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《微积分（上）》试卷A第1页共6页姓名学号姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………密………………封………线……线………_____________________…华南理工大学期末考试《微积分（上）》试卷A（试卷号：2013.1.10时间120分钟，总分100）注意事项：1.考前请将密封线内填写清楚；2.所有答案请直接答在试卷上(密封线装订区内、草稿纸上答题均无效)；3．考试形式：闭卷；4.本试卷共五大题，满分100分， 考试时间120分钟。题号一二三四五总分得分评卷人填空题（每小题4分，20分）1．写出数列以常数为极限的定义：对所有，存在，当时有2．设，则83．方程确定了隐函数，则4．设，且，则5.计算下列各题（每小题5分，共15分）6、设数列满足：，且。证明：存在，并求出此极限解因为，所以，设，则由数学归纳法得，从而数列有界；又，从而数列是一个单调减少的有界数列。根据单调有界准则存在，设。则，即，得，即7、求极限解原式（等价无穷小替换）8、求极限解解答下列各题（每小题5分，共20分）9、已知，求解从而10、设，求解，由莱布尼茨公式11、设由参数方程确定，求解，从而12、写出带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式解从而发现，，由公式得在0与之间。计算下列各题（每小题5分，共10分）13、计算解14、解令，则，由辅助三角形原式解答下列各题（每小题5分，共15分）15、设在连续，且。证明证分段积分对进行换元，令，则时，时，从而，由已知，即，进而因此16、计算解令，则时，时；则17、判别广义积分的敛散性解为瑕点，从而发散，因此原式发散解答下列各题（每小题5分，共10分）18、求由和所围成的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积解交点为，交点为，交点为，分清边界曲线的上下左右，作图（略）19、求双扭线在圆内部的图形的面积。解由转化公式，得圆的极坐标方程为，从而双扭线与圆的交点处，交点关于极轴对称，分析图形周期性、变化趋势与对称性，作图（略）从而看出证明题（每小题5分，共10分）20、设在上可微，且。试证：存在，使证由积分中值定理，从而也形成了一个区间。令，由已知，在区间上连续，在内可导，又，由罗尔定理，得存在存在，使，即21、设函数在闭区间上连续，证明：在闭区间上存在原函数证由于函

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