高考数学二轮复习资料01 集合与常用逻辑用语教学案（学生版）

【2013考纲解读】

1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的从属关系了解集合中元素的确定性,互

异性,无序性.会用集合语言表示有关数学对象.

2.掌握集合的表示方法一一列举法和描述法,并能进行自然语言与集合语言的相互转换,

了解有限集与无限集的概念.

3.了解集合间包含关系的意义，理解子集、真子集的概念和意义，会判断简单集合的相

等关系.

4.理解并集、交集的概念和意义，掌握有关集合并集、交集的术语和符号，并会用它

们正确地表示一些简单的集合，能用图示法表示集合之间的关系.掌握并集、交集的求法.

5.了解全集的意义，理解补集的概念.掌握全集与补集的术语和符号，并会用它们正确

地表示一些简单的集合，能用图示法表示集合之间的关系.

6.理解命题的概念；了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会

分析种命题的相互关系;理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

7.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

8.理解全称量词与存在量词的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

【知识网络构建】

T命题及其关司

含义口

I一|充要条件|

|集合间的关系|集合］一|常用逻辑用语〔一

逻辑联结词］

|基本运算

—gW］

【重点知识整合】

1.集合

(1)元素的特征：确定性、互异性、无序性，元素与集合之间的关系是属于和不属于；

(2)集合与集合之间的关系：集合与集合之间是包含关系和非包含关系，其中关于包含

有包含和真包含，用符号=,表示.其中一个集合本身是其子集的子集，空集是任何非空

集合的真子集；

(3)集合的运算：

AC\B—{x\x^A,且/U8={x|xe4或luA—{x\U,且超/}.

2.四种命题及其关系

(1)四种命题；

(2)四种命题之间的关系：四种命题是指对“若p,则q”形式的命题而言的，把这个命

题作为原命题，则其逆命题是“若q,则P"，否命题是“若非P，则非q"，逆否命题是“若

非q,则非p"，其中原命题和逆否命题、逆命题和否命题是等价的，而且命题之间的关系

是相互的。

3.充要条件

(1)充要条件：若gq,则。是g的充分条件，0是P的必要条件；若P=<7，则p,1?

互为充要条件；

(2)充要条件与集合：设命题。对应集合4命题g对应集合8,则uo等价于力=氏

内等价于A—B.

4.逻辑联结词

(1)逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；

(2)带有逻辑联结词的命题真假：命题pVg,只要0,g有一为真，即为真命题，换言

之，只有0,g均为假命题时才为假；命题。八°,只有"g均为真命题时才为真，换言之，

只要。，。有一为假，即为假命题；非。和。为一真一假两个互为对立的命题；

(3)“或”命题和“且”命题的否定：命题的否定是非。人非S命题"八g的否定

是非。V非Q.

【高频考点突破】

考点一集合的关系和运算

1.元素与集合的关系：元素x与集合4之间，要么xG4要么居4二者必居其一，

这就是集合元素的确定性，集合的元素还具有互异性和无序性.解题时要特别注意集合元素

互异性的应用.

2.运算性质及重要结论

WAUA=A,AU0=A,AL)B=BUA.

(2)/C/=4/C0=0,ADB=Br\A.

(3)AA(1/)=0,Au((/)=〃

(4)/C6=4Q/UB,/U6=n=医A.

例1、已知集合户={x|/Wl},若PUM=P,则a的取值范围是()

A.(一8,—1]B.[1,+00)

C.[-1,1]D.(-8,-1]u[1,+°o)

【变式】已知集合1«={0,1,2,3,4,},N={1,3,5,}“P=MCN,则P的子集共有()

A.2个B.4个C.6个D.8个

【解题方法】解答集合间的包含与运算关系问题的一般思路

(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性，代表的意义.

(2)根据集合中元素的性质化简集合.

(3)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集

合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取

舍.

考点二命题真假的判断

1.四种命题有两组等价关系，即原命题与其逆否命题等价，否命题与逆命题等价.

2.含有逻辑联结词的命题的真假判断：命题pVq，只要p，q至少有一为真，即为真

命题，换言之，见真则真；命题p八q，只要p，q至少有一为假，即为假命题，换言之，见

假则假；非p和p为一真一假两个互为对立的命题.

3."或"命题和"且”命题的否定：命题pVq的否定是非p/\非q；命题pAq的否定

是非pV非q.

例2.原命题：若a=l,则函数f(x)=£+af+ax+l没有极值，以及它的逆命题、否命题、

逆否命题中，真命题的个数为()

A.0B.1

C.2D.4

【变式】已知a,b,。都是实数，则命题“若a>b,则a»b/”与它的逆命题、否命题、

逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()

A..4B.2C.1D.0

【解题方法】命题真假的判定方法

(1)一般命题p的真假由涉及到的相关交汇知识辨别真假.

(2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个

命题的真假无必然联系.

(3)形如。或八。且久非。命题的真假根据真值表判定.

考点三充要条件的判断

对于0和q两个命题，若归q，则0是<7的充分条件，<7是0的必要条件；若p0q,

则。和0互为充要条件.推出符号“今”具有传递性，等价符号具有双向传递性.

例3、设集合”={1,2},N={a2},则“a=l"是“股"’的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【变式】设x,斤R,则“B2且卉2”是的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解题方法】对充分、必要条件的判断或探求要注意以下几点

（1）要弄清先后顺序：“4的充分不必要条件是B”是指8能推出4且4不能推出B-,

而“4是8的充分不必要条件”则是指/能推出8,且夕不能推出/；

（2）要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以

通过举出恰当的反例来说明；

（3）要注意转化：如果〃是g的充分不必要条件，那么非。是非g的必要不充分条件，

同理，如果o是g的必要不充分条件，那么非o是非。的充分不必要条件，如果o是。

的充要条件，那么非。是非q的充要条件.

【难点探究】

难点一集合的关系及其运算

例1、设集合讲=31户Icos\x-sin"x|»xER},户x\x—|；<^2>i为虚数单

位，xGR,则而H为（）

A.（0,1）B.（0,1]C.[0,1）D.[0,1]

【拓展】本题需要注意两个问题，一是两个集合的含义，二是要注意集合“中的不等式

是一个复数模的实数不等式，不要根据实数的绝对值求解.高考考查集合一般是以集合的形

式与表示等式的解、函数的定义域、函数的值域等，在解题时要特别，注意集合的含义.

【变式1】若集合〃={0,1,2},N=dx,y）|x—/+y^4,x,yG法，则"中元

素的个数为（）

A.9B.6C.4D.2

难点二四种命题和充要条件的判断

例2、(1)已知a,b,cGR,命题“若a+6+c=3,贝！］a2+6"+c223”的否命题是()

A.若a+Z)+cW3,则(a,"H-1)c2^3

B.若a+6+c=3,则才+9+孑代

C.若a+Z>+cW3,则a'+N+d》？

D.若a2+62+则a+6+c=3

(2)对于函数y=f(x),xE.R,uy=|f(x)|的图冢关于jp"轴对称"是"产f(x)是奇函

数”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【拓展】一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得

到的形式上的命题，解这类,试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是

不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于；进行充要条件判断实际上就是判断两个

命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反

例即可.

难点三逻辑联结词、量词和命题的否定

例3.(1)若。是真命题，g是假命题，贝ij()

A.是真命题B.joVg是假命题

C.非。是真命题D.非g是真命题

⑵命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的再走是()

A.所有不能被2整除的整数都是偶数

B.所有能被2整除的整数都不是偶数

C.存在一个不能被2整除的整数是偶数

D.存在一个能被2整除的整数不是偶数

【拓展】(1)“或”“且”联结两个命题，这两个命题的真假确定了“或”命题和“且”

命题的真假，其中“或”命题是一真即真，“且”命题是一假即假，“非”是对一个命题的

否定，命题与其“非”命题一真一假；(2)否定一个命题就是否定这个命题的结论，即推翻

这个命题，这与写出一个命题的否命题是不同的.一个命题的否命题，是否定条件和结论后

的形式上的命题，如本题中我们把命题改写为“已知〃为任意整数，若〃能被2整除，则〃

是偶数”，其否命题是“已知〃为任意整数，若〃不能被2整除，则〃不是偶数”，显然这

个命题是真命题，但这个命题的否定是假命题.

【变式】有四个关于不等式的命题：

Pi：3/)£R,Ao+^b+l>O；

P2：3XQ,M)£R,岔+%—4选一2%+6<0；

2xyx+y

加Yx,昨R+,用不丁

PA：Vx,yGR,xy^xy-\-xy.

其中真命题是(.)

A.pi,ptB.pi,piC.pi,D.pi,pi

【解题技巧】

1.解答集合有关问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键.其次关注

元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽冢集合问题，要借助

数轴和韦恩图加以解决.

2.一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否

定是互相对立、一真一假的.

3.判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的

对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否

定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法.

4.含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的

基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断.

5.特称命题的否定是全称命题、全称命题的否定是特称命题.

【历届高考真题】

【2012年高考试题】

1.12012高考真题浙江理1】设集合A={x[l<x<4},集合B={x|/_2X-3W0},则AC

(CRB)=

A.(1,4)B.(3,4)C.(1,3)D.(1,2)U(3,4)

2.[2012高考真题新课标理1】已知集合

则3中所含元素的个数为()

⑷3(5)6(C)8(£>)10

3.12012高考真题陕西理1】集合M={x|lgx>0},N={x|x2<4},则MN=

()

A.(1,2)B.[1,2)C.(1,2]D.[1,2]

4.[2012高考真题山东理2】已知全集U={02234},集合H={L2,3}状={2,4},

则G/LLB为

(A){1,2,4}(B){23,4}(C)[0,2,4}(D)[0,2,3,4}

5.12012高考真题辽宁理1妇知全集U=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9),集合A=[0,133,5,8),

集合B={2,4,5,6,8},则(C「4)fl(Ct-5)为

(A){5,8}(B){7}9}⑹{0,1,3}⑻⑵4,6}

6.12012高考真题江西理1]若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{zIz=x+y,xeA,yeB}

中的元素的个数为()

A.5B.4C.3D.2

7.12012高考真题湖南理1】设集合M=[-1,0,1},N={XRWX},则MCN=

A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0}

812012高考真题广东理2】设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4b则CuM=

A.UB.{1,3,5}C.{3,5,6}D.{2,4,6}

9.12012高考真题北京理1】已知集合A={xGR|3x+2>0}B={xGR|(x+1)(x-3)>0}

贝ljAAB=

22

A(_oo,-1)B(-1,一一)C(一一,3)D(3,+oo)

33

10.12012高考真题全国卷理2】已知集合八={1.3.4m},B={1,m},AB=A,则

m=

A0或石B0或3C1或6D1或3

11.12012高考真题四川理13】设全集。={a,伍c,d},集合4={a,b},B={b,c,d},

则QAUC*o

12.12012高考真题上海理2]若集合H={x|2x+l>0},5={x||x-l|<2},则

13.[2012高考真题天津理111已知集合ATxW义上+2|<3},集合

B={xWR(x-mXx-2)<0}：且乂。3=(-L可项Jm=,n=.

14.[2012高考江苏1】(5分)已知集合人={1,2,4},B=[2,4,6},则AB=▲.

15.【2012高考江苏26](10分)设集合1={1,2,…，〃},neN*.记/(〃)为同时

满足下列条件的集合A的个数：

①Aq匕；②若尤wA,则2xeA；③若XECA,则2x任C4。

〃rn〃n

⑴求f(4)；

(2)求/(〃)的解析式(用〃表示).

【2011年高考试题】

1.(2011年高考北京卷理科1)已知集合P={x|xWl},M={a}.若PUM=P，则a的

取值范围是

A.(-8,-1]B.[1,+8)

C.[-1,1]D.(-8,-1]u[1,+8)

2.(2011年高考福建卷理科l)i是虚数单位，若集合S={—1.0.1},则

2

A.iGSB.i2eSC.i3eSD.—GS

z

3.(2011年高考辽宁卷理科2)已知M,N为集合I的非空真子集，且此N不相等，若

Nc(GM)=0,则()

(A)M(B)N(C)I(D)0

4.(2011年高考广东卷理科2)已知集合A={(x,y)|x,y为实数，且,B={(x,

y)辰，y为实数，且丫=*},则AnB的元素个数为()

A..0B.,1C.2D.3

二、填空题：

1.(2011年高考天津卷理科13)已知集合

.4=(xeJ?|x+3|+|x-4|<9):B=^xeRx=4r+；-6/wQ+oc)；>，则集合

,4cB=________

2.(2011年高考江苏卷i)已知集合N={-L124}*={T(U},则

AcB=,

3.(2011年高考江苏卷14)设集合A={(x,y)|£W(x—2尸+/〈机2,%^R},

B={(x,y)\2m<x