学习概论与统计第五章极限定理课件

第五章极限定理本章要解决的问题1.为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？2.为何能以样本均值作为总体期望的估计？3.为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？4.大样本统计推断的理论基础是什么？大数定律中心极限定理第一节大数定律切比雪夫不等式大数定律的背景及概念依概率收敛定义及性质三个大数定律

1.1

切比晓夫（Chebyshev）不等式:（2）

X的方差越小，P(|X-EX|<e

)就越大，即X

的取值越集中在EX附近。这进一步说明了方差的概率含义：刻划了随机变量取值与均值的离散程度。

证明：

设X为连续型随机变量，其密度函数为f(x)注（1）等价形式定理1.1

设随机变量X的期望EX及方差DX存在，则对任意的

e>0，有EXEX-

EX+

（3）

当随机变量X的期望、方差已知而分布未知时，切比雪夫不等式提供了估计事件{|X-EX|<e

}或{|X-EX|≥ε}的概率的大小的一种方法。

Ex3：某电网有10000盏灯，夜晚每盏灯打开的概率为0.7,假定各灯的开、关彼此独立。用切比晓夫不等式估计夜晚同时开着的灯的数量在6800与7200之间的概率。解：设X表示夜晚同时开的灯数，则X~B（10000，0.7）。EX=7000，DX=2100

由切比晓夫不等式得:注：X的分布可以不给出,而只给出其期望,方差即可.P110例1例1

已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X依题意，EX=7300,DX=7002所求为

P(5200≤X≤9400)由切比雪夫不等式1.2切比雪夫大数定律

大量随机试验中大数定律的客观背景例1、掷一颗均匀正六面体的骰子，出现1点的概率是1/6。但掷的次数少时，出现1点的频率可能与1/6相差较大，但掷次数很多时，出现1点的频率接近1/6几乎是必然的。例2、测量一个长度a，一次测量的结果不见得就等于a，量了若干次，其算术平均值仍不见得等于a,但当测量的次数很多时，算术平均值接近于a几乎是必然的。

概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律（lawoflargenumber)

大数定律的概念本章将介绍三个大数定律：（1）切比雪夫大数定律、（2）辛钦大数定律（3）伯努利大数定律。它们之间既有区别也有联系。

一、随机变量序列依概率收敛的定义注:(1)定义中的式子等价于

定义1.1：设

X

1

,X

2

,…,Xn,…是一随机变量序列，如果存在常数a，使对任意的e>0，都有：

则称随机变量序列{X

n}依概率收敛于a，简记为：aa-

a+

(3)若X是一随机变量,且,则称随机变量序列

{X

n}依概率收敛于X，简记为：(2){X

n}依概率收敛于a意味着对任给正数e，当

n充分大时，

事件“|X

n-a|<e”发生的概率很大，接近于1.当

n充分大时,X

n的取值就密集在a附近。但并不排除事件“|X

n-a|

e”的发生，只不过它发生的可能性很小而已。定义1.2若对任何正整数m≥2，X1,X2,…，Xm相互独立，则称随机变量X1,X2,…，Xn，…是相互独立的，此时，若所有Xi又有相同的分布函数，则称X1,X2,…，Xn，…是独立同分布的随机变量序列。由切比晓夫不等式得：证：

切比晓夫大数定律

定理1.2：设X1,X2,…,X

n,…是相互独立的随机变量序列，期望EX1,EX2,…,EXn,…及方差DX1,DX2,…,DXn,…都存在，且方差有界（对任意i

有DXi

M（常数）），则对于任意的>0，恒有注：（1）结论等价于即这意味着：只要n充分大，尽管n个随机变量可以各有分布，但其算术平均以后得到的随机变量将较密集地聚集在它的期望附近，不再为个别随机变量所左右。---大数定律（3）切比雪夫大数定律是1866年被俄国数学家切比雪夫所证明，它是关于大数定律的一个相当普遍的结论，很多大数定律的古典结果是它的特例。切比晓夫大数定律推论：设X1,X2,…,Xn,…是独立同分布的随机变量序列，EXi=

,DXi=

2

（i=1，2，…），则对于任意的>0，恒有

推论中方差的存在性可去掉，得如下结论

这一推论使算术平均值的法则有了理论根据。假使要测量某一个物理量a,在不变的条件下重复测量n

次，得到的观测值x1,x2,…,xn

是不完全相同的，这些结果可以看作是服从同一分布并且期望值为a

的n个相互独立的随机变量X1,X2,…,Xn

…的试验数值。由推论可知，当n充分大时,取()作为

a的近似值，可以认为所发生的误差是很小的。即对于同一个随机变量X进行n

次独立观察，则所有观察结果的算术平均数依概率收敛于随机变量的期望值EX。辛钦大数定律

定理1.3：设X1,X2,…,Xn,…是独立同分布的随机变量序列EXi=

,（i=1，2，…），则对于任意的>0，恒有

伯努利大数定律证：令定理1.4设mn

为n

重伯努利试验中事件A

发生的次数，p

是A

在每次试验中发生的概率，则对任意的

>0有或X1,X2,…,Xn

独立同分布,都服从0-1分布，EXi=p,DXi=p(1-p)由辛钦大数定理得：对于任意的>0，恒有此定理说明了频率的稳定性。

伯努利大数定律伯努里大数定律的重要意义：

(1)从理论上证明了频率具有稳定性。（2)提供了通过试验来确定事件概率的方法:

这种方法是参数估计的重要理论基础。（3）是“小概率原理”的理论基础。小概率原理：实际中概率很小的随机事件在个别试验中几乎是不可能发生的。第二节中心极限定理中心极限定理的背景中心极限定理的定义中心极限定理

中心极限定理的客观背景

在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成的.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布？

如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大.则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布.中心极限定理定义

概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。

定理2.1(林德贝格-勒维中心极限定理）

由林德贝格-勒维中心极限定理得：表明：独立同分布随机变量之和的极限分布为正态分布林德贝格-勒维中心极限定理(独立同分布的中心极限定理)的意义

对于独立同分布的随机变量序列，只要期望和方差存在，不管原来的分布是什么分布，和的极限分布都是正态分布。

提供了计算独立同分布随机变量和的分布的近似方法。只要和式中加项个数充分大就可以利用正态分布近似。

例1:设某商店每天接待顾客100人,设每位顾客的消费额服从[0,60]上的均匀分布,且顾客的消费是相互独立的.求商店的日销售额超过3500的概率。

则Xi服从[0，60]的均匀分布

解一第i个顾客的消费额为Xi(元),（i=1.,2,…,100).Xi独立同分布EXi=30，DXi=300

例1:设某商店每天接待顾客100人,设每位顾客的消费额服从[0,60]上的均匀分布,且顾客的消费是相互独立的.求商店的日销售额超过3500的概率。

则Xi服从[0，60]的均匀分布

解二第i个顾客的消费额为Xi(元),（i=1.,2,…,100).Xi独立同分布EXi=30，DXi=300

例2：一袋盐的重量(千克)是一随机变量,期望为1,方差为0.01,一箱装有100袋.求一箱中每袋平均重量在0.98至1.02千克之间的概率.

解：第i袋盐的重量为Xi(千克),（i=1.,2,…,100).Xi独立同分布EXi=1，DXi=0.01

例3：一射击运动员，在一次射击中所得环数X

的概率分布如下表所示。问在

100次射击中所得的总环数介于900

环与930环之间的概率是多少？超过950环的概率是多少？

解：令

X

i

表示第i

次所得环数，则诸X

i

(i=1,2,…,100)具有同一分布，且相互独立。易得：EXi=9.15EXi2

=84.77DXi=EXi2

–(EXi)2=84.77–9.152

1.05

将林德贝格-勒维定理用到贝努利试验的场合，得到下面的定理：设Yn

服从参数为

n，

p（

0<p<1）的二项分布,则对任意实数x有:

证：令{Xi

}为独立,服从参数为p的0-1分布，(i=1,2,…,n…)且EXi

=p，DXi

=p(1-p)由林德贝格-勒维定理即得本定理。

定理2.2（隶莫弗-拉普拉斯定理）EYn=np，DYn=np(1-p)

由定理4.4得:二项分布的极限分布是正态分布.

即:若X~B(n,p),n充分大时,X近似服从N(np,np(1-p))

可用正态分布近似计算二项分布。

例4：设有10000

盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7,假定各灯开关彼此独立,求同时开着的灯数在6800

与7200

之间的概率。解：令X

为同时开灯的数目,则X

~B(10000,0.7).

如果准确计算，应为：X~B(10000,0.7),则X

近似服从N(7000,2100)

例5：食堂为1000个学生服务，每个学生去食堂吃早餐的概率为0.6,去与不去食堂用餐忽不影响。问食堂想以99.7%的把握保障供应，每天应准备多少份早餐？解：应准备N份早餐。令X

为到食堂用餐的学生数，

则X~B(1000,0.6).X~B(1000,0.6),则X

近似服从N(600,240)保障供应(XN).

例6：产品为废品的概率为p=0.005，求10000件产品中废品数不大于

70的概率。

解：令X为10000件产品中的废品数，则X

~B(10000,0.00