棱，上的动点，，在棱上，且，若平面，则．32．如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动．请补充一个恰当条件，当点满足条件时，有平面．33．在直三棱柱中，，，，，分别是，，，，的中点，给出下列四个判断：①平面；②平面；③平面；④平面，则错误的序号为．四．解答题34．如图，在正方体中，，分别为，的中点，与交于点．求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）平面平面．35．如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，为的中点．求证：平面．36．如图，四边形是矩形，平面，平面．（1）证明：平面平面；（2）若平面与平面的交线为，求证：．37．如图，在正方体中，，，，，分别为棱，，，的中点．（1）证明：平面．（2）在棱上确定一点，使，，，四点共面，指出的位置即可，无需说明理由，并求四边形的面积．38．如图，在正三棱柱中，，为棱的中点．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离．39．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．（1）求证：若是棱的中点，则平面平面；（2）求三棱锥的体积．40．如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点．（1）求证：平面；（2）设为棱上的一点，问：当在什么位置时，平面平面？第5练空间直线、平面的平行eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一．选择题1．在长方体中，，分别是和的中点，长方体的各棱中与平行的有A．一条 B．两条 C．三条 D．四条【解析】如图示：，，分别是和的中点，，又，，同理，，故选：．2．如图，已知点，分别是正方体的棱，的中点，点，分别是线段与上的点，平面，这样的直线的条数为A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【解析】如图，当底面向上平移时，设面面，与线段，分别交于点，，则面，又平面，所以平面，由于这样的平行平面有无数个，所以满足题意的直线有无数条．故选：．3．如图，在长方体中，下列直线与平面平行的是A． B． C． D．【解析】，且平面，平面，平面．故选：．4．设，为两个不同的平面，则的一个充要条件可以是A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线【解析】内有无数条直线与平行推不出，故不符合，，垂直于同一平面，得到或，故不符合，，平行于同一条直线，得到或与相交，故不符合，，垂直于同一条直线，故符合．故选：．5．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是A． B． C． D．【解析】对于选项，由正方体的性质可知，又平面，平面，平面，对于选项，由正方体的性质可知，又平面，平面，平面，对于选项，由正方体的性质可知，又平面，平面，平面，对于选项，由正方体的性质可知体对角线与平面相交，所以直线与平面不平行，故选：．6．如图，在直三棱柱中，，，，．若在线段上存在点，使得平面，则点满足A． B． C． D．【解析】连接交于点，连接，如图所示，平面，平面平面，平面，，又为的中点，点为的中点，即，故选：．7．下列条件中，能得到平面平面的条件是A．存在一条直线，， B．存在一条直线，， C．存在两条平行直线，，，，， D．存在两条异面直线，，，，，【解析】对于，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故不对；对于，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故不对；对于，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故不对；对于，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故正确．故选：．8．设直线平面，则过作平面，使，这样的A．只能作一个 B．至多可作一个 C．不存在 D．至少可作一个【解析】当时，过作平面，使得，由平面与平面平行的性质得：这样的平面有且只有1个．与相交时，设平面为，与交点为，根据题意，，则且，这与矛盾，这样的不存在．综上所述，过平面外一条直线与平行的平面的个数为至多1个．故选：．9．两个平面平行的条件是A．一个平面内一条直线平行于另一个平面 B．一个平面内两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 D．两个平面都平行于同一条直线【解析】对于，一个平面内一条直线平行于另一个平面，则两平面相交或平行，故错误；对于，一个平面内两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面有可能相交，只有一个平面内两条相交直线平行于另一个平面，这两个平面才平行，故错误；对于，由平面与平面平行的判定定理得：一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行，故正确；对于，两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面相交或平行，故错误．故选：．10．可判断平面平面的条件为A．平面内有无数条直线平行于平面 B．平面与平面同平行于一条直线 C．平面内有两条直线平行于平面 D．平面内有两条相交直线与平面平行【解析】若是平面内有无数条平行的直线平行于平面无法得到，不符合；平面与平面同平行于一条直线，则，有可能相交，不符合；若是平面内两条平行直线平行于平面无法得到，不符合；根据面面平行判定定理可知，符合，故选：．11．已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，且平面，平面，则是的A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解析】，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，且平面，平面，如图，满足，但，相交，故充分性不成立，再如下图：满足，但，异面，故必要性不成立，是的不充分不必要条件．故选：．12．下列命题中①如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；②如果一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．正确命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【解析】对于①，根据面面平行的定义可知，必须是平面内的所有直线都与另外一个平面平行，否则面面不一定平行，故错误；对于②，根据面面平行的判定定理可知，平面内的两条直线必须是相交直线，否则面面不一定平行，故错误；对于③，根据面面平行的定义可知，一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，故正确；对于④，根据面面平行的判定定理可知，一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行，故正确；综上所述，正确的命题个数为2个，故选：．13．在正方体中，下列四对截面彼此平行的是（）A．平面与平面 B．平面与平面C．平面与平面 D．平面与平面【解析】如图，正方体，所以四边形是平行四边形，平面，面，所以平面，同理平面.因为平面，所以平面平面.故选：A14．已知、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中真命题是A．若，，，则 B．若，，且，则 C．若，，且，则 D．若，，，则【解析】、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，对于，若，，，则与相交、平行或异面，故错误；对于，若，，且，则由线面垂直的性质得，故正确；对于，若，，且，则与相交或平行，故错误；对于，若，，，则与平行或异面，故错误．故选：．15．如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有个．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】对于①，如图，为底面对角线的交点，可得，又平面，所以直线与平面不平行；对于②，由于，结合线面平行的判定定理可知与平面平行；对于③，由于，结合线面平行的判定定理可知与平面平行；对于④，由于，结合线面平行的判定定理可知与平面平行．所以在这四个正方体中，直线与平面平行的有3个．故选：．16．在三棱柱中，为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若平面，则为A．棱的中点 B．棱的中点 C．棱的中点 D．棱的中点【解析】对于：当为棱的中点时，与相交，故与平面不平行，故错误；对于：当为棱的中点时，与相交，故与平面不平行，故错误；对于：当为棱的中点，与平面不平行，故错误；对于：如图，当为棱的中点时，取的中点，连接，，由，，可得四边形为平行四边形，即有，由平面，平面，所以平面，同理可得平面，由，可得平面平面，由于平面，则平面．故选：．二．多选题（共5小题）17．下列命题中错误的是A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线平行 C．若直线，和平面满足，，则 D．若直线，，和平面，满足，，，，则【解析】．当直线与平面相交时满足有无数个点不在平面内，故错误；．当直线与平面平行，则直线与平面内的无数条直线平行，故错误；．当直线，和平面满足，，则或与相交或与异面，故错误；．因为，，，所以，又因为，所以，所以，故正确．故选：．18．如图，为矩形所在平面外一点，矩形对角线的交点为，为的中点，则下列结论成立的是A．平面 B．平面 C．平面 D．平面【解析】矩形的对角线与交于点，所以点为的中点，在中，因为点是的中点，所以是的中位线，，平面，平面，平面，故正确；平面，平面，平面，故正确；因为，平面，平面，所以与平面，平面相交，故错误；故选：．19．如图，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是A． B． C．平面 D．平面【解析】因为，，所以，所以，又平面，平面，平面，所以平面，平面，故选项，，正确，又与不平行，所以与不平行，故选项错误．故选：．20．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，分别是棱，的中点，则A．平面 B．平面 C．平面 D．平面【解析】，分别是棱，的中点，连接，交于四边形是平行四边形，是的中点，，平面，平面，平面，故正确；平面，平面，平面，故正确；平面，，与平面不平行，故错误；平面，，与平面不平行，故错误．故选：．21．如图，点，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线平面的是A． B． C． D．【解析】选项，如图所示，点，为正方体的两个顶点，则，平面，平面，平面，即选项正确；选项，如图所示，为正方体的一个顶点，则，，，，、平面，、平面，平面平面，又平面，平面，即选项正确；选项，如图所示，为正方体的一个顶点，则平面平面，平面，平面，即选项正确；选项，连接，则，，，，四点共面，平面，与平面相矛盾，即选项错误．故选：．三．填空题22．空间两个角，，且与的两边对应平行，若，则．【解析】因为空间两个角与的两边对应平行，所以或，因为，所以或．故答案为：或．23．已知直线，，平面，，若，，，则直线与的关系是．【解析】直线，，平面，，若，，，可得，没有公共点，则直线与的关系是平行或异面．故答案为：平行或异面．24．“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的条件．【解析】根据直线与平面平行的定义：“直线与平面没有公共点时，直线与平面平行“所以“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的充要条件，故答案为：充要．25．如图，底面是平行四边形的四棱锥中，，，且，若平面，则．【解析】连接，交于点，连接，过点作的平行线，交棱于点，连接，，如图所示，平面，平面，，平面平面，，即为的中点，又，，．故答案为：．26．考查下列两个命题：“”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中，为直线，，为平面），则此条件为．①；②；【解析】（1）由线面平行的判定定理知应填“”；（2）易知应填“”．故答案为：；．27．已知三棱锥的底面是边长为3的正三角形，为的中点，、分别为、上一点，且满足，平面，则．【解析】连接，，如图所示，平面，平面平面，平面，，，，又为边长为3的等边三角形，，，故答案为：．28．下列三个说法：①若直线在平面外，则；②若直线，直线，，则；③若，，则与内任意直线平行．其中正确的有．【解析】对于①，若直线在平面外，可能与平面相交，不一定平行．故不正确；对于②，由直线与平面平行的判定定理可知正确；对于③，与平面内的直线可能平行，相交或异面，故错误．故答案为：②．29．如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点，点在四边形的边及其内部运动，则满足条件时，有平面．【解析】连接，，，，，，在正方体中，，，分别是，，的中点，点在四边形的边及其内部运动，，，，又，，，，，，，，平面平面，满足条件线段时，有平面．故答案为：线段．30．如图是一几何体的平面展开图，其中为正方形，，，，分别为，，，的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①平面平面；②直线平面；③直线平面；④直线平面．其中正确的序号是．【解析】作出立体图形如图所示，连接，，，四点构成平面，对于①，因为，分别是，的中点，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，故①正确；对于②，连接，交于点，连接，，则为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面，故②正确；对于③，由①中的分析可知，，所以，因为平面，平面，所以平面，故③正确；对于④，根据③中的分析可知，，再结合图形可得，，则直线与平面不平行，故④错误．故答案为：①②③．31．已知长方体的侧棱长8，，分别是侧棱，上的动点，，在棱上，且，若平面，则．【解析】连接，交于点，连接，平面，平面，平面平面，．在上截取，连接，则，，又，四边形为平行四边形，．又，，，即点为的中点，而，．故答案为：2．32．如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动．请补充一个恰当条件，当点满足条件时，有平面．【解析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，因为，分别为，的中点，所以．同理可得．因为，，所以四边形是平行四边形，可得．所以，同理可证明，，所以，，，，，共面，因为，平面，面，所以平面，若平面，则点在平面内，又因为点在上底面（含边界），所以点在面与面的交线上，所以点在线段上，即点在中点与中点连线上，故答案为：在中点与中点连线上．33．在直三棱柱中，，，，，分别是，，，，的中点，给出下列四个判断：①平面；②平面；③平面；④平面，则错误的序号为．【解析】连接、、、、、、、，所以，四边形为平行四边形，则且，、分别为、的中点，则且，故四边形为平行四边形，则，平面，平面，故平面，同理可证四边形为平行四边形，则，，则四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，则平面，，故平面平面，平面，则平面，③对；对于①，若平面，，则平面平面，因为过点且与平面平行的平面只有一个，矛盾，故①错，同理可知，②④均错．故答案为：①②④．四．解答题34．如图，在正方体中，，分别为，的中点，与交于点．求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）平面平面．【解析】证明：（Ⅰ）在正方形中，，分别为，的中点，可得，，则四边形为平行四边形，则；（Ⅱ）由，平面，平面，可得平面，在中，为的中点，为的中点，可得，又平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面．35．如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，为的中点．求证：平面．【解析】证明：因为为的中点，为的中点．所以，又因为底面是正方形，所以，所以，因为面，面，所以面．36．如图，四边形是矩形，平面，