新高考数学二轮复习重难点2-2 抽象函数及其应用（8题型 满分技巧 限时检测）（解析版）

重难点2-2抽象函数及其应用8大题型抽象函数指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。【题型1抽象函数的定义域问题】满分技巧求抽象函数的定义域①已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，解得的取值范围即为的定义域;②已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则由确定的范围，即为的定义域；③已知的定义域，求的定义域:可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域；④运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集.注意：求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是的取值范围，同一个下括号内的范围是一样的.【例1】（2023·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数的定义域是，所以，所以，所以函数的定义域为，所以要使函数有意义，则有，解得，所以函数的定义域为，故选：A.【变式1-1】（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数的定义域为，则，可得，所以，函数的定义域为，对于函数，则有，解得，因此，函数的定义域为.故选：C.【变式1-2】（2023·新疆阿克苏·高三校考阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是.【答案】【解析】依题意，函数的定义域是，所以对于函数来说，有，所以函数的定义域是.【变式1-3】（2023·福建莆田·高三莆田一中校考开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.【答案】【解析】函数的定义域为，则由有意义，得，解得，即，所以函数的定义域为.【变式1-4】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第三十二中学校校考阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是．【答案】【解析】因为函数的定义域为，所以，则，所以函数的定义域为.【题型2抽象函数的求值问题】满分技巧以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值。常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令等特殊值求抽象函数的函数值。【例2】（2024·山西晋城·统考一模）已知定义在上的函数满足，，，且，则（）A．1B．2C．D．【答案】B【解析】令，得，即①因②，联立①②解得：或，又，所以．故选：B.【变式2-1】（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，，且，则（）A．0B．2022C．2023D．2024【答案】C【解析】令，解得，逐项带入，故选：C.【变式2-2】（2023·贵州遵义·高三校考阶段练习）已知函数满足，则（）A．9B．10C．11D．12【答案】A【解析】令，得；令，，得；令，得.将以上三式相加得，即，故选：A．【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域是，且对任意正实数，y，都有恒成立，已知，则.【答案】－1【解析】令，得，所以，解得，，解得.【变式2-4】（2023·湖北·高三襄阳五中校联考期中）对于任意的实数、，函数满足关系式，则．【答案】【解析】依题意，取，有，则恒成立，取，则.【题型3抽象函数的解析式问题】满分技巧①换元法：用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)；②凑合法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求；③待定系数法：已知函数类型,设定函数关系式,再由已知条件，求出出关系式中的未知系数；④利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式；⑤赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出的表达式；⑥方程组法：一般等号左边有两个抽象函数(如)，将左边的两个抽象函数看成两个变量，变换变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求的解析式.【例3】（2023·江苏扬州·高三统考开学考试）写出满足的函数的解析式．【答案】【解析】中，令，得；令得，故，则．【变式3-1】（2024·海南海口·高一海南中学校考期末）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个（答案不唯一）．【答案】1,（答案不唯一）【解析】令，则，又，所以，即，所以函数为偶函数，不妨取偶函数，则，也可取，则，满足题意.故答案为：,（答案不唯一）【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的函数f(x)满足，并且对任意实数x，y都有，求的解析式.【答案】【解析】对任意实数，，，令，得，即，又，所以.【变式3-3】（2023·江苏·高一课时练习）设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求.【答案】【解析】由已知条件得，又，设，则，所以即∴.此时,而,符合题设要求，故.【题型4抽象函数的值域问题】【例4】（2024·全国·高三专题练习）若函数的值域是，则函数的值域为．【答案】【解析】因为函数的值域是，所以函数的值域为，则的值域为，所以函数的值域为．【变式4-1】（2022·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域是.【答案】【解析】因为是上周期为1的函数，，故对任意的整数，当时，，而，，即，故当，当，当，当，当，当，当，当.则在的值域是【变式4-2】（2022·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知，且的定义域为，，值域为，，设函数的定义域为､值域为，则（）A．B．，C．，D．，【答案】C【解析】因为，且的定义域为，，值域为，，则的定义域为，，值域为，，由得，所以的定义域为，，值域为，，则，，，，所以，故选：C.【变式4-3】（2023·湖南·高三祁东县第一中学校联考阶段练习）（多选）已知函数的定义域和值域均为，则（）A．函数的定义域为B．函数的定义域为C．函数的值域为D．函数的值域为【答案】ABC【解析】函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故A正确；函数中的x需满足解得，故函数的定义域为，故B正确；函数和的值域都为，故C正确，D错误．故选：ABC．【变式4-4】（2022·全国·高三课时练习）已知函数的定义域是，值域为，则下列四个函数①；②；③；④，其中值域也为的函数个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于①，因为，则，①不满足条件；对于②，对于函数，，则函数的值域为，②满足条件；对于③，因为，则，③满足条件；对于④，因为，，则，④满足条件.故选：B.【题型5抽象函数的单调性问题】满分技巧判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或.【例5】（2023·河北·高三泊头市第一中学校联考期中）已知函数对于任意x，，总有，当时，，且，则不等式的解集为．【答案】【解析】令得，令，得，则为奇函数，设，则，因为当时，，所以，则，所以在R上单调递增．由，得，所以．可化为，所以，解得．【变式5-1】（2023·江西上饶·高三校考阶段练习）（多选）已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（）A．B．函数在区间为增函数C．函数在区间为增函数D．【答案】ABD【解析】依题意，当时，恒有，令，则，所以A选项正确.不妨设，设，，由于，所以，所以，，所以在为增函数，所以B选项正确.设的符号无法判断，所以的单调性无法判断，所以C选项错误.由上述分析可知，函数在为增函数，所以，所以，同理，所以，所以，所以D选项正确.故选：ABD【变式5-2】（2023·江西上饶·高三婺源县天佑中学校考期中）已知定义在上的函数满足：①对，，；②当时，；③.（1）求，判断并证明的单调性；（2）若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；在上的单调递增，证明见解析；（2）【解析】（1）令，得，解得；在上的单调递增.证明如下：任取，即，则，因为时，，所以时，，所以在上的单调递增.（2）令，得，因为，所以，不等式等价于，即；因为在上单调递增，所以恒成立，①时，，解得，不等式并非在上恒成立；②时，只有满足条件，解得.综上可得.【变式5-3】（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）函数的定义域为，对于，，，且当时，．（1）证明：为减函数；（2）若，求不等式的解集．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）设，且，则，，因为，所以，即为减函数.（2）因为，所以，令，则，即，所以，又因为在上单调递减，所以，解得，所以不等式的解集为.【变式5-4】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数对任意实数恒有成立，且当时，.（1）求的值;（2）判断的单调性，并证明;（3）解关于的不等式:.【答案】（1）；（2）是上的减函数，证明见解析；（3）答案见解析【解析】（1）因为函数对任意实数恒有成立，令，则，所以.（2）函数为上的减函数.证明:令，则，所以，故为奇函数.任取，且，则，因为当时，，所以，所以，即，所以是上的减函数.（3）根据题意，可得，由（2）知在上单调递减，所以，即，可得，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.【题型6抽象函数的奇偶性问题】满分技巧奇偶性：抽象函数奇偶性判定的根本依据是函数奇偶性的定义，判断和的关系.【例6】（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）（多选）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（）A．为奇函数B．为奇函数C．为偶函数D．为偶函数【答案】BCD【解析】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误；由，得，所以为奇函数，B项正确；因为，所以为偶函数，C项正确；因为，所以为偶函数，D项正确.故选：BCD.【变式6-1】（2023·云南·校联考模拟预测）（多选）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（）A．为偶函数B．为奇函数C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数【答案】AD【解析】选项A：设，因为是定义在上的函数，所以的定义域为，，所以为偶函数，故A正确；选项B：，因为是定义在上的函数，所以的定义域为，，所以为偶函数，故B错误；选项C：设，因为，都是定义在上的函数，所以的定义域为，因为为奇函数，为偶函数，所以，所以为偶函数，故C错误；选项D：设，因为，都是定义在上的函数，所以的定义域为，因为是不恒为0的函数，所以不恒成立，所以不是奇函数，因为是不恒为0的函数，所以不恒成立，所以不是偶函数，所以是非奇非偶函数，故D正确，故选：AD.【变式6-2】（2023·江苏扬州·高三仪征市第二中学校考期中）已知，且，则是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．不能确定【答案】A【解析】取，则，因为，所以.取，则，即.即函数是偶函数，故选：A【变式6-3】（2023·重庆·高三统考阶段练习）（多选）已知定义在上的函数满足，定义在上的函数满足，则（）A．不是奇函数B．既是奇函数又是偶函数C．是奇函数D．既不是奇函数又不是偶函数【答案】BC【解析】令，得，令，得，则，所以既是奇函数又是偶函数．由，得，因为，所以是奇函数．故选：BC【变式6-4】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）已知定义在上的函数满足，，，且．（1）求，，的值；（2）判断的奇偶性，并证明．【答案】（1），，；（2）偶函数，证明见解析【解析】（1）令，得，因为，所以．令，得，因为，所以．令，得，即，因为，所以，所以．（2）为偶函数．证明如下：令，得，由（1）得，即，又的定义域为，所以为偶函数．【题型7抽象函数的周期性问题】满分技巧函数周期性的常用结论（是不为0的常数）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若，则；（6）若，则（）；【例7】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为R，对任意实数，都满足且，，当时，，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，有，可得，所以的周期为2．令，代入，可得，所以，故函数为奇函数，所以因为，所以，所以．故选：C【变式7-1】（2023·重庆开州·高三重庆市开州中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，且对任意实数，满足，若，则（）A．B．C．0D．1【答案】B【解析】因为且，令，，则，故，即，所以：，，所以函数是周期为6的周期函数.在中，令，，得，则；令，，得，则；由得：，，，，所以故由函数的周期性知中，任意连续6个数之和为，而，所以，故选：B【变式7-2】（2024·福建厦门·统考一模）已知函数的定义域为，，，，若，则（）A．B．C．2D．4【答案】A【解析】令，得，即，令，得，得，所以函数为偶函数，令，得，令，得，，或，若，解得与已知矛盾，，即，解得，，令，得，，，，，所以函数的周期为4.，故选：A.【变式7-3】（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知函数的定义域为，且，，则（）A．2024B．C．D．0【答案】D【解析】由题意，在中，定义域为，，当时，，解得：，当时，，即当时，，解得：，当时，，解得：，当时，，解得：，函数值周期性变化，周期为3，∵，可得：，故选：D.【变式7-4】（2023·陕西咸阳·高三统考期中）已知函数的定义域为，且，，则.【答案】【解析】依题意，，，令得，所以，则，，所以，所以是周期为的周期函数.令，则，，，，所以，因为，所以.【题型8抽象函数的对称性问题】满分技巧1、轴对称：（1）函数关于直线对称（2）函数关于直线对称.2、中心对称：（1）函数关于点对称；（2）函数关于点对称3、函数的奇偶性和对称性的关系：（1）若为奇函数，则关于对称；（2）若为偶函数，则关于对称；（3）若为奇函数，则关于对称；（4）若为偶函数，则关于对称.【例8】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知对任意实数x，y，函数(不是常函数）满足，则（）A．有对称中心B．有对称轴C．是增函数D．是减函数【答案】B【解析】令，得，∴；令，得，∴；令，得，∴的图象关于直线关于对称，故选：B.【变式8-1】（2023·四川南充·高三南充高级中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，且与曲线交于点，，…，，则为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得，所以关于对称，又关于对称，因此，故选：B【变式8-2】（2024·湖南邵阳·统考一模）（多选）已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（）A．关于对称B．关于对称C．是周期函数D．【答案】ACD【解析】因为为奇函数，所以，所以，即，所以的图象关于直线对称.故A正确；因为为奇函数，则其图象关于对称，向左平移一个单位后得到的图象，则的图象关于对称，故B错误；因为为奇函数，则，则有，所以①,又，则②,由①②，则，则，，则，所以8是函数的一个周期.，是周期函数，故C正确；因为，，所以，，所以，故D正确，故选：ACD.【变式8-3】（2024·河南漯河·高三统考期末）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】由为奇函数可得，即，，即，即，所以函数的图像关于直线对称，由是偶函数可得为奇函数，，即，所以函数的图像关于点对称；将代入，得，将代入，得，B选项正确；将代入得，得，A选项错误；，C选项正确；将代入，得，故，，D选项错误.故选：BC.【变式8-4】（2024·湖南邵阳·统考一模）（多选）已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则下列说法一定正确的有（）A．关于对称B．关于点对称C．D．【答案】BC【解析】对于A项，因为为偶函数，所以关于对称.若关于对称，则导函数关于点对称，这与关于对称矛盾，所以A错误；对于B项，因为为偶函数，所以，即，所以，所以B正确；对于C项，因为为偶函数，所以为奇函数，所以关于对称，关于对称，所以.又关于对称，所以.所以，，所以，故C正确；对于D项，由A知，关于点对称，.但无法确定.故D错误，故选：BC.（建议用时：60分钟）1．（2022·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的定义域是，满足，即，又分母不为0，则，所以函数的定义域为：，故选：C.2．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知，所以，所以的定义域为，从而的定义域为，故选：D.3．（2023·河南·高三校联考阶段练习）下列函数中，满足的为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】（方法1）令，则，．由于，即，所以．而满足的函数有对数函数（，），所以，只有B选项符合题意，其它选项均不符合．（方法2）令，则，得．在四个选项中，只有B选项满足，其它选项均不符合．故选：B4．（2022·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）已知函数满足：，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，令得：，因为，所以，令，得：，即，则，上面两式子联立得：，所以，故，故是以6为周期的函数，且，所以，故选：A5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法错误的有（）A． B．C．D．若，则周期为【答案】A【解析】由，令，，有，可得或，A错；当时，令，则，，函数既是奇函数又是偶函数，，当时，令，则，则，函数是偶函数，，综上，B正确；令，则，故，由于，令，即，即有，C正确；若，令，则，所以，则，，所以，则周期为，D正确，故选：A6．（2023·福建·校联考模拟预测）已知函数的定义域为，且对任意非零实数，都有.则函数是（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数【答案】B【解析】令，则，所以.令，则，所以.令，，则，所以为偶函数，故排除D选项；由题意可知，函数满足定义域为，且对任意非零实数，都有，符合题意，但不为奇函数，故排除AC，故选：B.7．（2023·江苏南通·高三统考阶段练习）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在单调递减，则（）A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递减D．在单调递减【答案】D【解析】不妨设，满足题意，此时在单调递增，故A选项错误；在单调递增，故B选项错误；在单调递增，故C选项错误；对于D选项，因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，所以有，又在单调递减，且当时，有，所以由复合函数单调性可知，在上分别单调递增、单调递减，不失一般性，不妨设，则，，所以在单调递减，故D选项正确，故选：D.8．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）（多选）若函数的定义域为，且，，则（）A．B．为偶函数C．的图象关于点对称D．【答案】BCD【解析】对于A，令，则，因为，所以，则，故A错误；对于B，令，则，则，故B正确；对于C，令得，，所以，令得，，则的图象关于点对称，故C正确；对于D，由得，又，所以，则，，所以，则函数的周期为，又，，则，，则，所以，故D正确，故选：BCD.9．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选）已知不恒为0的函数，满足，都有．则（）A．B．C．为奇函数D．为偶函数【答案】BD【解析】令，则，∴或1．令，则，若，则，与不恒为0矛盾，∴